Интерпритации уравнения Бернулли

Существует две интерпретации (пояснения) уравнения Бернулли энергетическая и геометрическая (гидравлическая).

Энергетическая интерпретация.

Удельной энергией называется энергия отнесённая к весу частицы жидкости. Энергия положения частицы жидкости равна dm g z, а вес dm g z. тогда

- удельная энергия положения.

Энергия давления частицы жидкости равна p dV, тогда

- удельная энергия давления.

Кинетическая энергия частицы жидкости равна dm a v²/2, тогда

- удельная кинетическая энергия.

- удельная потенциальная энергия.

- полная удельная энергия.

- потеря полной удельной энергии.

Тогда в сокращенном виде уравнение можно записать

.

Геометрическая интерпретация.

Рис. 3.113.11 – геометрическая интерпретация уравнения Бернулли.

Каждое слагаемое в уравнении Бернулли имеет размерность высоты. Рассмотрим трубу, из которой выведены две трубки (Рис. 3.11). Первая трубка называется пьезометром, а вторая (изогнутая навстречу потоку) гидродинамической трубкой или трубкой Пито. Если на оси трубы давление равно p, то уровень жидкости в пьезометре поднимется на высоту h_p = p/(rg), которая называется пьезометрической высотой. Уровень жидкости в гидродинамической трубке выше уровня жидкости в пьезометре на величину:

- скоростной напор.

Расстояние от плоскости сравнения до оси трубы z называется геометрическим напором. Остальные слагаемые в Уравнении Бернулли:

 

 

- пьезометрический напор.

- полный гидродинамический напор.

- потеря напора.

Поэтому из уравнения Бернулли следует, что для идеальной жидкости полный гидродинамический напор в любом поперечном сечении одинаков и уровень жидкости в гидродинамической трубке будет стоять на одном уровне. Графическое представление уравнения Бернулли называется диаграммой Бернулли и приведено на

 

Рис. 3.12 - Диаграмма Бернулли

 

Примеры и задачи

Пример 3.1.

Идеальный газ движется в сужающейся трубе. Во сколько раз скорость газа в узком сечении больше, чем в широком, если: D₁ = 1,5 D₂, P₁ = 1,2 P₂. Движение газа изотермическое.

Решение:

При установившемся движении сжимаемой жидкости сохраняется массовый расход:

.

Найдем отношение скорости в узком (втором) поперечном сечении к скорости в широком поперечном сечении:

.

Так, как движение изотермическое, то плотности газа зависят от давления линейно:

,

Откуда

Ответ: скорость газа во втором сечении в 1,8 раза больше, чем в первом.

Пример 3.2.

В водо-водяном теплообменнике жидкость движется в межтрубном пространстве.Внитренний диаметр корпуса D = 0,2 м, а внешний диаметр каждой из четырёх (n = 4) латунных трубок d = 0,05 м. Определить эквивалентный диаметр для потока и скорость движения жидкости в поперечном сечении (затемненная область), если за 100 секунд прокачивается 1,57 м³ воды.

Решение:

Площадь поперечного сечения потока равна разности плошадей корпуса и всех латунных трубок:

.

Смоченный периметр равен сумме периметра корпуса и периметра всех латунных трубок

.

Тогда эквивалентный диаметр равен четырём гидравлическим радиусам:

.

Скороть воды в межтрубном пространстве равна:

.

Ответ: v = 0,665 м/c; d_э = 0,0749 м.

Пример 3.3.

По трубе диаметром d₁ = 0,2 м движется вода. В трех точках производится отбор воды с расходами Q₁ = 0,01 м³/с, Q₂ = 0,03 м³/с, Q₃ = 0,02 м³/с. Определить скорости на участках трубопровода.

Решение:

Расход на участке от входа в трубопровод до первой точки отбора равен сумме расходов которые отбираются после этого участка:

Q_вх-1 = Q₁ + Q₂ + Q₃ = 0,01 + 0,03 +0,02 = 0,06 м³/с.

Тогда скорость на этом участке равна:

.

На участке между первой и второй точками отбора расход равен сумме расходов которые отбираются после этого участка:

Q_1-2 = Q₂ + Q₃ = 0,03 +0,02 = 0,05 м³/с.

Тогда скорость на этом участке равна:

.

На участке между второй и третьей точками отбора расход равен:

Q_2-3 = Q₃ = 0,02 = 0,02 м³/с.

Тогда скорость на этом участке равна:

.

Ответ: v_вх-1 = 1,91 м/c; v_1-2 = 1,59 м/c; v_2-3 = 0,657 м/c.

Пример 3.41.

Насос за 10 минут перекачивает 6 м³ воды, по трубе диаметром 100 мм. Высота подъёма жидкости H_г = 4 метра. Потери напора рассчитать по формуле h_1-2 = 3 v²/2g, где v – скорость в тубе.

Рассчитать показание вакуумметра.

Решение:

 

Рис. 3.12

Выберем два поперечных сечения там, где известны давления или где одно из давлений необходимо найти – одно по свободной поверхности жидкости, а второе где стоит вакууметр. Нумеруем поперечные сечения по направлению движения жидкости в начале потока 1 – 1 в конце 2 – 2 (см. рисунок).

Выбираем плоскость сравнения 0 – 0 проходящую через центр тяжести нижнего поперечного сечения.

Находим значения z и абсолютные давления p в поперечных сечениях:

z₁ = 0; p₁ = p_aт; z₂ = Н_г; p₂ = p_aт – p_v.

Расписывают скорости в поперечных сечениях. Площадь поперечного сечения бака большая, поэтому скорость в первом поперечном сечении можно считать равным нулю, а площадь второго поперечного сечения равна площади топеречного сечения трубы, тоэтому скорость во втором сечении равно скорости в трубе:

v₁» 0; v₂ = v.

Полученные значения z, p, v подставляют в уравнение Бернулли:

Дано:

υ _тр = 4 м/с

Р_{v =} 30 кПа

h_1-z = 4 м

Н_ГВВ =?

Решение:

z₁ = 0 P₁ = P_am

z₂ = Н_ГВВ P₂ = P_{aТ -} Р

(P_М1 = 0) P_М = P - P_aТ

(P_М2 = - Р_V) P_V = P_aТ - – P

P = 1

м/c

.

Упрощая полученное уравнение, найдем показание вакуумметра:

.

Найдём расход жидкости в трубе:

.м

Находим скорость в трубе:

.

Находим давление:

.

Ответ: p_v = 42,2 кПа.

Рис. 3.13

 

 

Пример 3.52.

 

Рис. 3.12 - Схема

 

Дано:

Н₁= 4 м

Н₂= 3 м

Р_{v =} 60 кПа

υ_ТР = 4 м/с

h_1-z=?

Решение:

z₁ = 0 P₁ = атм

z₂ = -Н₁ P₂ = атм

Задача 3.1