Дисперсия. Моменты высших порядков

Определение. Моментом k -го порядка называется выражение, вычисляемое по формулам:

а) для дискретной случайной величины:

, (6.3.1)

б) для непрерывной случайной величины:

. (6.3.2)

 

Для существования момента к-ого порядка необходимо:

а) для дискретной случайной величины — абсолютная сходимость ряда

, (6.3.3)

б) для непрерывной случайной величины — абсолютная сходимость интеграла

. (6.3.4)

Поскольку , то из существования момента к-го порядка вытекает существование момента (к-1)-го порядка и, следовательно, всех моментов меньших порядков.

 

Определение. Момент k -го порядка величины называется центральным моментом k -го порядка.

Особую роль играет второй центральный момент, который называется дисперсией и обозначается .

Определение. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания:

. (6.3.5)

Свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю, т.е.

. n

2. Дисперсия является неотрицательной величиной, т.е. .

3. Для любых действительных чисел и справедливо равенство

.

Доказательство. Из свойства 2 математического ожидания получаем:

n

4. .

Доказательство. Используя определение дисперсии и свойства 2 и 3 математического ожидания, получаем:

n

5. Если и независимые случайные величины, дисперсия суммы случайных величин равна сумме дисперсий случайных величин, т.е.

.

Доказательство. Если и независимые случайные величины, то и случайные величины и будут независимыми. Тогда, используя свойства 2-4 математического ожидания, получаем:

n

Очевидно, что дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины . Для практических же целей удобно иметь числовую характеристику, размерность которой совпадает с размерностью .

 

Определение. Средним квадратичным отклонением случайной величины ξ называется выражение, вычисляемое по формуле:

. (6.3.6)

Пример 12. Найти дисперсию случайной величины , плотность которой имеет вид (равномерно распределенной на отрезке ):

m Решение. Используя определение дисперсии , формулу для вычисления дисперсии непрерывной случайной величины (6.3.2) и результат примера 4, получаем:

.l

 

Пример 13. Найти дисперсию случайной величины , распределенной по нормальному закону с параметрами (см. Пример 4).

m Решение. Используя определение дисперсии , формулу для вычисления дисперсии непрерывной случайной величины (6.3.2) и результат примера 5, получаем:

. (6.3.5)

Делаем замену или , при этом . В этом случае выражение (6.3.5) примет вид:

l

 

Пример 14. При условии примера 11 найти дисперсию случайной величины .

m Решение. Рассмотрим 1 способ нахождения дисперсии, используя ряд распределения случайной величины , найденный в примере 12,

 

и свойство 4 дисперсии, получим:

Напомним, что математическое ожидание было найдено в примере 12.

Перейдем ко второму способу нахождения математического ожидания случайной величины . Используя свойство 5 дисперсии случайной величины, получим:

, ,

, ,

, . l

 

Глава 7. Элементы математической статистики

 

Основные понятия и основные задачи математической статистики

 

В математической статистике исследуются способы получения выводов на основе эмпирических (опытных) данных. Основными понятиями математической статистики являются: генеральная совокупность, выборка, теоретическая функция распределения.

Определение. Генеральной совокупностью называются все возможные результаты наблюдений, которые могут быть сделаны при данном комплексе условий.

В некоторых задачах генеральную совокупность рассматривают как случайную величину . Примером генеральной совокупности может быть все население страны. В этой совокупности нас могут интересовать, например, возраст жителей. Другим примером генеральной совокупности являются детали, изготовленные на данном станке. Эти детали могут быть качественными и бракованными.

Определение. Выборочной совокупностью (выборкой) называется множество результатов, случайно отобранных из генеральной совокупности.

Выборка должна быть репрезентативной, т.е. правильно отражать пропорции генеральной совокупности. Это достигается случайностью отбора, когда все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность быть отобранными.

Определение. Число объектов в совокупности (генеральной или выборочной) называется ее объемом.

Объем генеральной совокупности обозначим символом , а объем выборочной совокупности обозначим символом . При этом подразумевается, что .

Заметим, что сам процесс выбора можно осуществлять разными способами: выбрав объект и определив его значение, изымать объект и не допускать к последующим испытаниям (выборка без возвращения); после определения его значения объект возвращается в генеральную совокупность (выборка с возвращением). Очевидно, что при достаточно большом объеме генеральной совокупности исчезает различие между выборками с возвращением и без возвращения. Будем рассматривать случай бесконечно большого объема генеральной совокупности.

