Следствия из уравнения Бернулли

а. Гидростатическое давление

Пусть жидкость покоится. Тогда первое слагаемое из Бернулли равно нулю и

rgh₁ + p₁ = rgh₂ + p₂

Пусть p₂ - это давление на поверхности жидкости, равное атмосферному давлению р₀, а h₂- h₁= h - глубина, на которой давление равно p₁= p. Тогда

p= р₀ + rgh

- давление в жидкости на глубине h складывается из внешнего (атмосферного) и гидростатического.

Хорошо известный нам результат! Это лишь подкрепляет нашу уверенность в правильном виде уравнения Бернулли.

б. Другой частный случай - горизонтальное течение жидкости: h₁= h₂. Тогда Бернулли подсказывает нам, что

rv₁²/2 + p₁ = rv₂²/2 + p₂

- где скорость жидкости больше - там давление в ней меньше, и наоборот.

Можно вернуться к нашему эксперименту с тремя трубками (их называют трубками Вентури - по имени итальянца, который придумал такой способ измерения давления):

РИС

Здесь скорость жидкости в узком месте больше скорости в широком.

в. Хороший, правильный закон позволяет придумать опыт, который должен подтвердить (или опровергнуть) его.

Вот один из таких экспериментов.

Возьмем резиновую трубку и наденем ее на суживающийся стеклянный наконечник.

РИС

Достанем пылесос и начнем продувать воздух через трубку. Скорость воздуха в узкой части наконечника должна быть больше (уравнение неразрывности!). Поэтому давление воздуха там и в выходящей из него струе, согласно Бернулли, должно быть меньше атмосферного давления. Теперь подведем струю сбоку к легкому шарику для настольного тенниса, который подвешен на нитке.

РИС

Шарик втягивается в струю воздуха, а потом увлекается ею.

Если направить струю вертикально вверх, то шарик удерживается ею на некоторой высоте без всякой нитки. Он ведет себя так, как будто он находится в некоторой ямке. То есть именно так, как предсказывало уравнение Бернулли.

---------------------------------

В: Отчего притягиваются корабли?

Перельман, ф-2, с.107

-------------------------------

В: Почему опасны водовороты?

--------------------------------

3.4.1 ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ ОТВЕРСТИЯ.

ФОРМУЛА ТОРРИЧЕЛЛИ.

Пусть у нас есть довольно большой сосуд с водой (что-то вроде аквариума) с дыркой сбоку, вблизи дна.

РИС

Струя воды вытекает из отверстия. С какой скоростью? Можно ли, зная эту скорость и площадь отверстия получить расход воды, т.е. количество воды, утекающее за единицу времени? Посмотрим.

Если сосуд большой, то можно пренебречь скоростью, с которой понижается уровень воды в нем, по сравнению со скоростью истечения воды из отверстия. Давление на поверхности воды равно атмосферному: р₁=р₀. Скорость жидкости, как мы сказали, нулевая: v₁=0. На выходе из отверстия давление будет таким же - атмосферным: р₂= р₀ . А потенциальная энергия жидкости на поверхности будет на rgh больше, чем на уровне отверстия (h - глубина отверстия).

Воспользуемся уравнением Бернулли для некоторой линии тока, типа обозначенной на рисунке пунктиром:

р₀ + 0 + rgh= р₀ + rv²/2 + 0

Отсюда скорость истечения жидкости из отверстия будет

v=

- такая же, как у свободно падающего (с высоты h) тела.

Это совсем не удивительно, потому что по закону сохранения кинетическая энергия у вытекающей жидкости берется за счет уменьшения ("падения") потенциальной энергии воды у поверхности аквариума.

Полученную формулу для истечения жидкости из отверстия называют формулой Торричелли - в честь итальянского физика и математика с красивым именем Эванджелиста (Евангелист), впервые получившего ее еще в средние века.

д. Однако попробуем проверить наш теоретический вывод на опыте.

Приделаем к нашему отверстию небольшой краник, загнутый вверх.

РИС

Он направляет нашу выходящую струю вверх. Если скорость на выходе из отверстия действительно v= , то струя должна подниматься на высоту h, т.е. до уровня воды в аквариуме. Но она поднимается до меньшей высоты! В чем дело? Как обычно - в той модели, которой мы пользовались. В балансе энергий, которым мы пользовались, мы не учли потери энергии на вязкое трение. Поэтому скорость струи на выходе и оказалась меньше расчетной. Вот она - сухая вода!

------------------------------------

В: Почему вода при наливании из бутылки булькает?

--------------------------------------

В: Почему струя жидкости, вытекающая из отверстия, по мере удаления от него сжимается?

-------------------------------------

 

Почему капля камень точит? (ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ УДАР)

См. Бутиков с.359

3.5 Движение твердого тела в жидкости или газе

Как вы, наверно, догадываетесь, вопрос о движении тел в газе или жидкости имеет, мягко говоря, большое практическое значение:

РИС

Самолет и теплоход, птицы и рыбы, снаряды и торпеды - все это разные "заказчики" той непростой физики, которая описывает эти явления.

