Определение функций и её основные свойства.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(национальный исследовательский университет)» (МАИ)

 

Филиал «ВОСХОД»

 

Кафедра МиПОИС

УТВЕРЖДАЮ

Преподаватель ____________ Беловодская Л.А.

«_____»__________ 2015 г.

 

 

Курсовая работа

Тема: «Исследование функции и построение графиков»

по дисциплине: «Математический анализ»

 

 

Студент Аникин И.А.

гр. ДМ 1-40 подпись___________

 

«_____»__________ 2015 г.

 

 

Байконур 2015 г.

Аннотация

Данная курсовая работа состоит из теоретической и практической частей.

Первая часть включает в себя теоретический материал на тему: «Исследование функции и построение графиков». Главной задачей курсовой работы является наиболее простое и наглядное изложение теоретического и практического материала по данной теме.

Во второй части на рассмотрение предложено решение одиннадцати задач с приложенными к ним графиками и ответами.

 

 

Содержание:

1. Теоретическая часть

1.1. Определение функций и её основные свойства

1.2. Предел функции. Теорема о пределах

1.3. Непрерывная функция

1.4. Определение производной. Геометрический смысл производной. Скорость изменения функции

1.5. Построение графиков функций

1.5.1. Построение графиков функций с помощью элементарных преобразований

1.5.2. Построение графика функции с помощью свойств функции

1.6. Правила предельного перехода. Таблица производных

1.7. Вычисление приближенного значения с помощью дифференциала

1.8. Применение производной к исследованию функции

1.8.1. Необходимое и достаточное условие монотонности

1.8.2. Исследование функции на экстремумы

1.8.3. Наибольшее и наименьшее значение функции

1.8.4. Выпуклость и вогнутость функции

1.8.5. Точки перегиба функции

1.8.6. Асимптоты

1.9. Схема исследования функции и построение графика

2. Практическая часть

 

 

Теоретическая часть

Определение функций и её основные свойства.

Определение функции:

Если каждому значению переменной величины х, принадлежащей некоторой совокупности (множеству Е), соответствует одно и только одно конечное значение величины y, то у называется функцией (однозначной) от х или зависимой переменной на множестве E; х называется аргументом или зависимой переменной. То обстоятельство, что y есть функция от x, то кратко выражают записью:

и т.п.

Основные свойства функции:

1. Область определения функции - это множество значений x, которые имеют соответствующие им значения функции. Обозначают

На графике область определения - это промежутки на оси OX, над которыми (или под которыми) имеются части графика.

2. Область значений функции – это множество всех её значений . Обозначают ). На графике область значений функций - это промежутки на оси , слева или справа от которых находятся части графика.

Возрастание и убывание функции.

Функция ) называется возрастающей, если для любых значений аргументов x₁, x₂ из неравенства следует неравенство .

Функцию можно назвать возрастающей на промежутке, если большему из любых двух взятых из него чисел всегда соответствует большее значение функции.

Функция называется убывающей, если для любой пары значений аргументов x₁, x₂ из неравенства следует неравенство .

Функцию можно назвать убывающей на промежутке, если у любых двух взятых из него чисел большему из них всегда соответствует меньшее значение функции.

 

4. Промежутки знакопостоянства.

Промежутки, на которых значение функций имеют постоянный знак.

Промежуток положительного знака – это множество значений переменной у которых соответствующие значение функции больше нуль .

На графике – это части абцисс, у которых соответствующие кусочки графика выше оси . Без графика их тоже можно найти, составив и решив неравенство .

Промежуток отрицательного знака – это множество тех значений переменной х, у которых соответствующее значение функции меньше нуля .

На графике – это промежутки оси абцисс, у которых соответствующие кусочки графика ниже оси найти, составив и решив .

Нули функции.

Это значение переменной , при которых

Без графика нули функции тоже можно найти, составив и решив .

По графику нули определяются как абциссы точек пересечения графика с осью .

