Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Производная. Определение, непрерывность функции, имеющей производную.↑ Стр 1 из 5Следующая ⇒ Содержание книги
Поиск на нашем сайте
Билет 1 Производная. Определение, непрерывность функции, имеющей производную. Определение: Производной от функции в точке называется предел, к которому стремится отношение ее приращения в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:
Т.е., если определена в , то
Теорема: (необходимое условие существования производной) Если функция имеет конечную в точке , то непрерывна в точке . Доказательство: При , Следовательно - непрерывна в точке . Теорема доказана.
Замечание: обратное утверждение неверно, если функция непрерывна в точке , то отсюда не следует, что она имеет производную в этой точке. Контрпример: Утверждение: если функция имеет в точке правую и левую производную, то она непрерывна и справа и слева. Контрпример: Билет 2 Геометрический смысл производной.
Теорема 1: График функции имеет невертикальную касательную тогда и только тогда, когда существует конечное значение производной этой функции в данной точке.
Доказательство: Пусть существует значение f’()-конечное, тогда при Секущая стремится к касательной. => ч.т.д. Пусть существует невертикальная касательная => существует - конечный. Секущая стремится к касательной. => Теорема доказана. Билет 3 Арифметические свойства производной. Пусть f = f(x) и g = g(x) – функции, имеющие конечные производные в точке x0, тогда справедливы равенства: 1. 2. 2.1. где k – константа 3. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1.
2. Заметим, что функция f, как имеющая производную, непрерывна, и потому при
3.
Билет 4 Производная обратной функции. Определение: Пусть на интервале (a,b) задана непрерывная строго монотонная, т.е. строго возрастающая или строго убывающая, функция . Пусть образ (a,b) есть интервал (A,B). тогда обратная к функция есть однозначная непрерывная и строго монотонная на (A,B) функция. Зафиксируем и дадим ему приращение Тогда получит соответствующее приращение Наоборот, Вследствие непрерывности прямой и обратной функций для указанных имеет место утверждение: из следует , и обратно. Пусть теперь функция в точке у имеет неравную нулю производную . Покажем, что в таком случае функция также имеет в соответствующей точке х производную. В самом деле, Так как из того, что следует, что , то Этим доказано, что если есть строго монотонная непрерывная функция и обратная к ней функция, имеющая в точке у производную , то функция имеет в соответствующей точке х производную, определяемую формулой (1). Может случится, что в точке В этом случае, очевидно, функция имеет в соответствующей точке х производную . Если же , то для строго возрастающей функции при этом , а для строго убывающей . В первом случае , а во втором . Пример 1. Если логарифм натуральный, то . Функция ln x как действительная функция определена только для положительных значений х. Пример 2. где Пример 3. Пример 4. Функция строго возрастает на отрезке [-1,1] и отображает этот отрезок на Обратная к ней функция имеет производную положительную на интервале . Поэтому Пример 5. Пример 6. Билет 5 Производная сложной функции.
Теорема: Пусть функция такая, что , и функция такая, что , . Тогда функция и . Доказательство: дифференцируема в точке , тогда: Рассмотрим ∆H: Билет 6 Производные элементарных функций. 1. ; 2. 3. 4. (т.к. функция непрерывна) Замечание: если функция имеет конечную производную в точке, то она непрерывна в этой точке (было доказано в Билете 1), но она может быть разрывной в любой другой точке, кроме этой. Пример: , т.к. - не выполняется критерий Коши и в каждой точке функция разрывна.
Билет 7 Билет 8 Билет 9 Производные высших порядков. Формула Лейбница.
Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке Xo, то есть существует ее производная в этой точке f ’ (Xo). Пусть f - дифференцируема в некоторой окрестности U(Xo). f’(x) определена на U(Xo) и если дифференцируема в точке Xo, то (f’(Xo))’=f’’(Xo). Вообще Теорема: (Формула Лейбница) Пусть функции U и V n раз дифференцируемы, т.е. существуют и . Значит (U*V) – тоже n раз дифференцируема, при этом Доказательство: Метод математической индукции: Пусть при n=m – верно, т.е. (*) Надо доказать, что Доказательство: Теорема доказана. Билет 10 Дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы первого дифференциала. Неинвариантность формы дифференциалов второго и высших порядков. f(x) дифференцируема, тогда . Далее, пусть f – n раз дифференцируема, __________________________ . Докажем, что 1) , 2) Пусть при n = m 3) Инвариантность/Неинвариантность. 1) y(x), x – независимая переменная, , пусть x = x(t)
2) y(x), x – независимая переменная, , , , здесь , . Билет 11 Билет 12 Теорема Ролля. Теорема: Если функция непрерывна на , дифференцируема на и , то существует точка , такая, что . Доказательство: Так как функция f непрерывна на [a,b], то существует точка x1, в которой f достигает максимума и точка x2, в которой f достигает минимума. Рассмотрим 2 случая:
И тогда производная
Контрпример 1 Уберем непрерывность в точке b: теорема потеряет силу. Контрпример 2 Уберем дифференцируемость в одной из точек: теорема потеряет силу. Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл: если выполнены все условия теоремы, то на графике функции! существует точка касательная в которой параллельна оси x.
