Уравнения Бернулли для элементарной струйки невязкой жидкости

Рассмотрим элементарную струйку идеальной жидкости при установившемся движении. Выделим сечениями 1-1 и 2-2 отсек этой струйки. Высотное положение центров тяжести живых сечений относительно произвольно расположенной плоскости сравнения 0-0 характеризуется ординатами z ₁ и z ₂. Давления в центрах сечений р ₁и р ₂, скорости u ₁ и u ₂ соответственно. На отсек действуют только силы тяжести и силы гидростатического давления. За малый промежуток времени dt частицы жидкости из 1-1 переместятся в 1'-1' на расстояние ds ₁ = u ₂ dt, а частицы из 2-2 в 2'-2' на расстояние ds ₂ = u ₂ dt. Используя теорему изменения кинетической энергии (изменение кинетической энергии равно сумме работ всех действующих сил на тело при его перемещении): Работу производят силы тя­жести и силы давления, действующие по крайним живым сечениям струйки. Направленные по нормали к боковым поверхностям струйки давления окружающей массы невязкой жидкости работы не производят. Работа сил давления Работа сил тяжести эквивалентна работе, совершаемой силой тяжести массы жидкости участка 1-1' при перемещении на разность высот (z₁ – z₂), т. е: Изменение кинетической энергии можно записать: .

Выражая сумму работ в правой части через работу силы давления и силы тяжести: . Разделим обе части на : Это уравнение Бернулли для элементарной струйки невязкой жидкости при установившемся движении.

20.Энергетическая интерпретация уравнения Бернулли для установившегося движе­ния. Три формы записи уравнения Бернулли

Рассмотрим уравнение Бернулли для установившегося движения невязкой несжимаемой жидкости при действии сил тяжести и сил давления Здесь z - высоту расположения сече­ния элементарной струйки над некоторой горизонтальной плоскостью

(плоскостью сравнения). Этой высо­те легко придать энергетический смысл. z =Мgz/Mg выра­жает потенциальную энергию, отнесенную к единице веса. z наз удельной потенциальной энергией положения.

Величине р/rg может быть тоже придан энергетичес­кий смысл. Рассм элементарную струйку с площадью живого сечения dw, давлением р и скор и. Сила дав­ления равна рdw. При перемещении частиц, расположен­ных в данном сечении, за время dt на расстояние иdt сила давления произведет работу на этом пути, равную рdwudt. Отнеся эту работу к весу объема вытесненной жидкости dwudtто ра­бота силы давления равна р/rg. Частица с массой М и весом G =Мg при движении со скор и имеет кинетич энергию М²/2. Если кинетич энер разделить на вес частицы полу­чим удельную кинетич энер и²/2g. Каждый член ур. Бернулли пред­ставляет собой удельную потенц. или кинетич.энергию.

Сумма всех членов ур Бернулли представляет полную удельную энергию жид в сечении потока. Суммарная потенц и кинетич энергия, от­несенная к ед массы: . Суммарная энергия, отнесенная к ед объема: . Далее будем иметь в виду энергию, отнесенную к ед веса. Удельная энергия опред относительно произ­вольно выбранной горизонтальной плоскости сравнения.

Трактовка уравнения Бернулли для установившегося движения невязкой несжимаемой жидкости с энергетиче­ских позиций: при потенц-ом и винтовом дви­ж суммарная удельная энергия распределена по пото­ку равномерно, т. е. одинакова для любой пары точек обла­сти, занятой движущейся жидкостью. При вихревом движении удельная энергия различна для различных точек потока и сохраняет постоянное значение только на каждой отдельной линии тока или на вихревой линии.

Для удельной энергии в гидравлике применяется термин напор:

. z +р/rg - гидростатическим на­пором; u²/2g — скоростным; Н— гид­родинамическим. z — геометрическая высота; р/rg—вы­сота, соответ давлению, и и²/2g— скоростная вы­сота.

Откладывая от плоскости сравнения вертикальные от­резки z, р/rg и и²/2g, найдем геометрическое место концов сумм этих отрезков, которое расположится на горизонтальной плоскости, поднятой над плоскостью сравнения на вы­соту Н. Эта плоскость называется напорной, ее след представлен верхней горизонтальной линией, которая называется напорной линией. Соединив концы отрезков z + р/rg-пьезометрическую линию. Разница между высотой, соответствующей давлению, и высотой, соответствующей избыточному давлению разб/р§,

Пьезометрическим уклоном называется отношение

 

где l – расстояние между двумя сечениями.