Глава 4. Схема независимых испытаний. Схема Бернулли

 

Формула Бернулли

Определение. Повторные независимые испытания называются испытаниями Бернулли, если каждое испытание имеет только два исхода, и вероятности исходов остаются неизменными для всех испытаний.

Обычно эти две вероятности обозначаются через и , исход с вероятностью называют «успехом» и обозначают символом 1, а второй – «неудачей» и обозначают символом 0. Очевидно, что и должны быть неотрицательными и должно выполняться равенство

. (4.1.1)

Пространство элементарных исходов каждого отдельного испытания состоит из двух исходов 1 и 0. Очевидно, пространство элементарных исходов испытаний Бернулли содержит последовательностей из символов 1 и 0. Так как испытания независимы, то вероятности перемножаются, т. е. вероятность любой конкретной последовательности есть произведение, полученное при замене символов 1 и 0 вероятности на и соответственно. Таким образом, вероятность исхода равна:

.

Но на практике нас, как правило, интересует не порядок появления успехов в последовательности испытаний Бернулли, а их общее число.

Теорема. Вероятность того, что в испытаниях Бернулли число успехов равно , вычисляется по формуле

, (4.1.2)

где — вероятность «успеха», а — вероятность «неудачи».

Доказательство. Событие «в испытаниях Бернулли число успехов равно и число неудач — » содержит столько элементарных исходов, сколько существует способов размещения символов на местах, т.е. . А так как вероятность конкретной последовательности, содержащей символов 1, равна , то в итоге получаем:

. n

Число успехов в испытаниях обозначают через , тогда . Очевидно, что есть случайная величина, а функция (4.1.2) является «распределением» этой случайной величины. Будем называть это распределение биномиальным. Слово биномиальное отражает тот факт, что (4.1.2) представляет собой m -й член биноминального разложения . Отсюда следует, что

.

 

Пример 1. Стрелок попадает в мишень с вероятностью . Найти вероятность того, что в результате пяти независимых выстрелов стрелок попадает:

a) ровно четыре раза;

б) не менее трех раз.

m Решение. Для решения данной задачи применим формулу (4.1.2), в которой:

.

а) Число успехов равно . Таким образом, искомая вероятность:

.

б) Обозначим — вероятность попадания не менее трех раз из пяти.

. l

 

Пример 2. Сколько испытаний с вероятностью успеха нужно произвести, чтобы вероятность хотя бы одного успеха была не меньше 0,5?

m Решение. Рассмотрим следующие события:

— в схеме Бернулли наблюдался хотя бы один успех;

— в схеме Бернулли не наблюдалось ни одного успеха.

Для решения задачи используем формулу (4.1.2), согласно которой вероятность того, что успехов не будет (т.е. число успехов равно нулю), равна:

.

Используя свойство вероятности противоположного события, получаем, что вероятность того, что будет хотя бы один успех, равна:

.

Остается найти наименьшее целое , для которого выполнено неравенство:

.

Решим последнее неравенство.

.

Разделив последнее неравенство на , получим

.

Наименьшим целым числом , удовлетворяющим последнему неравенству, является . l

 

Пример 3. Что вероятнее выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключен):

а) три партии из четырех или пять из восьми;

б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми.

m Решение. Так как противники равносильны и ничейный исход партии исключен, то вероятности выигрыша и проигрыша каждой партии одинаковы и .

а) Вероятность выигрыша трех партий из четырех равна:

,

а вероятность выигрыша пяти партий из восьми равна:

.

Так как , то вероятнее выиграть три партии из четырех.

б) Вероятность выигрыша не менее трех партий из четырех равна:

а вероятность выигрыша не менее пяти партий из восьми равна:

Так как , то вероятнее выиграть не менее пяти партий из восьми. l

 

Формула Пуассона

 

При больших значениях числа испытаний применение формулы Бернулли (4.1.2) затруднительно. Поэтому применяются простые, но достаточно точные приближенные формулы для вычисления . Пусть число испытаний достаточно «велико», вероятность «успеха» достаточно «мала». Пусть произведение

(4.2.1)

и не мало, и не велико. В таких случаях удобно использовать для вероятности предложенное Пуассоном приближение (формула Пуассона), которое мы сейчас выведем. По формуле Бернулли (4.1.2)

(4.2.2)

При и сделанных выше допущениях очевидны следующие приближения:

, .

Следовательно, (4.2.2) примет вид:

, (4.2.3)

а это и есть формула Пуассона.

Замечание. При выводе формулы Пуассона (4.2.3) использовалось то, что мало.

Замечание. Формула Пуассона (4.2.3) зависит от и . Значения функции (4.2.2) можно определить следующими способами:

§ можно воспользоваться Приложением 1;

§ используя функцию ПУАССОН (x;среднее;интегральная) из EXCEL; в которой аргумент x равен числу «успехов» , аргумент «среднее» равен , аргумент «интегральная» должен равняться 0;

§ используя функцию dpois(k, l) из MATHCAD, в которой и .

