Плотность стандартного нормального распределения

t
0,0	0,39894	0,39892	0,39886	0,39876	0,39862	0,39844	0,39822	0,39797	0,39767	0,39733
0,1	0,39695	0,39654	0,39608	0,39559	0,39505	0,39448	0,39387	0,39322	0,39253	0,39181
0,2	0,39104	0,39024	0,38940	0,38853	0,38762	0,38667	0,38568	0,38466	0,38361	0,38251
0,3	0,38139	0,38023	0,37903	0,37780	0,37654	0,37524	0,37391	0,37255	0,37115	0,36973
0,4	0,36827	0,36678	0,36526	0,36371	0,36213	0,36053	0,35889	0,35723	0,35553	0,35381
0,5	0,35207	0,35029	0,34849	0,34667	0,34482	0,34294	0,34105	0,33912	0,33718	0,33521
0,6	0,33322	0,33121	0,32918	0,32713	0,32506	0,32297	0,32086	0,31874	0,31659	0,31443
0,7	0,31225	0,31006	0,30785	0,30563	0,30339	0,30114	0,29887	0,29659	0,29431	0,29200
0,8	0,28969	0,28737	0,28504	0,28269	0,28034	0,27798	0,27562	0,27324	0,27086	0,26848
0,9	0,26609	0,26369	0,26129	0,25888	0,25647	0,25406	0,25164	0,24923	0,24681	0,24439
1,0	0,24197	0,23955	0,23713	0,23471	0,23230	0,22988	0,22747	0,22506	0,22265	0,22025
1,1	0,21785	0,21546	0,21307	0,21069	0,20831	0,20594	0,20357	0,20121	0,19886	0,19652
1,2	0,19419	0,19186	0,18954	0,18724	0,18494	0,18265	0,18037	0,17810	0,17585	0,17360
1,3	0,17137	0,16915	0,16694	0,16474	0,16256	0,16038	0,15822	0,15608	0,15395	0,15183
1,4	0,14973	0,14764	0,14556	0,14350	0,14146	0,13943	0,13742	0,13542	0,13344	0,13147
1,5	0,12952	0,12758	0,12566	0,12376	0,12188	0,12001	0,11816	0,11632	0,11450	0,11270
1,6	0,11092	0,10915	0,10741	0,10567	0,10396	0,10226	0,10059	0,09893	0,09728	0,09566
1,7	0,09405	0,09246	0,09089	0,08933	0,08780	0,08628	0,08478	0,08329	0,08183	0,08038
1,8	0,07895	0,07754	0,07614	0,07477	0,07341	0,07206	0,07074	0,06943	0,06814	0,06687
1,9	0,06562	0,06438	0,06316	0,06195	0,06077	0,05959	0,05844	0,05730	0,05618	0,05508
2,0	0,05399	0,05292	0,05186	0,05082	0,04980	0,04879	0,04780	0,04682	0,04586	0,04491
2,1	0,04398	0,04307	0,04217	0,04128	0,04041	0,03955	0,03871	0,03788	0,03706	0,03626
2,2	0,03547	0,03470	0,03394	0,03319	0,03246	0,03174	0,03103	0,03034	0,02965	0,02898
2,3	0,02833	0,02768	0,02705	0,02643	0,02582	0,02522	0,02463	0,02406	0,02349	0,02294
2,4	0,02239	0,02186	0,02134	0,02083	0,02033	0,01984	0,01936	0,01888	0,01842	0,01797
2,5	0,01753	0,01709	0,01667	0,01625	0,01585	0,01545	0,01506	0,01468	0,01431	0,01394
2,6	0,01358	0,01323	0,01289	0,01256	0,01223	0,01191	0,01160	0,01130	0,01100	0,01071
2,7	0,01042	0,01014	0,00987	0,00961	0,00935	0,00909	0,00885	0,00861	0,00837	0,00814
2,8	0,00792	0,00770	0,00748	0,00727	0,00707	0,00687	0,00668	0,00649	0,00631	0,00613
2,9	0,00595	0,00578	0,00562	0,00545	0,00530	0,00514	0,00499	0,00485	0,00470	0,00457