Физический смысл: при прямолинейном движении если перемещение тела = 0, то существует момент времени, в который скорость тела = 0.
Билет 13 Билет 14 Теорема о среднем Лагранжа. Теорема: Пусть функция непрерывна на отрезке и имеет производную на интервале . Тогда существует на интервале точка , для которой выполняется равенство (1), причем . Доказательство: В теореме Коши, возьмем . Тогда , , . Из теоремы Коши: теорема доказана. Физический смысл: Найдется момент времени когда (средняя скорость равна мгновенной) Геометрический смысл: Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая есть график непрерывной на функции, имеющей производную на , то на этой кривой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой и . Равенство (1) называется формулой (Лагранжа) конечных приращений. Промежуточное значение удобно записывать в виде , где есть некоторое число, удовлетворяющее неравенствам . Тогда формула Лагранжа примет вид
Она верна, очевидно, не только для , но и для . Билет 15 Билет 16 Билет 17 Билет 18 Билет 19 Билет 20 Билет 22 Билет 23 A – конечное. Доопределим функции: f(a)=0 и g(а) = 0; f(x) и g(x) непрерывны на [a;x]
при f(a)=g(a)=0 => 2) Пусть Введем функции и Теорема доказана. Замечание: обратное неверно. Пример: Билет 24 Правило Лопиталя. Случай . Теорема: Пусть функции f и g определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a и и в некоторой выколотой окрестности точки a, тогда, если , то и Доказательство: Возьмем произвольную последовательность , , , тогда по определению предела по Гейне и Тогда - для f(x) определение предела вида |f(x)|>C, где C = - аналогично для g(x) Тогда можно найти такой номер, для которого будут выполняться оба неравенства: , Используя термины можно записать: , Пояснение: , а т.к. Найдем теперь предел отношения к : [ можно добавить или отнять , предел от этого не изменится ] [ воспользуемся теоремой Коши: или - смотря, что больше] - по определению предела по Гейне. Мы получили еще не совсем теорему о сходимости последовательности через подпоследовательности, (ее формулировка: если такова, что из любой её подпоследовательности можно извлечь в свою очередь подпоследовательность , сходящуюся к конечному или бесконечному А, то предел =А) мы пока что только из самой последовательности выделили сходящуюся подпоследовательность, а это еще не значит, что сама последовательность сходится. Теперь возьмем произвольную последовательность и её произвольную подпоследовательность , тогда по только что доказанному из подпоследовательности мы можем выделить подпоследовательность , сходящуюся к , т. е. Теперь мы взяли произвольную последовательность, поэтому Причем важно, чтобы предел отношения производных существовал. Теорема доказана.
Билет 25 Раскрытие неопределенностей вида , , , , .
Кроме рассмотренных неопределенностей и , встречаются неопределенности вида , , , , , определение которых очевидно. Эти неопределенности сводятся к неопределенностям или алгебраическими преобразованиями. 1) Неопределенность ( при ). Ясно, что или . 2) Неопределенности вида , , для выражения сводятся к неопределенности . Согласно определению этой функции . , то . 3) Неопределенность (, , при ) Легко видеть, что . Билет 26 Билет 27 Первообрáзная. Неопределенный интеграл. Свойства. Определение 1: Функция F называется первообразной функции f на интервале (a,b), если функция f непрерывна на интервале (a,b), и для всех x из этого интервала выполняется равенство: F΄(x)=f(x). Замечание: Вместо (a,b) можно рассматривать [a,b], (a,b] и [a,b), но нужно будет говорить про односторонние производные: =f(a), и =f(b). Пример . на промежутке (-∞,0) и на (0,+∞).
