Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Интегрирование рациональных дробей.↑ ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5 Содержание книги Поиск на нашем сайте
Пусть нужно найти неопределенный интеграл от рациональной действительной дроби. Если степень многочлена P k не меньше степени многочлена Q n (), то прежде всего разделим P на Q: Многочлен R интегрируется без труда, а – правильная действительная дробь. Все трудности сводятся к интегрированию правильной дроби, которую мы снова обозначим через и представим в виде: Тогда пусть , 1 случай. Знаменатель содержит простые действительные корни, тогда его можно разложить на простейшие множители: (см.Теор.1) . Тогда Приравнивая тождественно равные числители, получим: Существуют 2 метода нахождения : 1) сравниваем коэффициенты при x с одинаковыми степенями; однако этот метод очень трудоемкий. 2) Т.к. равенства тождественны, можем взять , тогда . Так, подставляя поочередно найдем все Т.о., мы получили сумму элементарных дробей, которые можем легко проинтегрировать. Пример 2 случай. Знаменатель содержит кратные корни, тогда его можно представить в виде: . Пусть существуют n различных корней с кратностями , тогда - и делаем все так же, как и в предыдущем примере. Пример 3 случай. Знаменатель содержит кратные корни и многочлены, имеющие комплексные корни; , где многочлены , имеют комплексные корни. Тогда R(x) представим в виде: Снова приводим к общему знаменателю и приравниваем числители. Пример 4 случай Знаменатель содержит кратные действительные и кратные комплексные корни; Тогда R(x) представим в виде:
А дальше все делаем по старой схеме: методом неопределенных коэффициентов находим A, B... Пример
Теорема 1 Любой многочлен над полем С раскладывается на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами: Доказательство Если , то все в порядке: - линейный множитель с вещественными коэффициентами Пусть тогда существует невещественный корень . Ему соответствует скобка . Тогда если – корень, то сопряженный к нему тоже будет корнем. Тогда наряду с множителем будет присутствовать множитель . Перемножим эти 2 скобки: - квадратный трехчлен с вещественными коэффициентами, что и требовалось доказать.
Теперь нам нужно доказать, что любые правильные дроби раскладываются на простейшие. Лемма 1 Пусть многочлен представим в виде: , где - выделили максимальное кол-во скобок (x-a) и - степень числителя меньше степени знаменателя, тогда , причем дробь - правильная; если , то ; M(x) – многочлен с действительными коэффициентами. Доказательство Действуем так же, как в примерах: приводим к общему знаменателю и приравниваем числители: ; подставим , тогда , по условию - нам нужно доказать, что это – многочлен, а не дробь. Подставим x=a, числитель при такой подстановке = 0, а это значит, что многочлен делится на , т.е. M(x) – многочлен с действительными коэффициентами. Теперь докажем, что дробь - правильная, т.е. что . Степень знаменателя дроби = n-1, для числителя (M(x)): по условию и , да еще делим на (x-a) (), значит - меньше степени знаменателя, что и требовалось доказать. Лемма 2 Если многочлен Q(x) имеет комплексный корень кратности k, т е представим в виде , при этом многочлен имеет только комплексные корни, которые не являются корнями N(x). , тогда дробь можно представить в виде: , причем вторая дробь будет правильной. M(x) – многочлен с действительными коэффициентами. Доказательство Снова приведем дробь к общему знаменателю и приравняем числители. Получим Пусть , - корень многочлена , , значит сопряженное к нему тоже корень. Подставим и : ; Найдем определитель системы, чтобы выяснить, имеет она решения, или нет: , значит, система разрешима и существуют A и B – решения системы, нужно доказать, что , заменим A и B на : , решим сопряженную систему: - получили исходную систему; так как столбец - решение, столбец является решением. А т.к. решение должно быть единственным (определитель ), ; M(x) находится аналогично Лемме 1; теорема доказана. Обобщая все вышесказанное, получаем: («Теорему о разложении на простейшие дроби») Пусть многочлен представим в виде: и положим , тогда Заметим, что в самой последней дроби степень числителя (первая) меньше степени знаменателя (вторая), т.е. последняя дробь – правильная. И каждую из дробей-слагаемых мы можем проинтегрировать в элементарных функциях. Общий вывод: Любая рациональная дробь интегрируется в элементарных функциях.
Билет 32 Интегрирование выражений вида . Докажем, что любой такой интеграл – берущийся в элементарных функциях. Пусть , т.к. . Пусть m=НОК , . Сделаем замену: , тогда , причем последнее выражение - рациональное, т.к. m делится на любое . Тогда получим, что x=φ(t), dx=φ΄(t)dt, где φ(t) и φ΄(t)dt – рациональные выражения, поэтому: - тоже рациональное выражение Билет 33 Первая подстановка Эйлера (Леонарда)
Пусть многочлен имеет вещественные корни. Пусть - корни, тогда . Рассмотрим подстановку Билет 34 Вторая подстановка Эйлера для интегралов вида , где . Корни трехчлена ax2+bx+c комплéксные. Тогда надо считать, что a>0, иначе трехчлен был бы отрицателен для всех x. Делаем подстановку .Возводя это равенство в квадрат и заменяя его выражением, получим: Где x, y и dx – некоторые рациональные функции от t. В конечном счете получаем: . Билет 35
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-16; просмотров: 311; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 52.15.223.239 (0.009 с.) |