Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Функция от случайных величинСодержание книги
Поиск на нашем сайте
Пусть — случайная величина. Пусть задана функция . Каждому элементарному исходу поставим в соответствие число по формуле . Тем самым получим случайную величину , называемую функцией от случайной величины . Пусть — дискретная случайная величина. Тогда случайная величина также является дискретной случайной величиной, поскольку она не может принимать больше значений, чем случайная величина . Очевидно, что ряд распределения случайной величины имеет вид:
При этом, если в верхней строке ряда распределения появляются одинаковые значения , то соответствующие столбцы необходимо объединить в один, приписав им суммарную вероятность. Пример 9. Случайная величина ξ имеет ряд распределения:
Найти закон распределения случайной величины . m Решение. Составим ряд распределения случайной величины :
Объединив первый и пятый, второй и четвертый столбцы, получим:
Ряд распределения случайной величины получен. l
Пусть — непрерывная случайная величина. При этом случайная величина может быть как непрерывной, так и дискретной. Будем рассматривать непрерывные функции . Пусть случайная величина имеет плотность . Тогда . (5.5.1)
Пример 10. Пусть случайная величина имеет плотность . Найти распределение случайной величины . m Решение. В данном случае . Согласно (5.5.1), получим . Очевидно, что при , функция распределения равна нулю, т.е. . При область совпадает с областью . Отсюда получаем . l
Выведем более удобные формулы для вычисления функции , где . Теорема. Пусть — непрерывная случайная величина с плотностью , а случайная величина связана с функциональной зависимостью , где — дифференцируемая функция, монотонная на всем участке возможных значений аргумента . Тогда плотность распределения случайной величины выражается формулой , (5.5.2) где — функция, обратная по отношению к функции . Доказательство. Пусть — монотонно возрастающая функция. Тогда . Продифференцировав последнее равенство, получаем . (5.5.3) Пусть — монотонно убывающая функция. В этом случае и, следовательно, . Отсюда получаем: Продифференцировав последнее равенство, получаем . (5.5.4) Учитывая свойства модуля, равенства (5.5.3) и (5.5.4) объединим в одно , что совпадает с (5.5.2). n
Пример 11. Случайная величина распределена равномерно в интервале . Найти закон распределения случайной величины . m Решение. Функция в интервале монотонна, следовательно, можно применить формулу (5.5.2). Решение задачи удобно расположить в виде таблицы, содержащей три столбца: в первом запишем план решения задачи; во втором столбце запишем обозначения функций, принятые в общем случае; в третьем — конкретные функции, соответствующие данному примеру:
Интервал , в котором лежат значения случайной величины , определяется областью значений функции для . l
Следствие из теоремы. Если — немонотонная функция, то обратная к ней функция неоднозначна, и плотность распределения случайной величины определяется в виде суммы стольких слагаемых, сколько значений (при данном значении ) имеет обратная функция: , (5.5.5) где — значения обратной функции для данного . Пример 12. Случайная величина распределена равномерно в интервале . Найти плотность распределения случайной величины .
m Решение. Функция немонотонная в интервале , ее значения лежат в интервале (0,1). В данном случае для любого обратная функция будет иметь два значения:
. l
Глава 6. Числовые характеристики случайных величин
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-14; просмотров: 205; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.147.13.85 (0.006 с.) |