Определение функций и её основные свойства. 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Определение функций и её основные свойства.



МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(национальный исследовательский университет)» (МАИ)

 

Филиал «ВОСХОД»

 

Кафедра МиПОИС

УТВЕРЖДАЮ

Преподаватель ____________ Беловодская Л.А.

«_____»__________ 2015 г.

 

 

Курсовая работа

Тема: «Исследование функции и построение графиков»

по дисциплине: «Математический анализ»

 

 

Студент Аникин И.А.

гр. ДМ 1-40 подпись___________

 

«_____»__________ 2015 г.

 

 

Байконур 2015 г.

Аннотация

Данная курсовая работа состоит из теоретической и практической частей.

Первая часть включает в себя теоретический материал на тему: «Исследование функции и построение графиков». Главной задачей курсовой работы является наиболее простое и наглядное изложение теоретического и практического материала по данной теме.

Во второй части на рассмотрение предложено решение одиннадцати задач с приложенными к ним графиками и ответами.

 

 

Содержание:

1. Теоретическая часть

1.1. Определение функций и её основные свойства

1.2. Предел функции. Теорема о пределах

1.3. Непрерывная функция

1.4. Определение производной. Геометрический смысл производной. Скорость изменения функции

1.5. Построение графиков функций

1.5.1. Построение графиков функций с помощью элементарных преобразований

1.5.2. Построение графика функции с помощью свойств функции

1.6. Правила предельного перехода. Таблица производных

1.7. Вычисление приближенного значения с помощью дифференциала

1.8. Применение производной к исследованию функции

1.8.1. Необходимое и достаточное условие монотонности

1.8.2. Исследование функции на экстремумы

1.8.3. Наибольшее и наименьшее значение функции

1.8.4. Выпуклость и вогнутость функции

1.8.5. Точки перегиба функции

1.8.6. Асимптоты

1.9. Схема исследования функции и построение графика

2. Практическая часть

 

 

Теоретическая часть

Определение функций и её основные свойства.

Определение функции:

Если каждому значению переменной величины х, принадлежащей некоторой совокупности (множеству Е), соответствует одно и только одно конечное значение величины y, то у называется функцией (однозначной) от х или зависимой переменной на множестве E; х называется аргументом или зависимой переменной. То обстоятельство, что y есть функция от x, то кратко выражают записью:

и т.п.

Основные свойства функции:

1. Область определения функции - это множество значений x, которые имеют соответствующие им значения функции. Обозначают

На графике область определения - это промежутки на оси OX, над которыми (или под которыми) имеются части графика.

2. Область значений функции – это множество всех её значений . Обозначают ). На графике область значений функций - это промежутки на оси , слева или справа от которых находятся части графика.

Возрастание и убывание функции.

Функция ) называется возрастающей, если для любых значений аргументов x1, x2 из неравенства следует неравенство .

Функцию можно назвать возрастающей на промежутке, если большему из любых двух взятых из него чисел всегда соответствует большее значение функции.

Функция называется убывающей, если для любой пары значений аргументов x1, x2 из неравенства следует неравенство .

Функцию можно назвать убывающей на промежутке, если у любых двух взятых из него чисел большему из них всегда соответствует меньшее значение функции.

 

4. Промежутки знакопостоянства.

Промежутки, на которых значение функций имеют постоянный знак.

Промежуток положительного знака – это множество значений переменной у которых соответствующие значение функции больше нуль .

На графике – это части абцисс, у которых соответствующие кусочки графика выше оси . Без графика их тоже можно найти, составив и решив неравенство .

Промежуток отрицательного знака – это множество тех значений переменной х, у которых соответствующее значение функции меньше нуля .

На графике – это промежутки оси абцисс, у которых соответствующие кусочки графика ниже оси найти, составив и решив .

Нули функции.

Это значение переменной , при которых

Без графика нули функции тоже можно найти, составив и решив .

По графику нули определяются как абциссы точек пересечения графика с осью .

