Теорема Коши. Физический смысл.

Теорема: (Коши о среднем)

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [ a,b ] и имеют производные на интервале (a,b), одновременно не обращающиеся в ноль. При этом g(b)-g(a)¹0 ( что следует из условия g΄(x)¹0). Тогда на интервале (a,b) найдется точка ζ, для которой выполняется неравенство:

, a<ζ<b.

Доказательство: Вводим функцию H(x)=(f(b)-f(a))·g(x)-(g(b)-g(a))·f(x). Очевидно, что она непрерывна на [ a,b ] и имеет производную на (a,b), т.к. f(b)-f(a) и g(b)-g(a) постоянны. Кроме того, H(a)=H(b), поэтому по теореме Ролля найдется такая точка ζ из (a,b), что H΄(ζ)=0.

H΄(ζ)=(f(b)-f(a))·g΄(ζ)-(g(b)-g(a))·f΄(ζ)Þ (f(b)-f(a))·g΄(ζ)=(g(b)-g(a))·f΄(ζ) , т.к. по условию g(b)-g(a)¹0 и g΄(x)¹0 на (a,b).

Теорема доказана.

Физический смысл: Если f΄(x) и g΄(x) – скорости, то отношение перемещений равно отношению скоростей в какой-то момент времени.

 

 

Билет 14

Теорема о среднем Лагранжа.

Теорема:

Пусть функция непрерывна на отрезке и имеет производную на интервале . Тогда существует на интервале точка , для которой выполняется равенство

(1),

причем .

Доказательство:

В теореме Коши, возьмем . Тогда , , .

Из теоремы Коши: теорема доказана.

Физический смысл:

Найдется момент времени когда (средняя скорость равна мгновенной)

Геометрический смысл:

Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая есть график непрерывной на функции, имеющей производную на , то на этой кривой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой и .

Равенство (1) называется формулой (Лагранжа) конечных приращений. Промежуточное значение удобно записывать в виде , где есть некоторое число, удовлетворяющее неравенствам . Тогда формула Лагранжа примет вид

Она верна, очевидно, не только для , но и для .

Билет 15

Достаточное условие невозрастания (неубывания) функции на отрезке. Условие постоянства функции на отрезке.

 

Определение: Функция называется строго возрастающей на отрезке [a,b], если для любых точек , из [a,b], удовлетворяющих неравенству , имеет место неравенство .

Определение: Функция называется неубывающей на [a,b], если из того, что и следует, что .

Определение: Функция называется строго убывающей на отрезке [a,b], если из того, что и следует, что .

Определение: Функция называется невозрастающей на [a,b], если из того, что и следует, что .

Пример:

Если убывает на и на , то нельзя говорить, что убывает на .

Теорема 1: (необходимое условие возрастания (неубывания) функции в точке )

Если функция возрастает (неубывает) в точке и дифференцируема в , то .

Доказательство:

Теорема доказана.

Пример: возрастает в 0 и

Теорема 1’: (необходимое условие убывания (невозрастания) функции в точке )

Если функция убывает (невозрастает) в точке и дифференцируема в , то .

Доказательство – аналогично теореме 1.

Теорема 2: (достаточное условие возрастания)

Если функция дифференцируема в и , то возрастает в точке .

Доказательство:

возрастает.

Теорема доказана.

Замечание: Если в точке , то ни про возрастание, ни про убывание ничего сказать нельзя.

Билет 16

Достаточные условия экстремума.

Теорема 1: (первое достаточное условие существования экстремума)

Если f(x) дифференцируема в , f’ имеет разные знаки слева и справа от Xo => Xo – точка экстремума.

Доказательство:

Т.к f(x) с одной стороны возрастает, с другой убывает, т.е.

- max

- min

Теорема доказана.

Теорема 2: (второе достаточное условие существования экстремума)

Если в f()=0, f’’()>0 – min; f’’()<0 – max

Доказательство:

f’()=0, существует f’’()=> f’ определена в U()

f’(x) в точке возрастает(f’’()>0)

f’(x) в точке убывает(f’’()<0)

1) f’’()>0 f’(x) возрастает, f’()=0 =>

при x<

 

при x< => – точка минимума

 

2) Аналогично для f’’()<0…

 

Билет 17

Формула Тейлора для многочленов.

Рассмотрим произвольный многочлен степени n:

(1)

Пусть a – любое фиксированное число, тогда, полагая , получим

(2)

Это выражение называют разложение многочлена по степеням . Здесь – числа, зависящие от и , – коэффициенты разложения по степеням .

Подставим в выражение (2) , получим

(3)

Найдем последовательные производные и подставим в ним

Таким образом, многочлен может быть представлен в виде

или

Последняя формула называется формулой Тейлора для многочлена по степеням . Отметим, что правая часть этого выражения фактически не зависит от .

 

Билет 18