 

Приложение 3

Функция распределения стандартного нормального закона

t
0,0	0,50000	0,50399	0,50798	0,51197	0,51595	0,51994	0,52392	0,52790	0,53188	0,53586
0,1	0,53983	0,54380	0,54776	0,55172	0,55567	0,55962	0,56356	0,56749	0,57142	0,57535
0,2	0,57926	0,58317	0,58706	0,59095	0,59483	0,59871	0,60257	0,60642	0,61026	0,61409
0,3	0,61791	0,62172	0,62552	0,62930	0,63307	0,63683	0,64058	0,64431	0,64803	0,65173
0,4	0,65542	0,65910	0,66276	0,66640	0,67003	0,67364	0,67724	0,68082	0,68439	0,68793
0,5	0,69146	0,69497	0,69847	0,70194	0,70540	0,70884	0,71226	0,71566	0,71904	0,72240
0,6	0,72575	0,72907	0,73237	0,73565	0,73891	0,74215	0,74537	0,74857	0,75175	0,75490
0,7	0,75804	0,76115	0,76424	0,76730	0,77035	0,77337	0,77637	0,77935	0,78230	0,78524
0,8	0,78814	0,79103	0,79389	0,79673	0,79955	0,80234	0,80511	0,80785	0,81057	0,81327
0,9	0,81594	0,81859	0,82121	0,82381	0,82639	0,82894	0,83147	0,83398	0,83646	0,83891
1,0	0,84134	0,84375	0,84614	0,84849	0,85083	0,85314	0,85543	0,85769	0,85993	0,86214
1,1	0,86433	0,86650	0,86864	0,87076	0,87286	0,87493	0,87698	0,87900	0,88100	0,88298
1,2	0,88493	0,88686	0,88877	0,89065	0,89251	0,89435	0,89617	0,89796	0,89973	0,90147
1,3	0,90320	0,90490	0,90658	0,90824	0,90988	0,91149	0,91308	0,91466	0,91621	0,91774
1,4	0,91924	0,92073	0,92220	0,92364	0,92507	0,92647	0,92785	0,92922	0,93056	0,93189
1,5	0,93319	0,93448	0,93574	0,93699	0,93822	0,93943	0,94062	0,94179	0,94295	0,94408
1,6	0,94520	0,94630	0,94738	0,94845	0,94950	0,95053	0,95154	0,95254	0,95352	0,95449
1,7	0,95543	0,95637	0,95728	0,95818	0,95907	0,95994	0,96080	0,96164	0,96246	0,96327
1,8	0,96407	0,96485	0,96562	0,96638	0,96712	0,96784	0,96856	0,96926	0,96995	0,97062
1,9	0,97128	0,97193	0,97257	0,97320	0,97381	0,97441	0,97500	0,97558	0,97615	0,97670
2,0	0,97725	0,97778	0,97831	0,97882	0,97932	0,97982	0,98030	0,98077	0,98124	0,98169
2,1	0,98214	0,98257	0,98300	0,98341	0,98382	0,98422	0,98461	0,98500	0,98537	0,98574
2,2	0,98610	0,98645	0,98679	0,98713	0,98745	0,98778	0,98809	0,98840	0,98870	0,98899
2,3	0,98928	0,98956	0,98983	0,99010	0,99036	0,99061	0,99086	0,99111	0,99134	0,99158
2,4	0,99180	0,99202	0,99224	0,99245	0,99266	0,99286	0,99305	0,99324	0,99343	0,99361
2,5	0,99379	0,99396	0,99413	0,99430	0,99446	0,99461	0,99477	0,99492	0,99506	0,99520
2,6	0,99534	0,99547	0,99560	0,99573	0,99585	0,99598	0,99609	0,99621	0,99632	0,99643
2,7	0,99653	0,99664	0,99674	0,99683	0,99693	0,99702	0,99711	0,99720	0,99728	0,99736
2,8	0,99744	0,99752	0,99760	0,99767	0,99774	0,99781	0,99788	0,99795	0,99801	0,99807
2,9	0,99813	0,99819	0,99825	0,99831	0,99836	0,99841	0,99846	0,99851	0,99856	0,99861

