Операционное исчисление. Определение. Таблицы и свойства оригинала и изображения.

Основными первоначальными понятиями операционного исчисления являются понятия функции – оригинала и функции-изображения.

Пусть f(t) – действительная функция действительного переменного t (под t понимается время или координата).

Определение. Функция f(t) называется оригинало м, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) f (t) = 0 при t < 0;

2) f (t) – кусочно-непрерывная при t 0;

3) существуют такие числа M > 0 и S₀ 0, что для всех t выполняется неравенство , т. е. при возрастании t функция f(t) может возрастать не быстрее некоторой показательной функции.

Число S₀ называется показателем роста f(t).

Условия (1-3) выполняются для большинства функций, описывающих различные физические процессы. Первое условие означает, что процесс начинается с некоторого времени; удобнее считать, что в момент t=0. Третьему условию удовлетворяют ограниченные функции (для них S₀=0), степенные (n > 0) и другие. Для функций вида , условие 3 не выполняется; не является оригиналом и функция f(t)= - для неене выполняется 2-е условие.

Определение. Изображением оригинала f(t) называется функция F(p) комплексного переменного р= , определяемая интегралом

Операцию перехода от оригинала f(t) к изображению F(p) называют преобразованием Лапласа. Соответствие между оригиналом f(t) и изображением F(p) записывается в виде f(t) ÷ F(p).

Принято оригиналы обозначать малыми буквами, а их изображения – соответствующими большими.

Операционное исчисление строится на основе преобразования Лапласа.

Преобразованием Лапласа или изображением по Лапласу функции вещественной переменной называется функция комплексной переменной , определяемая несобственным интегралом

. (1)

Интегралом Лапласа называется интеграл в правой части (1).

Оригиналом называется функция вещественной переменной, которая удовлетворяет условиям:

1) при ,

2) кусочно-непрерывна при ; (2)

3) при любом, где некоторые постоянные числа. Число называется п оказателем роста функции или абсциссой сходимости интеграла Лапласа.

Функция может иметь на каждом отрезке при лишь конечное число точек разрыва первого рода.

Иногда преобразованием Лапласа называется операция перехода от оригинала к изображению. Соответствие между и записывается в виде .

Если функция является оригиналом, то интеграл Лапласа сходится абсолютно и равномерно на комплексной полуплоскости .

Доказательство. Пусть, и . Тогда

.

Отсюда следует, что интеграл Лапласа сходится абсолютно при , так как он мажорируется абсолютно сходящимся интегралом. Если же , то ,где в правой части неравенства получено число. Следовательно, интеграл Лапласа сходится равномерно при.

Преобразование Лапласа устанавливает связь между оригиналами и их изображениями. Определенным действиям, производимым над оригиналами соответствуют некоторые действия, производимые над их изображениями, причем действия над изображениями оказываются более простыми, чем над оригиналами. В частности, дифференциальному уравнению относительно оригинала соответствует алгебраическое уравнение относительно изображения. Если решить это алгебраическое уравнение и затем найти оригинал полученного решения, то тем самым будет получено решение исходного дифференциального уравнения.

Свойства преобразований Лапласа

1. Свойство линейности: если и , то

. (6)

Используя это свойство и соотношение (4), найдем изображение тригонометрических и гиперболических функций

(7)

(8)

(9)

Аналогично

(10)

2. Теорема подобия. Для любого

. (11)

Доказательство

3. Теорема смещения: умножение оригинала на множитель приводит к смещению аргумента изображения на .

, .(12)

Пример 4.

(13)

(14)

(15)

4. Теорема запаздывания: включению оригинала с запаздыванием на соответствует умножение изображения на .

(16)

Доказательство. Рассмотрим функцию , тогда

Функцию можно представить в виде и тогда .

5. Теорема о дифференцировании оригинала:

Если и функции являются оригиналами, то

, (17)

(18)

………………………………………………..

(19)

В частности, если , то

. (20)

Доказательство.

Здесь было использовано интегрирование по частям при обозначениях . Поскольку , то при , если. Поэтому неинтегральный член дает вклад в результат .

Применим соотношение (17) к (17) повторно, тогда получим

(21)

Применяя соотношение (17) к (21), получим

Продолжая этот процесс. получим

Замечание. Если функция является оригиналом, то для нее выполняются условия (2), при этом функция является кусочно-непрерывной, т.е. она может иметь на каждом отрезке при лишь конечное число точек разрыва первого рода. Если оригиналом является , то сама функция при всех должна быть непрерывной. Если оригиналом является , то при всех должна быть непрерывной и т.д..

6. Теорема об интегрировании оригинала: интегрирование оригинала в пределах от 0 до приводит к делению изображения на .Если и , то , т.е.

(22)

Доказательство. Обозначим . Учитывая, что и , получим в соответствии с теоремой дифференцирования оригинала

. Поскольку, то . Отсюда .

Из свойств (5) и (6) следует, что более сложным действиям над оригиналами (дифференцированию и интегрированию) соответствуют более простые действия над изображениями (умножение и деление на р).

7. Теорема о дифференцировании изображения: дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на .

. ,, ,,

. (23)

Доказательство. Учитывая, что , найдем .

Следовательно, . Применяя эту теорему несколько раз, последовательно найдем оригиналы для высших производных изображения.

8. Теорема об интегрировании изображения: если интеграл сходится, то интегрирование изображения в пределах от до соответствует делению оригинала на.

, (24)

т.е. интегрирование изображения в пределах от до соответствует делению оригинала на.