Периодичность функций.

Функция называется периодичной с периодом , если для любого верно, ).

Если является периодом функции у , то число период функции

Если Т₁>0 и T₂>0 – периоды соответствующих функций и , причем = где , то любая комбинация этих функций

).

8. Точка экстремума функции (точка максимума, минимума)

Точка называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство: .

Точка называется точкой минимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности .

Определение по Гейне.

Число А называется пределом функций при , если для любой последовательности значение аргумента ; … , соответствует значению последовательности функции сходится к .

Теорема о пределах.

Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве)

Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.

Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве)

Если значения функции в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции , то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции

Теорема 3. (предел постоянной равен самой постоянной)

Доказательство. , докажем, что .

Возьмем произвольное . В качестве можно взять любое положительное число. Тогда, при

Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в одной точке.

Доказательство. Предположим противное. Пусть

и

По теореме о связи предела и бесконечно малой функции

- бесконечно малая при

- бесконечно малая при

Вычитая эти равенства,

Переходя к пределам, в общих частях равенства при имеем , то есть . Получаем противоречие, доказывающее теорему.

Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при , то алгебраическая сумма имеет предел при , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

Доказательство: Пусть

,

тогда, по теореме о связи предела бесконечно малой функции, где –бесконечно малы при

Сложим алгебраически эти неравенства:

где - бесконечно малые при .

По теореме о связи предела и бесконечно малой функции

 

Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при , причем предел произведения равен произведению пределов.

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Теорема 7. Если функция и имеют предел при , причем , то их частное имеет предел при , причем предел частного равен частному пределов.

;

 

Непрерывная функция.

Определение 1.

Функция называется непрерывной в точке, если она определена в некоторой окрестности и предел приращения в этой точке тоже равен нулю.

Определение 2.

Функция определенная в окрестности называется непрерывной в , если предел функции равен значению функции в этой тоже

Если определена в окрестности , кроме, может быть самой и не является в точке , а точка разрыва.

Определение 3.

Функция непрерывна в точке , если для любого найдется , что

выполняется, то выполняется | .

Определение 4.

Функция непрерывна в точке , если для любой выполняется .

 

Правила предельного перехода. Таблица производных.

Правило 1.

Если функция f непрерывна в точке , то .

Правило 2.

Если функция f имеет производную в точке , то , при .

Эти правила следуют из определения непрерывности.

 

Правило 3.

Пусть f(x) A, (x) при х , тогда при ():

a) f(x) + (x) A+B

б) f(x) × (x) A×B

в) при B 0

Для непрерывных функций f и

А = f(x), B = ()

И эти правила означают, что сумма, произведение и частное непрерывных в точке функций непрерывны в (частное в случае, когда ).

Таблица производных.

Таблица 2

Функция	Производная

 

Правила дифференцирования.

u,f,v – функции; c = const

Точки перегиба функции.

Точкой перегиба называется такая точка линии, которая отделяет выпуклую дугу от вогнутой.

В точке перегиба касательная пересекает линию, в окрестности этой точки линия лежит по обе стороны от касательной.

Интервалу убывания первой производной соответствует участок выпуклости графика функции, а интервалу возрастания – участок вогнутости.

Теорема (о точках перегиба):

Если вторая производная всюду в интервале отрицательна, то дуга линии y = f(x), соответствующая этому интервалу, выпуклая. Если вторая производная всюду в интервале положительна, то дуга линии y = f(x), соответствующая этому интервалу, вогнутая.

Необходимый признак точки перегиба:

Если – абсцисса точки перегиба, то либо , либо не существует.

Достаточный признак точки перегиба:

Точка есть точка перегиба линии y = f(x), если , а ;

При слева от нее лежит участок выпуклости, справа – участок вогнутости, а при слева лежит участок вогнутости, а справа – выпуклости.

Асимптоты.

Определение.

Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Виды асимптот:

1. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы одна из прямых значений или равно или .