Основные задачи математической статистики:

1. Оценка значения неизвестной вероятности случайного события;

2. Определение неизвестной теоретической функции распределения;

3. Определение неизвестных параметров распределения теоретической функции распределения;

4. Проверка статистических гипотез;

5. Оценка зависимости.

 

§2. Простейшие статистические преобразования

 

Для обоснованных статистических выводов необходимо иметь выборку достаточно большого объема . Очевидно, что использование и хранение такой выборки весьма затруднительно. Чтобы избавиться от данных проблем, используют понятие статистики.

Определение. Статистикой называется произвольная k‑мерная функция от выборки :

 

Как функция от случайного вектора статистика также будет случайным вектором.

Определение. Вариационным рядом является выборка , элементы которой расположены в порядке возрастания элементов: .

Очевидно, что данное преобразование не приводит к потере информации относительно теоретической функции распределения.

Для величин и употребляют название «крайние члены вариационного ряда».

Определение. Размахом варьирования называется разность между крайними членами вариационного ряда, т.е.

. (7.2.1)

Если среди элементов выборки имеются одинаковые, что происходит при наблюдении дискретной случайной величины, то целесообразно произвести группировку данных.

Определение. Значение выборки , соответствующее отдельной группе сгруппированного ряда наблюдаемых данных, называется вариантой, а численность отдельной группы сгруппированного ряда наблюдаемых данных, называется частотой или весом варианты.

Если — индекс варианты, то — число значений ‑ой варианты.

Определение. Отношение частоты к общей сумме всех частот называется относительной частотой варианты и обозначается .

Определение. Статистическим рядом называется расположенная по возрастанию совокупность различных вариант , представляющих выборку , с соответствующими им частотами или относительными частотами.

При наблюдении непрерывной случайной величины используют интервальный ряд. В этом случае весь возможный интервал, которому принадлежат значения выборки, разбивают на конечное число частичных интервалов и подсчитывают частоту попадания элементов выборки в каждый частичный интервал.

Определение. Интервальным рядом называется упорядоченная последовательность интервалов с соответствующими им частотами или относительными частотами попадания элементов выборки в каждый из этих интервалов.

Пример 1. В городе A для определения сроков гарантированного обслуживания проведено исследование величины среднего пробега автомобилей, находящихся в эксплуатации в течение двух лет. Получены следующие результаты (тыс. км.):

3,0; 25,0; 18,6; 12,1; 10,6; 18,0; 17,3; 29,1; 20,0; 18,3; 21,5; 26,7; 12,2; 14,4; 7,3; 9,1; 2,9; 5,4; 40,1; 16,8; 11,2; 9,9; 25,3; 4,2; 29,6.

Составить интервальный ряд.

m Решение. Очевидно, что величина среднего пробега автомобилей, находящихся в эксплуатации в течение двух лет, является непрерывной случайной величиной. Полученные данные представляют собой выборку из наблюдений. Найдем сначала минимальное и максимальное значения случайной величины (т.е. крайние члены вариационного ряда): и . Размах варьирования будет равен .

Возьмем число частичных интервалов . В этом случае длина частичного интервала равна

.

Соответствующий интервальный ряд приведен в таблице 7.1.

Таблица 7.1

Номер интервала	Средний пробег автомобилей (интервалы)	Частота	Относительная частота
	2,9 — 9,1		0,24
	9,1 — 15,3		0,24
	15,3 — 21,5		0,28
	21,5 — 27,7		0,12
	27,7 — 33,9		0,08
	33,9 — 40,1		0,04

l

 

Пример 2. Наблюдается число выигрышей в мгновенной лотерее. В результате наблюдения получены следующие значения выигрышей (тыс. руб.):

0, 1, 0, 0, 5, 0, 10, 0, 1, 0, 0, 1, 5, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 5, 0, 5, 0, 0, 1, 1, 1, 5, 10, 0, 1, 1, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 1, 0.

Требуется составить статистический ряд случайной величины — выигрыша в мгновенной лотерее.

m Решение. Случайнаявеличина принимает 4 различных значения: 0, 1, 5 и 10. Для каждого значения подсчитаем частоту и относительную частоту.Результаты задачи представим в таблице 7.2.

Таблица 7.2

№
Выигрыш в мгновенной лотерее
Частота
Относительная частота		31/54	7/27	7/54	1/27

l