Часто бывает удобно считать тело покоящимся, а поток жидкости или газа - набегающим на него. В силу принципа относительности Галилея это эквивалентно более часто встречающейся ситуации тела, движущегося в неподвижной среде. Впрочем, в лабораторных условиях, моделируют именно именно ситуацию набегающего потока. Для этого строят специальные установки, называемые газодинамической трубой или гидродинамическим каналом.

РИС

Реальную силу, действующую на тело со стороны потока, удобно представлять в виде двух сил:

РИС

продольной - ее называют силой лобового сопротивления

и поперечной, известной под именем подъемная сила.

 

3.5.1 Подъемная сила

Если линии тока огибают несимметричное препятствие, то скорости потока с разных сторон тела могут оказаться разными.

РИС

И тогда по формуле Бернулли там, где скорость оказалась меньше, давление воздуха (или жидкости) будет меньше. Поэтому возникает результирующая сила, перпендикулярная потоку (или направлению движения тела).

Для крыла самолета с несимметричным профилем

РИС

линии тока воздуха имеют тоже несимметричный вид.

Обратите внимание, что линии тока сближаются над изогнутой частью крыла. Это означает, что там скорость потока выше, чем снизу. По Бернулли это означает большее давление снизу крыла, чем сверху. И если возникающая подъемная сила компенсирует силу тяжести самолета, то он летит. Конечно, это очень упрощенная модель явления. В частности, здесь не учитываются вязкость воздуха.

 

3.5.2 Эффект Магнуса

Вообще-то тело в потоке может быть и симметричным, но все равно создавать подъемную силу. Для этого оно должно вращаться.

РИС

Пока мяч неподвижен в потоке (или медленно движется без вращения), линии тока воздуха симметричны. Но вот мяч начинает вращаться, скажем, по часовой стрелке. Из-за вязкости воздуха (здесь ею пренебрегать нельзя!) мяч вовлекает во вращение прилегающие к нему слои воздуха. И тогда над мячом скорость набегающего потока будет складываться со скоростью вращения, а под- вычитаться. В результате давление вблизи мяча будет больше там, где меньше скорость, т.е. снизу. Поэтому возникает подъемная сила. Это явление называется эффектом Магнуса.

Этот эффект широко используется спортсменами для создания ситуаций, затрудняющих действия противника -

в теннисе:

РИС топ-спин в исполнении игрока в настольный теннис

Попробуйте угадать, как отскочит так закрученный мяч!

В футболе

РИС исполнение штрафного удара в обвод "стенки" игроков

такой удар получил название "сухой лист". Впервые мир увидел его в 1958 году на чемпионате мира в Стокгольме в исполнении легендарного бразильца по прозвищу Диди.

Циркуляция потока вокруг тела может возникнуть и без его вращения - если тело несимметрично. Но это возможно лишь в неидеальной жидкости (или воздухе). Без вязкости циркуляции потока не бывает!

 

3.5.3 Лобовое сопротивление

Существуют две причины возникновения лобового сопротивления.

Первая - это вязкое трение, точнее, касательные силы трения потока о неподвижный слой воздуха, прилегающий к телу. Фактически эта сила определяется вязкостью среды. Выражение для этой силы впервые получил Джордж Стокс, английский физик и математик. Стоксова сила сопротивления оказалась пропорциональной первой степени скорости тела относительно потока:

F =-a v

Причем, коэффициент пропорциональности a оказался зависящим от вязкости среды (что понятно) и от формы и размеров тела, именно:

- он пропорционален первой степени характерного размера тела (для шара - это его радиус).

Поэтому: сила трения, тормозящая падение капли, пропорциональна не ее сечению, а ее радиусу!

Интересно, что стоксовская сила (сопротивления трением) не зависит от плотности среды, поскольку при ее наличии обычно устанавливается стационарное течение жидкости - с постоянной скоростью, поэтому жидкость не ускоряется и ее масса (плотность) несущественна.

Вторая причина лобового сопротивления - "сопротивление давлением" - из-за различия в давлениях на переднюю и заднюю части тела. Можно теоретически показать, что эта сила сопротивления оказывается пропорциональной квадрату скорости тела:

F=bv²

Ее иногда называют ньютоновой силой сопротивления.

Коэффициент b не зависит от вязкости, но зависит от плотности среды и сильно зависит от формы тела (квадратичная зависимость от характерного размера тела). Можно сказать, что ньютоновское сопротивление определяется влиянием инерции жидкости.

Ньютоновская сила сопротивления минимальна при такой форме тела, которая называется обтекаемой:

РИС: скутер, скользящий по воде

Понятно, что

при небольших скоростях тел и для небольших размеров тел лобовое сопротивление определяется стоксовой силой, а при больших - разумно считать ее ньютоновой.

 

Число Рейнольдса