 

Пример 4. Найти вероятность того, что среди 1460 человек ровно трое родились 29 февраля.

m Решение. Вероятность того, что один конкретный человек родился 29 февраля, равна , т.к. 29 февраля бывает ровно 1 раз в 4 года.

Далее находим коэффициент :

.

Применяя (4.2.2), получаем:

. l

 

Пример 5. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность того, что при 5000 выстрелах в цель попало не менее двух выстрелов.

m Решение. Рассмотрим два противоположных события:

— при 5000 выстрелах в цель попало не менее двух выстрелов;

— при 5000 выстрелах в цель попало менее двух выстрелов.

Найдем вероятность события :

.

В рассматриваемом примере

.

Используя формулу Пуассона, получим

.

Используя свойство вероятности противоположного события, получим

. l

 

Формулы Муавра – Лапласа

 

Если в схеме Бернулли , , , (4.3.1)

то следует применять формулы Муавра – Лапласа: локальную или интегральную.

Локальная теорема Муавра‑Лапласа (без доказательства). Если в схеме Бернулли , то для всех справедлива локальная формула Муавра‑Лапласа:

(4.3.2)

Значения функции , которую называют плотностью нормального распределения с параметрами , можно найти одним из следующих способов:

§ можно воспользоваться Приложением 2;

§ используя функцию НОРМРАСП(x;среднее;стандартное_откл;интегральная) из EXCEL; в которой «среднее» необходимо положить равным 0, аргумент «стандартное_откл» необходимо положить равным 1, аргумент «интегральная» должен равняться 0.

§ используя функцию dnorm(x, mu, sigma) из MATHCAD, в которой и .

Очевидно, что функция является четной. Поэтому при определении для отрицательных нужно воспользоваться равенством .

Интегральная теорема Муавра‑Лапласа (без доказательства). Если в схеме Бернулли число испытаний , то для вероятности того, что число успехов заключено в пределах от до , справедлива интегральная теорема Муавра‑Лапласа:

(4.3.3)

Функция , определенная формулой (4.3.3), называется функцией распределения нормального распределения с параметрами . Значения функции можно найти одним из следующих способов:

§ можно воспользоваться Приложением 3;

§ используя функцию НОРМРАСП(x;среднее;стандартное_откл;интегральная) из EXCEL; в которой «среднее» необходимо положить равным 0, аргумент «стандартное_откл» необходимо положить равным 1, аргумент «интегральная» должен равняться 1.

§ используя функцию pnorm(x, mu, sigma) из MATHCAD, в которой и .

Функцию при отрицательных значениях переменной можно определить по формуле .

Замечание. Нарядус функцией используют функцию

. (4.3.4)

Для нее справедливо равенство ; она связана с функцией равенством

. (4.3.5)

 

Пример 6. Симметричную монету бросают 400 раз. Определить вероятность появления герба:

а) от 185 до 210 раз;

б) ровно 200 раз;

в) не менее 200 раз.

m Решение. Для решения задачи применим локальную и интегральную теоремы Муавра‑Лапласа, для которых

, т.к. монету подбрасывали 400 раз, , т.к. монета симметрична.

а) Используя интегральную теорему Муавра‑Лапласа, получим

б) Используя локальную теорему Муавра‑Лапласа, получим

;

в) Используя интегральную теорему Муавра‑Лапласа, получим

. l

 

Пример 7. Команда состоит из 10 отличных и 15 хороших стрелков. Каждый стрелок производит по своей мишени 5 независимых выстрелов. Отличный стрелок при каждом выстреле попадает в цель с вероятностью 0,9, хороший — с вероятностью 0,8. Определить вероятность того, что общее число попаданий будет не менее 110.

m Решение. Найдем вероятность попадания при одном выстреле для произвольного стрелка. Для этого воспользуемся формулой полной вероятности. Пусть искомое событие — мишень поражена одним стрелком. Рассмотрим следующие гипотезы:

— стреляет отличный стрелок;

— стреляет хороший стрелок.

Очевидно, что:

, , , .

Отсюда получаем:

, .

Заметим, что общее число выстрелов

.

Теперь найдем вероятность того, что при 125 выстрелах число попаданий будет не менее 110. Для этого применим интегральную теорему Муавра‑Лапласа:

, ,

. l

 

Пример 8. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле . Найти наименьшее число выстрелов, которое надо произвести по мишени, чтобы с вероятностью 0,95 число попаданий было не менее 70.

m Решение. По условию задачи . Для вычисления применим интегральную теорему Муавра – Лапласа:

Заметим, что мы использовали то, что при больших значениях .

Далее получаем

.

Используя Приложение 3 находим, что

.

Решая последнее уравнение для натуральных значений , получаем, что n=132. l