 

Приложение 4

Критические точки распределения

 

Число степеней свободы	Уровень значимости α
0,01	0,025	0,05	0,075	0,1	0,9	0,925	0,95	0,975	0,99
	6,63	5,02	3,84	3,17	2,71	0,02	0,01	0,00	0,00	0,00
	9,21	7,38	5,99	5,18	4,61	0,21	0,16	0,10	0,05	0,02
	11,34	9,35	7,81	6,90	6,25	0,58	0,47	0,35	0,22	0,11
	13,28	11,14	9,49	8,50	7,78	1,06	0,90	0,71	0,48	0,30
	15,09	12,83	11,07	10,01	9,24	1,61	1,39	1,15	0,83	0,55
	16,81	14,45	12,59	11,47	10,64	2,20	1,94	1,64	1,24	0,87
	18,48	16,01	14,07	12,88	12,02	2,83	2,53	2,17	1,69	1,24
	20,09	17,53	15,51	14,27	13,36	3,49	3,14	2,73	2,18	1,65
	21,67	19,02	16,92	15,63	14,68	4,17	3,78	3,33	2,70	2,09
	23,21	20,48	18,31	16,97	15,99	4,87	4,45	3,94	3,25	2,56
	24,73	21,92	19,68	18,29	17,28	5,58	5,12	4,57	3,82	3,05
	26,22	23,34	21,03	19,60	18,55	6,30	5,82	5,23	4,40	3,57
	27,69	24,74	22,36	20,90	19,81	7,04	6,52	5,89	5,01	4,11
	29,14	26,12	23,68	22,18	21,06	7,79	7,24	6,57	5,63	4,66
	30,58	27,49	25,00	23,45	22,31	8,55	7,97	7,26	6,26	5,23
	32,00	28,85	26,30	24,72	23,54	9,31	8,71	7,96	6,91	5,81
	33,41	30,19	27,59	25,97	24,77	10,09	9,45	8,67	7,56	6,41
	34,81	31,53	28,87	27,22	25,99	10,86	10,21	9,39	8,23	7,01
	36,19	32,85	30,14	28,46	27,20	11,65	10,97	10,12	8,91	7,63
	37,57	34,17	31,41	29,69	28,41	12,44	11,73	10,85	9,59	8,26
	38,93	35,48	32,67	30,92	29,62	13,24	12,50	11,59	10,28	8,90
	40,29	36,78	33,92	32,14	30,81	14,04	13,28	12,34	10,98	9,54
	41,64	38,08	35,17	33,36	32,01	14,85	14,06	13,09	11,69	10,20
	42,98	39,36	36,42	34,57	33,20	15,66	14,85	13,85	12,40	10,86
	44,31	40,65	37,65	35,78	34,38	16,47	15,64	14,61	13,12	11,52
	45,64	41,92	38,89	36,98	35,56	17,29	16,44	15,38	13,84	12,20
	46,96	43,19	40,11	38,18	36,74	18,11	17,24	16,15	14,57	12,88
	48,28	44,46	41,34	39,38	37,92	18,94	18,05	16,93	15,31	13,56
	49,59	45,72	42,56	40,57	39,09	19,77	18,85	17,71	16,05	14,26
	50,89	46,98	43,77	41,76	40,26	20,60	19,66	18,49	16,79	14,95
	52,19	48,23	44,99	42,95	41,42	21,43	20,48	19,28	17,54	15,66
	53,49	49,48	46,19	44,13	42,58	22,27	21,30	20,07	18,29	16,36
	54,78	50,73	47,40	45,31	43,75	23,11	22,12	20,87	19,05	17,07
	56,06	51,97	48,60	46,49	44,90	23,95	22,94	21,66	19,81	17,79
	57,34	53,20	49,80	47,66	46,06	24,80	23,76	22,47	20,57	18,51
	58,62	54,44	51,00	48,84	47,21	25,64	24,59	23,27	21,34	19,23
	59,89	55,67	52,19	50,01	48,36	26,49	25,42	24,07	22,11	19,96
	61,16	56,90	53,38	51,17	49,51	27,34	26,25	24,88	22,88	20,69
	62,43	58,12	54,57	52,34	50,66	28,20	27,09	25,70	23,65	21,43
	63,69	59,34	55,76	53,50	51,81	29,05	27,93	26,51	24,43	22,16
	134,64	128,42	123,23	119,91	117,41	81,45	79,51	77,05	73,36	69,23
	135,81	129,56	124,34	121,02	118,50	82,36	80,41	77,93	74,22	70,06