Периодичность функций.

Функция называется периодичной с периодом , если для любого верно, ).

Если является периодом функции у , то число период функции

Если Т1>0 и T2>0 – периоды соответствующих функций и , причем = где , то любая комбинация этих функций

).

8. Точка экстремума функции (точка максимума, минимума)

Точка называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство: .

Точка называется точкой минимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности .

Определение по Гейне.

Число А называется пределом функций при , если для любой последовательности значение аргумента ; , соответствует значению последовательности функции сходится к .

Теорема о пределах.

Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве)

Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.

Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве)

Если значения функции в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции , то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции

Теорема 3. (предел постоянной равен самой постоянной)

Доказательство. , докажем, что .

Возьмем произвольное . В качестве можно взять любое положительное число. Тогда, при

Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в одной точке.

Доказательство. Предположим противное. Пусть

и

По теореме о связи предела и бесконечно малой функции

- бесконечно малая при

- бесконечно малая при

Вычитая эти равенства,

Переходя к пределам, в общих частях равенства при имеем , то есть . Получаем противоречие, доказывающее теорему.

Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при , то алгебраическая сумма имеет предел при , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

Доказательство: Пусть

,

тогда, по теореме о связи предела бесконечно малой функции, где –бесконечно малы при

Сложим алгебраически эти неравенства:

где - бесконечно малые при .

По теореме о связи предела и бесконечно малой функции

 

Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при , причем предел произведения равен произведению пределов.

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Теорема 7. Если функция и имеют предел при , причем , то их частное имеет предел при , причем предел частного равен частному пределов.

;

 

Непрерывная функция.

Определение 1.

Функция называется непрерывной в точке, если она определена в некоторой окрестности и предел приращения в этой точке тоже равен нулю.

Определение 2.

Функция определенная в окрестности называется непрерывной в , если предел функции равен значению функции в этой тоже

Если определена в окрестности , кроме, может быть самой и не является в точке , а точка разрыва.

Определение 3.

Функция непрерывна в точке , если для любого найдется , что

выполняется, то выполняется | .

Определение 4.

Функция непрерывна в точке , если для любой выполняется .

 

Правила предельного перехода. Таблица производных.

Правило 1.

Если функция f непрерывна в точке , то .

Правило 2.

Если функция f имеет производную в точке , то , при .

Эти правила следуют из определения непрерывности.

 

Правило 3.

Пусть f(x) A, (x) при х , тогда при ():

a) f(x) + (x) A+B

б) f(x) × (x) A×B

в) при B 0

Для непрерывных функций f и

А = f(x), B = ()

И эти правила означают, что сумма, произведение и частное непрерывных в точке функций непрерывны в (частное в случае, когда ).

Таблица производных.

Таблица 2

Функция Производная
 

 

Правила дифференцирования.

u,f,v – функции; c = const

Точки перегиба функции.

Точкой перегиба называется такая точка линии, которая отделяет выпуклую дугу от вогнутой.

В точке перегиба касательная пересекает линию, в окрестности этой точки линия лежит по обе стороны от касательной.

Интервалу убывания первой производной соответствует участок выпуклости графика функции, а интервалу возрастания – участок вогнутости.

Теорема (о точках перегиба):

Если вторая производная всюду в интервале отрицательна, то дуга линии y = f(x), соответствующая этому интервалу, выпуклая. Если вторая производная всюду в интервале положительна, то дуга линии y = f(x), соответствующая этому интервалу, вогнутая.

Необходимый признак точки перегиба:

Если – абсцисса точки перегиба, то либо , либо не существует.

Достаточный признак точки перегиба:

Точка есть точка перегиба линии y = f(x), если , а ;

При слева от нее лежит участок выпуклости, справа – участок вогнутости, а при слева лежит участок вогнутости, а справа – выпуклости.

Асимптоты.

Определение.

Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Виды асимптот:

1. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы одна из прямых значений или равно или .

Замечание:

Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

2. Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы одно из предельных значений или равно .

