Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

При движении реальных жидкостей начинают действовать силы внутреннего трения в потоке жидкости и силы трения о стенки трубы. На преодоление гидравлических сопротивлений расходуется часть энергии потока. Поэтому общее количество энергии потока по длине трубопровода будет уменьшаться вследствие перехода потенциальной энергии в потерянную энергию, рассеиваемую в окружающую среду.

Потерянная энергия учитывается величиной потерянного гидравлического потока h _п. Поэтому для реальной жидкости уравнение Бернулли приобретает следующий вид:

 

, (3.4)

где , – удельные кинетические энергии потока в первом и втором сечениях;

, – удельные потенциальные энергии положения;

h _п – потери гидравлического напора при переходе жидкости из сечения I в сечение II (8).

Коэффициенты а ₁ и а ₂, называемые коэффициентами Кориолиса или коэффициентами кинетической энергии, учитывают влияние неравномерности распределения скоростей движения слоев по поперечному сечению потока на его кинетическую энергию. Для ламинарного движения а @2. Для турбулентного режима а @1,05¸1,1.

Потери гидравлического напора h _п возникают в следствие сил трения о стенки трубы и из-за локальной потери энергии потоком жидкости при преодолении местных сопротивлений (сужения, поворотов и т.д.). По законам термодинамики эта энергия рассеивается в окружающую среду.

 

Практические приложения уравнения Бернулли

 

Расходомер Вентури

 

В расходомере Вентури (рис. 3.4) искусственно создается перепад давления, измерив который можно рассчитать расход жидкости.

 

 

Рис. 3.4. Схема расходомера Вентури

Для реального потока жид­кости с достаточной для большинства технических из­ме­ре­ний и исследований точ­нос­тью в уравнении Бернулли (3.4) величины а ₁ и а ₂ можно принять равными единице.

Для двух сечений гори­зон­тального расходомера имеем:

 

. (3.5)

 

На участке трубки 1–2 потери гидравлического напора можно принять равными нулю h _п,1–2 = 0.

 

Тогда:

 

.

 

Величина = Е ₁ представляет собой потенциальную энергию E ₁ положения единичной массы жидкости и ее давления, аналогично = E ₂.

Разность потенциальных энергий жидкости в сечениях I и II равна E ₁ – E ₂ = D h и измеряется с помощью пьезометров (рис. 3.4).

 

Следовательно:

 

(W ₂² – W ₁²)/(2× g) = D h. (3.6)

 

В соответствии с законом сохранения массы имеем:

 

W ₁ × S ₁ = W ₂ × S ₂, (3.7)

где S ₁, S ₂ – площади поперечных сечений I и II трубки Вентури

С учетом (3.7) получим:

 

W ₁ = W ₂ × или W ₂ = W ₁ × . (3.8)

Подставив (3.6) в (3.4), найдем:

 

 

.

 

 

Расход жидкости равен Q:

 

 

, (3.9)

где K _т – постоянная расходомера Вентури:

 

K _т = .

 

 

Выражение для расхода жидкости можно получить и так:

 

, (3.10)

где K _т = .

Расходомерная диафрагма

Рис. 3.5. Схема расходомерной диафрагмы

Более простым по сравнению с предыдущим является метод изме­рения расхода жидкости с помощью изме­рительной шайбы или диафраг­мы (рис. 3.5). Расход жидкости опре­деляется по уравнениям (3.9 и 3.10).

 

Трубка Пито – Прандтля

 

 

Простейшим прибором для измерения скорости движущейся жидкости или газа является трубка Пито – Прандтля. Конструкция ее представлена на рис. 3.6. Она состоит из трубок прямой (1) и согнутой под прямым углом (2).

Запишем уравнение Бернул­ли для сечений I и II.

 

, (3.11)

где Р ₁, Р ₂ – гидростатические давления жидкости в сечениях I и II,

g – ускорение свободного падения, м/с².

Рис. 3.6. Схема измерений, используемых в трубке Пито – Прандтля

В сечении II скорость жидкости или газа перед изогнутым концом трубки равна нулю W ₂ = 0, т.к. здесь жидкость тормозится. Тогда из (3.11) получим:

 

,

где E ₁, E ₂ – потенциальные энергии жидкости в сечениях I и II.

Поскольку E ₂ – E ₁ = D h, получим:

 

, (3.12)

где D h – разность высот в пьезометрических трубках.

Отсюда найдем скорость жидкости или газа W ₁ в трубопроводе:

 

. (3.13)

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3

 

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФОРМ ЭНЕРГИИ СТРУИ

Цель работы: повышение уровня знаний о движении жидкости в тру­бопроводах, о преобразовании кинетической и потенциальной форм энергии в них.

 

Задачи работы

1. Убедиться на опыте в переходе кинетической энергии потока в потенциальную и обратно.

2. Оценить полноту преобразования форм энергии и связанные с этим гидравлические сопротивления.

3. Вычислить параметры преобразования форм энергии на отдельных участках экспериментального трубопровода и сравнивать результаты с экспериментальными данными.

Теоретические основы работы

Для реальной жидкости, уравнение Бернулли имеет вид

 

,

где r – плотность жидкости, кг/м³;

V – скорость движения жидкости, м/с;

Р – статическое давление, Па;

h – нивелировочная высота жидкостной струи над уровнем её отсчета, м;

g – ускорение силы тяжести, м/с²;

D Р _n – потери давления, на рассматриваемом участке, Па;

a – коэффициент кинетической энергии (коэффициент Кариолиса), оп­ределяемый различиями средних по сечению местных скоростей течения жид­кости.

Уравнение Бернулли называют также основным уравнением гидро­динамики, его физический смысл следующий: «Давление жидкости, текущей по трубе, больше там, где скорость движения жидкости меньше, и обратно: давление меньше там, где скорость движения жидкости больше» [3, с. 350-352]. Этот закон назван по имени швейцарского физика и математика Даниила Бернулли (1700-1782).

Часто уравнение Бернулли записывают в несколько измененном виде

 

,

где – скоростная высота столба жидкости, являющаяся мерой скоростного напора струи жидкости, м;

– пьезометрическая высота столба жидкости в струе, характеризующая статическое давление, м;

h – нивелировочная высота струи над нулевым уровнем отсчета;

Н – полная гидравлическая высота (полное давление в жид-
кости), м.

Это выражение читается так: «Полная гидравлическая высота столба жидкости, характеризующего его полное давление, складывается из суммы скоростной, статической и нивелировочной высоты и не изменяется при те­чении идеальной жидкости». Полная механическая энергия жидкости не исче­зает, а лишь перераспределяется между указанными тремя составляющими. Если скоростной напор потока перевести в статическое давление пу­тем торможения струи, то давление в этом месте будет равно полному давле­нию равному

 

. (3.14)

 

В горизонтально расположенной трубе, во всех сечениях которой нивелировочная высота одинакова, она суммируется с константой в правой части уравнения (3.1). В этом случае разность полного и статического давлений равна динамическому напору, т.e.

 

P * – P _о.= . (3.15)

 

Все три составляющие полного давления равноправны в его создании. В частности, машины для повышения давления (насосы) могут увеличивать любую из этих составляющих.