 

Приложение 5

Критические точки распределения Стьюдента

Число степеней свободы	Уровень значимости α (двусторонняя критическая область)
0,01	0,025	0,05	0,075	0,1	0,2	0,25	0,3	0,4	0,5
	63,66	25,45	12,71	8,45	6,31	3,08	2,41	1,96	1,38	1,00
	9,92	6,21	4,30	3,44	2,92	1,89	1,60	1,39	1,83	0,82
	5,84	4,18	3,18	2,68	2,35	1,64	1,42	1,25	2,95	0,76
	4,60	3,50	2,78	2,39	2,13	1,53	1,34	1,19	4,04	0,74
	4,03	3,16	2,57	2,24	2,02	1,48	1,30	1,16	5,13	0,73
	3,71	2,97	2,45	2,15	1,94	1,44	1,27	1,13	6,21	0,72
	3,50	2,84	2,36	2,09	1,89	1,41	1,25	1,12	7,28	0,71
	3,36	2,75	2,31	2,05	1,86	1,40	1,24	1,11	8,35	0,71
	3,25	2,69	2,26	2,01	1,83	1,38	1,23	1,10	9,41	0,70
	3,17	2,63	2,23	1,99	1,81	1,37	1,22	1,09	10,47	0,70
	3,11	2,59	2,20	1,97	1,80	1,36	1,21	1,09	11,53	0,70
	3,05	2,56	2,18	1,95	1,78	1,36	1,21	1,08	12,58	0,70
	3,01	2,53	2,16	1,94	1,77	1,35	1,20	1,08	13,64	0,69
	2,98	2,51	2,14	1,92	1,76	1,35	1,20	1,08	14,69	0,69
	2,95	2,49	2,13	1,91	1,75	1,34	1,20	1,07	15,73	0,69
	2,92	2,47	2,12	1,90	1,75	1,34	1,19	1,07	16,78	0,69
	2,90	2,46	2,11	1,90	1,74	1,33	1,19	1,07	17,82	0,69
	2,88	2,45	2,10	1,89	1,73	1,33	1,19	1,07	18,87	0,69
	2,86	2,43	2,09	1,88	1,73	1,33	1,19	1,07	19,91	0,69
	2,85	2,42	2,09	1,88	1,72	1,33	1,18	1,06	20,95	0,69
	2,83	2,41	2,08	1,87	1,72	1,32	1,18	1,06	21,99	0,69
	2,82	2,41	2,07	1,87	1,72	1,32	1,18	1,06	23,03	0,69
	2,81	2,40	2,07	1,86	1,71	1,32	1,18	1,06	24,07	0,69
	2,80	2,39	2,06	1,86	1,71	1,32	1,18	1,06	25,11	0,68
	2,79	2,38	2,06	1,86	1,71	1,32	1,18	1,06	26,14	0,68
	2,78	2,38	2,06	1,85	1,71	1,31	1,18	1,06	27,18	0,68
	2,77	2,37	2,05	1,85	1,70	1,31	1,18	1,06	28,21	0,68
	2,76	2,37	2,05	1,85	1,70	1,31	1,17	1,06	29,25	0,68
	2,76	2,36	2,05	1,85	1,70	1,31	1,17	1,06	30,28	0,68
	2,75	2,36	2,04	1,84	1,70	1,31	1,17	1,05	31,32	0,68
	2,70	2,33	2,02	1,83	1,68	1,30	1,17	1,05	41,62	0,68
	2,68	2,31	2,01	1,82	1,68	1,30	1,16	1,05	51,89	0,68
	2,66	2,30	2,00	1,81	1,67	1,30	1,16	1,05	62,13	0,68
	2,65	2,29	1,99	1,81	1,67	1,29	1,16	1,04	72,36	0,68
	2,64	2,28	1,99	1,80	1,66	1,29	1,16	1,04	82,57	0,68
	2,63	2,28	1,99	1,80	1,66	1,29	1,16	1,04	92,76	0,68
	2,63	2,28	1,98	1,80	1,66	1,29	1,16	1,04	102,95	0,68