Замечание:

График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую.

3. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции y = f(x), если

Практическая часть

 

Задание 1.2.

Построить график функции:

1.

2. – сдвиг влево на 1

3. – расширение графика в 2 раза

4. – сдвиг графика вниз на 2

График изображён в Приложении 1.

 

Задание 2.2.

Выполнить исследование функции и построить её график:

1. Область определения функции:

 

2. Область значений функции:

 

3. Исследование на непрерывность:

 

 

Функция терпит разрыв в точке . –точка разрыва второго рода, так как предел этой функции равен бесконечности.

 

 

4. Исследование на бесконечность:

 

 

 

 

5. Пересечение графика с осями координат:

Точки не существует, значит график не пересекает ось ОУ.

 

–точка пересечения графика с осью ОХ.

График изображён в Приложении 2.

Задание 3.2.

Построить график системы уравнений:

0;

;

;

;

 

График изображён в Приложении 3.

 

Задание 4.2.

С помощью дифференциала найти:

1) Приближённое значение функции

2) Точное значение функции

3) Абсолютную и относительную погрешность

 

 

 

1.Приближённое значение функции:

 

Ответ:

 

 

2. Точное значение функции:

 

Ответ:

3. Относительная и абсолютная погрешность:

Ответ:

 

Задание 5.2.

Найти производные функций:

1.

 

 

2.

 

 

 

 

3.

 

 

 

4.

 

 

 

 

5.

 

 

 

Задание 6.2.

Найти максимальное и минимальное значение функции на заданном промежутке:

ОДЗ:

Подставим полученное значение,а так же значения ,ограничивающие график функции,в функцию.

- минимальное значение функции

- максимальное значение функции

Ответ: минимальное значение функции ; максимальное значение функции .

 

Задание 7.2.

Исследовать поведение функции в окрестности данной точки:

Для этого нужно найти производную высшего порядка .

Если ,то – точка минимума, если ,то – точка максимума.

- точка максимума.

Ответ: - точка максимума.

 

Задание 8.2.

Найти асимптоты и построить график функции:

 

 

 

 

– вертикальные асимптоты.

Проверим функцию на наличие наклонных и горизонтальных асимптот:

График не имеет наклонных асимптот

 

График изображён в Приложении 4.

Задание 9.2.

Провести полное исследование функции и построить её график:

1. Область определения функции:

2. Проверка функции на чётность/нечётность:

– функция не является чётной

– функция не является нечётной

.

3. Исследование на периодичность:

Функция дробно-рациональная, а значит не периодична.

 

4. Исследование на непрерывность:

 

 

– точка разрыва второго рода, так как пределы слева и справа равны бесконечности, значит, – вертикальная асимптота.

5. Пересечения графика функции с осями координат:

значит,график не пересекает ось ОX

, график пересекает ось ОY в точке .

 

6. Исследование на бесконечность:

 

Функция бесконечна.

 

7. Нахождение наклонных асимптот:

– наклонная асимптота.

8. Исследование функции на монотонность:

 

 

     
+      
     

 

–точка максимума

точка минимума

 

9. Нахождение точек перегиба:

     
+      
     
         

График изображён в Приложении 5.

Задание 10.2.

Провести полное исследование функции и построить её график:

1. Область определения функции:

2. Проверка функции на чётность/нечётность:

– функция не является чётной

– функция не является нечётной

.

 

3. Исследование на периодичность:

Функция дробно-рациональная, а значит не периодична.

 

4. Исследование на непрерывность:

 

 

– точка разрыва второго рода, так как пределы слева и справа равны бесконечности, значит, – вертикальная асимптота.

5. Пересечения графика функции с осями координат:

значит,график не пересекает ось ОX

, график пересекает ось ОY в точке .

 

6. Исследование на бесконечность:

 

Функция бесконечна.

 

7. Нахождение наклонных асимптот:



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-04-18; просмотров: 370; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.229.117.191 (0.356 с.)