Теорема: (О множестве всех первообразных). Пусть F(x) является первообразной функции f(x) на на промежутке I, тогда функции вида F(x)+C и только они являются первообразными функции f(x), где C – произвольная константа. Доказательство: Пусть функция F(x) – первообразная функции f(x), тогда F΄(x)=f(x) и (F(x)+C)΄=f(x). Пусть функции F и G – первообразные функции f(x) на промежутке I (нужно доказать, что они отличаются на константу). Тогда (F-G)΄=0 F-G=C (по теореме о функции, имеющей нулевую производную). Теорема доказана. Определение 2: Множество всех первообразных функции f(x) на промежутке I называется неопределенным интегралом и обозначается . При этом если функция F(x) – первообразная функции f(x), то . Пример: . Свойства первообразных и неопределенного интеграла. 1. Пусть функция f(x) имеет первообразную F(x) на промежутке I и функция g(x) имеет первообразную G(x) на промежутке I, тогда функция f(x)±g(x) будет иметь первообразную F(x)±G(x) на промежутке I. Для интегралов: . Замечание: Обратное неверно! Из существования интеграла не следует существование интегралов и . Первообразной функции k·f(x) является функция k·F(x). Для интегралов: . 2. Первообразной производной функции f΄(x) является сама функция f(x). Для интегралов: . 3. (по определению). Билет 28 Билет 29 Билет 30 Билет 31 Билет 32 Интегрирование выражений вида . Докажем, что любой такой интеграл – берущийся в элементарных функциях. Пусть , т.к. . Пусть m=НОК , . Сделаем замену: , тогда , причем последнее выражение - рациональное, т.к. m делится на любое . Тогда получим, что x=φ(t), dx=φ΄(t)dt, где φ(t) и φ΄(t)dt – рациональные выражения, поэтому: - тоже рациональное выражение Билет 33 Первая подстановка Эйлера (Леонарда)
Пусть многочлен имеет вещественные корни. Пусть - корни, тогда . Рассмотрим подстановку Билет 34 Вторая подстановка Эйлера для интегралов вида , где . Корни трехчлена ax2+bx+c комплéксные. Тогда надо считать, что a>0, иначе трехчлен был бы отрицателен для всех x. Делаем подстановку .Возводя это равенство в квадрат и заменяя его выражением, получим: Где x, y и dx – некоторые рациональные функции от t. В конечном счете получаем: . Билет 35 Билет 36 Билет 37 Определенный интеграл Римана. Эквивалентные определения. Условие Коши. Пусть задана функция f(x) на отрезке . Составим разбиение R: .
Это интегральная сумма, соответствующая разбиению R и выбору точек . Если существует предел при интегральных сумм , и он не зависит от R и , то он называется определенным интегралом Римана.
Определение по Коши:
По Гейне: , где - последовательность разбиений. Критерий Коши:
Билет 38 Билет 39 Суммы Дарбу. Их Свойства. Определение: Пусть ограничена на отрезке . Введём разбиение R этого отрезка. R: , . Тогда можем составить выражения: - нижняя сумма Дарбу, - верхняя сумма Дарбу. , .
Пусть ограничена на отрезке . Введём разбиение R этого отрезка. R: , . Тогда можем составить выражения: - нижняя сумма Дарбу, - верхняя сумма Дарбу. , . Свойства сумм Дарбу: 1) , для одного и того же разбиения. 2) Рассмотрим два разбиения в случае, когда одно разбиение является продолжением другого. Т.е. - продолжение , если все точки являются точками . Добавление точек не увеличивает и не уменьшает . Пусть получается из добавлением одной точки. , , , ,
Заметим, что если , то и . Отсюда заключаем: , , , . 3) , , , => , т.е. . - нижний интеграл (нижняя точная сумма Дарбу). . - верхний интеграл (верхняя точная сумма Дарбу). . .
Билет 40 Билет 41 Билет 42 Теорема 2 Функция непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем (). Доказательство: Допустим что теорема неверна. Построим отрицание к определению 2. . Зададим стремящуюся к нулю последовательность положительных чисел , тогда . Так как точки последовательности принадлежат к отрезку , то эта последовательность ограничена, и из нее можно выделить, по теореме Больцано-Вейерштрасса, подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке . Значит, из нее можно выделить также подпоследовательность . Аналогично выделим подпоследовательность и . Получили противоречие – теорема доказана. Необходимость условия: Если , то теорема 2 не выполняется. Пример Пусть при |
||
| Поделиться: |
Познавательные статьи:
Последнее изменение этой страницы: 2016-08-16; просмотров: 3402; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!
infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.105.199 (0.01 с.)