 

Используемая литература

§ Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 1998.

§ Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1967.

§ Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. — М.: Дело, 2002.

§ Кузнецов Б.Т. Математика. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.

§ Черняк А.А., Новиков В.А., Мельников О.И., Кузнецов А.В. Математика для экономистов на базе Mathcad. — СПб.: БХВ-Петербург, 2003

Оглавление

Введение. 3

Глава 1. Случайные события и их вероятности. 4

§1. События. Действия с событиями. 4

§2. Общее определение и свойства вероятности. 6

ГЛАВА 2. Классическая и геометрическая вероятности. 7

§1. Классическое определение вероятности. 7

§2. Применение комбинаторного анализа. 8

§3. Геометрическое определение вероятности. 10

Глава 3. Условная вероятность. Независимость событий. Формулы полной вероятности и Байеса 13

§1. Условная вероятность. 13

§2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. 14

§3. Независимость событий. 17

§4. Формула полной вероятности. 18

§5. Формула Байеса. 20

Глава 4. Схема независимых испытаний. Схема Бернулли. 23

§1. Формула Бернулли. 23

§2. Формула Пуассона. 25

§3. Формулы Муавра – Лапласа. 26

Глава 5. Случайные величины и их распределения. 29

§1. Понятие случайной величины.. 29

§2. Функция распределения случайной величины.. 29

§3. Дискретные случайные величины.. 30

§4. Непрерывные случайные величины.. 32

§5. Функция от случайных величин. 36

Глава 6. Числовые характеристики случайных величин. 40

§1. Математическое ожидание случайной величины.. 40

§2. Математическое ожидание функции от случайной величины. Свойства математического ожидания 42

§3. Дисперсия. Моменты высших порядков. 46

Глава 7. Элементы математической статистики. 49

§1. Основные понятия и основные задачи математической статистики. 49

§2. Простейшие статистические преобразования. 49

§3. Эмпирическая функция распределения. 51

§4. Полигон и гистограмма. 53

Глава 8. Статистическое оценивание. 55

§1. Точечные оценки. Выборочная средняя и выборочная дисперсия. 55

§2. Метод моментов. 56

§3. Метод максимального правдоподобия. 57

§4. Интервальные оценки (доверительные интервалы) 58

Глава 9. Проверка статистических гипотез. 64

§1. Основные понятия. 64

§2. Проверка гипотезы о значении математического ожидания. 65

§3. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух генеральных совокупностей 66

§4. Проверка гипотезы о значении дисперсии генеральной совокупности. 68

§5. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей. 69

§6. Проверка гипотезы о распределении. Критерий Пирсона. 71

Приложения. 77

Используемая литература. 82