Геометрическое определение вероятности

 

Пусть теперь рассматривается непрерывная вероятностная схема, т.е. пространство элементарных исходов представляет собой некоторую ограниченную область (отрезок, круг, шар и т.д.) k ‑мерного пространства (прямой, плоскости, трёхмерного пространства и т.д.). В непрерывном случае число элементарных исходов бесконечно, следовательно, при использовании принципа равновероятности каждому элементарному исходу можно приписать только нулевую вероятность. Поэтому подойдём к определению геометрической вероятности по-другому. Рассмотрим сначала отрезок и предположим, что идеальная частица равномерно бросается на данный отрезок. Каждому интервалу поставим в соответствие вероятность попадания частицы на этот интервал, равную его длине: .

В общем случае геометрическая вероятность определяется аналогично. Пусть - некоторая область, имеющая меру (длину, площадь, объём и т.д.) такую, что . Пусть внутри области находится область .

Определение. Геометрической вероятностью называют отношение меры области к мере области :

.

Пример 8. (Задача о встрече.) Два лица и договорились встретиться в определённом месте между 12 часами и часом. Пришедший первый ждёт другого в течение 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи лиц и , если приход каждого из них в течение указанного часа может произойти на удачу и моменты прихода независимы.

m Решение. Обозначим момент прихода лица через , а момент прихода лица через . На плоскости; в качестве единицы масштаба выберем минуту. Всевозможные исходы изобразятся точками квадрата со сторонами 60. Для того, чтобы встреча произошла необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство .

Исходы, благоприятствующие встрече, изображены в заштрихованной области (рис. 2.1).

Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной области к площади всего квадрата . l

 

Пример 9. В круг радиуса случайным образом бросается точка. Найти вероятность того, что точка попадёт в круг радиуса с тем же центром (рис. 2.2).

m Решение. Первый способ.

Пусть — событие, состоящее в попадании точки в малый круг. Определим вероятность как отношение площади малого круга к площади большего:

.

 

Второй способ. Рассмотрим полярную систему координат, в которой положение точки определяется углом между радиус‑вектором точки и осью и расстоянием от точки до начала координат. Поскольку точки, равностоящие от центра, все либо одновременно принадлежат меньшему кругу, либо нет, то вероятность попадания в этот круг равна отношению радиусов: .

Итак, мы получили в одной и той же задаче два разных ответа. Причина заключается в том, что понятие геометрической вероятности не инвариантно относительно преобразований рассматриваемой области и зависит от того, как задана мера .

Отметим, что для нас предпочтительнее первый способ решения. l

 

Глава 3. Условная вероятность. Независимость событий.
Формулы полной вероятности и Байеса

 

Условная вероятность

 

Рассмотрим следующий пример. Бросаются две игральные кости. Найдем вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8, если заранее известно, что сумма выпавших очков есть четное число. Всевозможные исходы запишем в виде таблицы 3.1:

Таблица 3.1

2 ^ой кубик 1 ^ый кубик

 

Из таблицы видно, что число всевозможных исходов равно 36, но число исходов, удовлетворяющих условию, при которых сумма очков есть четное число, равно 18. Из них ровно в 5 исходах сумма очков равна 8. Пользуясь классическим определением вероятности, находим, что искомая вероятность равна .

Заметим, что безусловная вероятность того, что сумма выпавших очков, равная 8, равна , т.е. задание дополнительного условия может повлиять на вычисление вероятности.

Найдем условную вероятность события при условии, что событие уже произошло. Для простоты рассмотрим классическую схему. Естественно положить, что данная вероятность есть отношение числа исходов , благоприятных совместному (одновременному) осуществлению событий и , к числу исходов, благоприятных событию , т.е.

.

Разделив числитель и знаменатель на число всевозможных исходов , получим:

.

Последняя формула может служить общим определением условной вероятности при аксиоматическом подходе.

Определение. Условной вероятностью события при условии, что событие уже произошло, называется отношение вероятности совместного (одновременного) осуществления событий и к вероятности события :

. (3.1.1)

 

Пример 1. При трехкратном подбрасывании монеты выпало два «герба». Найти условную вероятность того, что при втором подбрасывании выпал «герб».

m Решение. Рассмотрим следующие события:

— при трехкратном подбрасывании выпало два «герба»;

— при втором подбрасывании выпал «герб».

Событию соответствует два исхода: Г – Г – Р, Р – Г – Г.

Число всевозможных исходов при трехкратном подбрасывании монеты . Отсюда находим:

.

Аналогично, событию соответствует три исхода, следовательно, вероятность условия равна

.

Далее, применяя (3.1.1), получаем искомую вероятность

. l