Достаточное условие экстремума ФНП, критерий Сильвестра

 

Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки и дважды дифференцируема в самой точке , причем точка – точка возможного экстремума данной функции, т. е. . Тогда если второй дифференциал является положительно определенной (отрицательно определенной) квадратичной формой от переменных , то функция имеет в точке локальный минимум(максимум). Если же является знакопеременной квадратичной формой, то в точке функция не имеет локального экстремума.

Рассмотрим случай двух переменных. Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки и дважды дифференцируема в самой точке , причем точка – точка возможного экстремума данной функции, т. е. . Введем обозначения:

.

Тогда на основе вышесказанного и критерия Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы,, следуют такие выводы:

1) если , то в точке функция имеет локальный экстремум, причем максимум, если и минимум, если ;

2) если , то в точке функция не имеет локального экстремума;

3) если , то в точке функция может иметь локальный экстремум, а может и не иметь его.

Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть в некоторой окрестности точки М0 (х0, у0), являющейся стационарной точкой функции Z = F (X, Y), эта функция имеет непрерывные частные производные до 3-го порядка включительно. Обозначим

Тогда:

1) F (X, Y) имеет в точке М0 максимум, если AC – B ² > 0, A < 0;

2) F (X, Y) имеет в точке М0 минимум, если AC – B ² > 0, A > 0;

3) экстремум в стационарной точке отсутствует, если AC – B ² < 0;

4) если AC – B ² = 0, необходимо дополнительное исследование

.

Доказательство.

Напишем формулу Тейлора второго порядка для функции F (X, Y), помня о том, что в стационарной точке частные производные первого порядка равны нулю:

Если угол между отрезком М0М, где М (х0+ D Х, у0+ D У), и осью О Х обозначить J, то D Х = D R cos J, D Y = D R Sin J. При этом формула Тейлора примет вид:

Пусть Тогда можно разделить и умножить выражение в скобках на А. Получим:

Достаточное условие экстремума

1) Первое достаточное условие:

Если:

а) f(x) непрерывная функция и определена в некоторой окрестности точки такой, что первая производная в данной точке равна нулю или не существует.

б) f(x) имеет конечную производную в окрестности задания и непрерывности функции

в) производная сохраняет определенный знак справа от точки и слева от этой же точки, тогда точку можно охарактеризовать следующим образом

Это условие не очень удобное, так как нужно проверять множество условий и запоминать таблицу, однако если ничего не сказано о производных высших порядках, то это единственный способ найти экстремум функции.

2) Второе достаточное условие

Если функция g(x) обладает второй производной причем в некоторой точке первая производная равна нулю, а вторая производная отлично от нуля. Тогда точка экстремум функции g(x), причем если , то точка является максимумом; если , то точка является минимумом.

3) Третье достаточное условие

Пусть функция g(x) имеет в некоторой окрестности точки N производных, причем значение первых (N - 1)- ой и самой функции в этой точке равно нулю, а значение N-ой производной отлично от нуля. В таком случае:

а) Если N - четно, то точка экстремум функции: у функции точка максимума, у функции точка минимума.

б) Если N - нечетно, то в точке у функции g(x) экстремуманет.

Критерий Сильвестра:

Пусть квадратичная форма записана в виде матрицы

Эта форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все его главные миноры положительны.

Форма является отрицательно определенной, если ее главные миноры имеют чередующиеся знаки, начиная с отрицательного:

.

Задача: Исследовать функцию многих переменных на экстремум и вычислить экстремальное значение функции. Решение:

Необходимое условие экстремума.

Необходимым условием экстремума функции является равенство нулю первых частных производных (все то же самое, что и для случая двух переменных, только уравнений в системе столько же, сколько переменных в функции). Точки , являющиеся решением системы:

называются стационарными точками функции F.