Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.Содержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Пусть функция имеет производную в точке (конечную): . Тогда для достаточно малых можно записать в виде суммы и некоторой функции, которую мы обозначим через , которая стремится к нулю вместе с : , и приращение в точке может быть записано в виде: или (1), ведь выражение понимается как функция от такая, что ее отношение к стремится к нулю вместе с . Пояснение: Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде: (2), где А не зависит от , но вообще зависит от . Теорема 1: Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела конечную производную в этой точке. Доказательство: Достаточность условия доказана выше: из существования конечной производной следовала возможность представления в виде (1), где можно положить . Необходимость условия. Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда из (2), предполагая , получаем . Предел правой части при существует и равен А: . Это означает, что существует производная . Теорема доказана. Билет 9 Производные высших порядков. Формула Лейбница.
Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке Xo, то есть существует ее производная в этой точке f ’ (Xo). Пусть f - дифференцируема в некоторой окрестности U(Xo). f’(x) определена на U(Xo) и если дифференцируема в точке Xo, то (f’(Xo))’=f’’(Xo). Вообще Теорема: (Формула Лейбница) Пусть функции U и V n раз дифференцируемы, т.е. существуют и . Значит (U*V) – тоже n раз дифференцируема, при этом Доказательство: Метод математической индукции: Пусть при n=m – верно, т.е. (*) Надо доказать, что Доказательство: Теорема доказана. Билет 10 Дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы первого дифференциала. Неинвариантность формы дифференциалов второго и высших порядков. f(x) дифференцируема, тогда . Далее, пусть f – n раз дифференцируема, __________________________ . Докажем, что 1) , 2) Пусть при n = m 3) Инвариантность/Неинвариантность. 1) y(x), x – независимая переменная, , пусть x = x(t)
2) y(x), x – независимая переменная, , , , здесь , . Билет 11 Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма. Определение 1:. f(x) – возрастает (не убывает) в точке , если . Определение 1’. f(x) – возрастает (не убывает) в точке , если Определение 1’’. f(x) – возрастает (не убывает) в точке , если Определение 2. f(x) – убывает (не возрастает) в точке , если . Определение 2’. f(x) – убывает (не возрастает) в точке , если Определение 2’’. f(x) – убывает (не возрастает) в точке , если Теорема 1: (Необходимое условие возрастания (неубывания) функции в точке ) Если f возрастает (не убывает) в точке и дифференцируема в точке , то . Доказательство: Т.к. функция возрастает (не убывает), то, по определению 1’’, , а значит и . Теорема доказана. Теорема 1’ (Необходимое условие убывания (невозрастания) функции в точке ) Если f убывает (не возрастает) в точке и дифференцируема в точке, то . Доказательство: Т.к. функция убывает (не возрастает), то, по определению 2’’, , а значит и , теорема доказана. Теорема 2: (Достаточное условие возрастания) Если f(x) дифференцируема в точке , причем , то f(x) возрастает в точке . Доказательство: По теореме о сохранении знака: , значит f возрастает. Теорема доказана. Замечание: если , то про возрастание сказать ничего нельзя. Теорема 2’: (Достаточное условие убывания) Если f(x) дифференцируема в точке , причем , то f(x) убывает в точке . Доказательство: По теореме о сохранении знака: , значит f(x) убывает. Теорема доказана. Замечание: если , то про убывание сказать ничего нельзя. Теорема Ферма: (Необходимое условие существования экстремума) Если f(x) дифференцируема в точке и – точка локального экстремума, то . Доказательство: Пусть f(x) возрастает в точке , т.е. , т.е. – не точка экстремума. Аналогично невозможен случай , следовательно . Теорема доказана. Билет 12 Теорема Ролля. Теорема: Если функция непрерывна на , дифференцируема на и , то существует точка , такая, что . Доказательство: Так как функция f непрерывна на [a,b], то существует точка x1, в которой f достигает максимума и точка x2, в которой f достигает минимума. Рассмотрим 2 случая:
И тогда производная
Контрпример 1 Уберем непрерывность в точке b: теорема потеряет силу. Контрпример 2 Уберем дифференцируемость в одной из точек: теорема потеряет силу. Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл: если выполнены все условия теоремы, то на графике функции! существует точка касательная в которой параллельна оси x.
Физический смысл: при прямолинейном движении если перемещение тела = 0, то существует момент времени, в который скорость тела = 0.
Билет 13
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-16; просмотров: 3496; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.219.15.112 (0.009 с.) |