Функция от случайных величин

 

Пусть — случайная величина. Пусть задана функция . Каждому элементарному исходу поставим в соответствие число по формуле . Тем самым получим случайную величину , называемую функцией от случайной величины .

Пусть — дискретная случайная величина. Тогда случайная величина также является дискретной случайной величиной, поскольку она не может принимать больше значений, чем случайная величина . Очевидно, что ряд распределения случайной величины имеет вид:

 

			…
			…

 

При этом, если в верхней строке ряда распределения появляются одинаковые значения , то соответствующие столбцы необходимо объединить в один, приписав им суммарную вероятность.

Пример 9. Случайная величина ξ имеет ряд распределения:

 

	-2	-1
	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

 

Найти закон распределения случайной величины .

m Решение. Составим ряд распределения случайной величины :

 

	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

 

Объединив первый и пятый, второй и четвертый столбцы, получим:

	0,3	0,5	0,2

Ряд распределения случайной величины получен. l

 

Пусть — непрерывная случайная величина. При этом случайная величина может быть как непрерывной, так и дискретной. Будем рассматривать непрерывные функции . Пусть случайная величина имеет плотность . Тогда

. (5.5.1)

 

Пример 10. Пусть случайная величина имеет плотность

.

Найти распределение случайной величины .

m Решение. В данном случае . Согласно (5.5.1), получим

.

Очевидно, что при , функция распределения равна нулю, т.е. . При область совпадает с областью . Отсюда получаем

. l

 

Выведем более удобные формулы для вычисления функции , где .

Теорема. Пусть — непрерывная случайная величина с плотностью , а случайная величина связана с функциональной зависимостью

,

где — дифференцируемая функция, монотонная на всем участке возможных значений аргумента .

Тогда плотность распределения случайной величины выражается формулой

, (5.5.2)

где — функция, обратная по отношению к функции .

Доказательство. Пусть — монотонно возрастающая функция. Тогда

.

Продифференцировав последнее равенство, получаем

. (5.5.3)

Пусть — монотонно убывающая функция. В этом случае и, следовательно, . Отсюда получаем:

Продифференцировав последнее равенство, получаем

. (5.5.4)

Учитывая свойства модуля, равенства (5.5.3) и (5.5.4) объединим в одно

,

что совпадает с (5.5.2). n

 

Пример 11. Случайная величина распределена равномерно в интервале . Найти закон распределения случайной величины .

m Решение. Функция в интервале монотонна, следовательно, можно применить формулу (5.5.2). Решение задачи удобно расположить в виде таблицы, содержащей три столбца: в первом запишем план решения задачи; во втором столбце запишем обозначения функций, принятые в общем случае; в третьем — конкретные функции, соответствующие данному примеру:

 

Плотность случайной величины
Функциональная зависимость между случайными величинами и
Обратная функция
Модуль производной обратной функции
Плотность случайной величины

 

Интервал , в котором лежат значения случайной величины , определяется областью значений функции для . l

 

Следствие из теоремы. Если — немонотонная функция, то обратная к ней функция неоднозначна, и плотность распределения случайной величины определяется в виде суммы стольких слагаемых, сколько значений (при данном значении ) имеет обратная функция:

, (5.5.5)

где — значения обратной функции для данного .

Пример 12. Случайная величина распределена равномерно в интервале . Найти плотность распределения случайной величины .

 

m Решение. Функция немонотонная в интервале , ее значения лежат в интервале (0,1). В данном случае для любого обратная функция будет иметь два значения:

 

Плотность случайной величины
Функциональная зависимость между случайными величинами и .
Обратная функция
Модуль производной обратной функции
Плотность случайной величины

 

. l

 

Глава 6. Числовые характеристики случайных величин