Выпуклость функции в точке. Достаточное условие.

Определение: Функция f(x) называется выпуклой вверх (вниз) в точке x_o, если найдется такая окрестность U(x_o), что для всех точек из этой окрестности U(x_o) график функции f(x) лежит не выше (не ниже) касательной, проведенной в точке x_o.

Замечание: Говорить о выпуклости в точке можно только если функция дифференцируема в этой точке.

Контрольный пример: . 0 - ни точка выпуклости вверх, ни точка выпуклости вниз, ни точка перегиба, потому что в любой окрестности U(0) есть точки в которых функция выпукла вверх и вниз.

Теорема: (Достаточное условие выпуклости вверх (вниз)).

Если функция f в точке x_o имеет непрерывную вторую производную , и при этом <0 (>0), то f выпукла в вверх (вниз) в точке x_o.

Доказательство:

Т.к. функция f имеет непрерывную вторую производную , то эта производная определена в некоторой окрестности . Разложим функцию f по формуле Тéйлора с остаточным членом в форме Пеано:

.

Причем функция является графиком касательной к функции f в точке . Поэтому если >0, то f(x)< (x) в окрестности (т.к. ε(x)→0, при x→0), а если >0, то f(x)> (x) в .

 

 

Билет 21

Точка перегиба. Достаточные условия. Общая теорема о точках перегиба и экстремума.

Определение.

Точка называется точкой перегиба, если в этой точке график переходит через сторону касательной (разные выпуклости слева и справа).

Замечание.

Точка перегиба существует только если . Пример

Теорема 1 (Достаточное условие существования точки перегиба).

Если функция имеет непрерывной в точке , =0 и , то точка перегиба.

Доказательство:

В этом случае: , (формула Тейлора), или .

В силу непрерывности в и того факта, что сохраняет знак в некоторой окрестности точки . С другой стороны, множитель меняет знак при переходе через , а вместе с ним и величина (равная превышению точки кривой над касательной в ) меняет знак при переходе через .

Теорема доказана.

Теорема 2 (Общая теорема о точках перегиба и экстремума.)

Пусть функция обладает следующими свойствами:

непрерывна в и . Тогда, если - нечетное число, то кривая обращена выпуклостью вверх или вниз в зависимости от того, будет ли или , а если четное, то есть точка перегиба кривой.

Доказательство:

Разложим по формуле Тейлора:

того же знака, что , , , если - четное то

или всегда, - не точка перегиба.

Если - нечетная

С одной стороны , с другой стороны - точка перегиба. - четное.

, - min

, - max

Билет 22

Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие.

Определение: По определению кривая называется выпуклой вниз (вверх) на отрезке [a,b], если любая дуга этой кривой с концами в точках ()расположена не ниже (не выше) стягивающей ее хорды.

Определение: Множество называется выпуклым, если для любых двух точек этого множества, отрезок, соединяющий их лежит также в этом множестве.

 

 

Выпуклость вверхВыпуклое множество

 

Выпуклость внизНевыпуклое множество

 

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие выпуклости на отрезке)

Пусть функция непрерывна на [a,b] и имеет вторую производную на (a,b). Для того чтобы кривая была выпуклой кверху (книзу) на [а,b], необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство () для всех .

Доказательство:

Пусть наша кривая выпукла кверху на [a,b]. Тогда для любых х и h >0 таких, что х, х+2h [a,b], имеет место неравенство , откуда .

Если теперь и - произвольные точки интервала (a,b), то, положив h = ( - )/n, будем иметь

.

Таким образом, (, и, переходя к пределу при , получим неравенство , показывающее, что производная на интервале (a,b) не возрастает. Но тогда на (a,b).

Обратно, пусть и . Нам нужно доказать, что функция , где , удовлетворяет неравенству . Допустим, что это не так. Тогда . Поэтому .

Применяя формулу Тейлора, получим

0= . Но в правой части этой цепочки равенств первый член по предположению отрицательный, а второй неположительный, поэтому правая часть меньше нуля, и мы пришли к противоречию.

Доказательство в случае аналогично.

Теорема доказана.

Билет 23

Правило Лопиталя. Случай 0/0.

Теорема 1: (Неопределенность вида 0/0)

Пусть f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки а,

в этой окрестности и в той же окрестности, тогда, если , то

Доказательство:

 

A – конечное.

Доопределим функции: f(a)=0 и g(а) = 0; f(x) и g(x) непрерывны на [a;x]

 

при

f(a)=g(a)=0 =>

2)

Пусть

Введем функции и

Теорема доказана.

Замечание: обратное неверно.

Пример:

Билет 24

Правило Лопиталя. Случай .

Теорема:

Пусть функции f и g определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a и и в некоторой выколотой окрестности точки a, тогда, если

, то и

Доказательство:

Возьмем произвольную последовательность , , , тогда по определению предела по Гейне

и

Тогда - для f(x) определение предела вида |f(x)|>C, где C =

- аналогично для g(x)

Тогда можно найти такой номер, для которого будут выполняться оба неравенства:

,

Используя термины можно записать:

, Пояснение: , а т.к.

Найдем теперь предел отношения к :

[ можно добавить или отнять , предел от этого не изменится ]

[ воспользуемся теоремой Коши: или - смотря, что больше]

- по определению предела по Гейне.

Мы получили еще не совсем теорему о сходимости последовательности через подпоследовательности, (ее формулировка: если такова, что из любой её подпоследовательности можно извлечь в свою очередь подпоследовательность , сходящуюся к конечному или бесконечному А, то предел =А) мы пока что только из самой последовательности выделили сходящуюся подпоследовательность, а это еще не значит, что сама последовательность сходится.

Теперь возьмем произвольную последовательность и её произвольную подпоследовательность , тогда по только что доказанному из подпоследовательности мы можем выделить подпоследовательность , сходящуюся к , т. е.

Теперь мы взяли произвольную последовательность, поэтому

Причем важно, чтобы предел отношения производных существовал. Теорема доказана.

 

Билет 25

Раскрытие неопределенностей вида , , , , .

 

Кроме рассмотренных неопределенностей и , встречаются неопределенности вида , , , , , определение которых очевидно. Эти неопределенности сводятся к неопределенностям или алгебраическими преобразованиями.

1) Неопределенность ( при ).

Ясно, что или .

2) Неопределенности вида , , для выражения сводятся к неопределенности .

Согласно определению этой функции . , то .

3) Неопределенность (, , при )

Легко видеть, что .

Билет 26