Замечание:

Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

2. Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы одно из предельных значений или равно .

Замечание:

График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую.

3. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции y = f(x), если

Практическая часть

 

Задание 1.2.

Построить график функции:

1.

2. – сдвиг влево на 1

3. – расширение графика в 2 раза

4. – сдвиг графика вниз на 2

График изображён в Приложении 1.

 

Задание 2.2.

Выполнить исследование функции и построить её график:

1. Область определения функции:

 

2. Область значений функции:

 

3. Исследование на непрерывность:

 

 

Функция терпит разрыв в точке . –точка разрыва второго рода, так как предел этой функции равен бесконечности.

 

 

4. Исследование на бесконечность:

 

 

 

 

5. Пересечение графика с осями координат:

Точки не существует, значит график не пересекает ось ОУ.

 

–точка пересечения графика с осью ОХ.

График изображён в Приложении 2.

Задание 3.2.

Построить график системы уравнений:

0;

;

;

;

 

График изображён в Приложении 3.

 

Задание 4.2.

С помощью дифференциала найти:

1) Приближённое значение функции

2) Точное значение функции

3) Абсолютную и относительную погрешность

 

 

 

1.Приближённое значение функции:

 

Ответ:

 

 

2. Точное значение функции:

 

Ответ:

3. Относительная и абсолютная погрешность:

Ответ:

 

Задание 5.2.

Найти производные функций:

1.

 

 

2.

 

 

 

 

3.

 

 

 

4.

 

 

 

 

5.

 

 

 

Задание 6.2.

Найти максимальное и минимальное значение функции на заданном промежутке:

ОДЗ:

Подставим полученное значение,а так же значения ,ограничивающие график функции,в функцию.

- минимальное значение функции

- максимальное значение функции

Ответ: минимальное значение функции ; максимальное значение функции .

 

Задание 7.2.

Исследовать поведение функции в окрестности данной точки:

Для этого нужно найти производную высшего порядка .

Если ,то – точка минимума, если ,то – точка максимума.

- точка максимума.

Ответ: - точка максимума.

 

Задание 8.2.

Найти асимптоты и построить график функции:

 

 

 

 

– вертикальные асимптоты.

Проверим функцию на наличие наклонных и горизонтальных асимптот:

График не имеет наклонных асимптот

 

График изображён в Приложении 4.

Задание 9.2.

Провести полное исследование функции и построить её график:

1. Область определения функции:

2. Проверка функции на чётность/нечётность:

– функция не является чётной

– функция не является нечётной

.

3. Исследование на периодичность:

Функция дробно-рациональная, а значит не периодична.

 

4. Исследование на непрерывность:

 

 

– точка разрыва второго рода, так как пределы слева и справа равны бесконечности, значит, – вертикальная асимптота.

5. Пересечения графика функции с осями координат:

значит,график не пересекает ось ОX

, график пересекает ось ОY в точке .

 

6. Исследование на бесконечность:

 

Функция бесконечна.

 

7. Нахождение наклонных асимптот:

– наклонная асимптота.

8. Исследование функции на монотонность:

 

 

+

 

–точка максимума

– точка минимума

 

9. Нахождение точек перегиба:

+

График изображён в Приложении 5.

Задание 10.2.

Провести полное исследование функции и построить её график:

1. Область определения функции:

2. Проверка функции на чётность/нечётность:

– функция не является чётной

– функция не является нечётной

.

 

3. Исследование на периодичность:

Функция дробно-рациональная, а значит не периодична.

 

4. Исследование на непрерывность:

 

 

– точка разрыва второго рода, так как пределы слева и справа равны бесконечности, значит, – вертикальная асимптота.

5. Пересечения графика функции с осями координат:

значит,график не пересекает ось ОX

, график пересекает ось ОY в точке .

 

6. Исследование на бесконечность:

 

Функция бесконечна.

 

7. Нахождение наклонных асимптот: