Линейные Дифференциальные уравнения первого порядка. Метод вариации.

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

, (7)

Где и - заданные непрерывные функции.

Замена , где - новая неизвестная функция, - любая первообразная функции , преобразует линейное уравнение (7) в уравнение с разделяющимися переменными вида:

. (8) Решив уравнение (8), найдем неизвестную функцию , а, следовательно, и решение уравнения (7): .

Определение линейного уравнения первого порядка Дифференциальное уравнение вида где a (x) и b (x) − непрерывные функции x, называтся линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы рассмотрим два метода решения указанных уравнений: · Использование интегрирующего множителя; · Метод вариации постоянной. . Метод вариации постоянной Данный метод аналогичен предыдущему подходу. Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения: Общее решение однородного уравнения содержит постоянную интегрирования C. Далее мы заменяем константу C на некоторую (пока еще неизвестную) функцию C (x). Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, можно определить функцию C (x). Описанный алгоритм называется методом вариации постоянной. Разумеется, оба метода приводят к одинаковому результату. Задача Коши Если, кроме дифференциального уравнения, задано также начальное условие в форме y (x 0) = y 0, то такая задача называется задачей Коши. Решение задачи Коши не содержит произвольной константы C. Ее конкретное числовое значение определяется подстановкой общего решения уравнения в заданное начальное условие y (x 0) = y 0.

Уравнения Бернулли и Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение вида:

, (9)

Где и - заданные непрерывные функции, .

Замена , где - неизвестная функция, - любая первообразная функции , преобразует уравнение Бернулли в уравнение с разделяющими переменными вида:

. (10)

Решив уравнение (10) найдем неизвестную функцию , а, следовательно, и решение уравнения Бернулли (9): .

Задание 1. Решить уравнение: .

Решение. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, так как правую часть уравнения можно представить в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной. Перепишем уравнение в виде:

И разделим переменные:

. (11)

Интегрируем (11):

,

и получаем общее решение данного уравнения:

.

Уравнения в полных дифференциалах

Определение уравнения в полных дифференциалах Дифференциальное уравнение вида называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция двух переменных u (x,y) с непрерывными частными производными, что справедливо выражение     Общее решение уравнения в полных дифференциалах определяется формулой где C − произвольная постоянная. Необходимое и достаточное условие Пусть функции P (x,y) и Q (x,y) имеют непрерывные частные производные в некоторой области D. Дифференциальное уравнение P (x,y) dx + Q (x,y) dy = 0 будет являться уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, если справедливо равенство: Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах 1. Сначала убедимся, что дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, используя необходимое и достаточное условие:   2. Затем запишем систему двух дифференциальных уравнений, которые определяют функцию u (x,y): 3. Интегрируем первое уравнение по переменной x. Вместо постоянной C запишем неизвестную функцию, зависящую от y: 4. Дифференцируя по переменной y, подставим функцию u (x,y) во второе уравнение: Отсюда получаем выражение для производной неизвестной функции φ (y): 5. Интегрируя последнее выражение, находим функцию φ (y) и, следовательно, функцию u (x,y):   6. Общее решение уравнения в полных дифференциалах записывается в виде: Примечание: На шаге 3, вместо интегрирования первого уравнения по переменной x, мы можем проинтегрировать второе уравнение по переменной y. После интегрирования нужно определить неизвестную функцию ψ (x)