Нахождение наклонной асимптоты.

Теорема (о условиях существования наклонной асимптоты):

Если для функции y = f(x) существуют предел и , то функция имеет начальную асимптоту y = kx+b при .

Замечания:

1. Горизонтальная асимптота является частым случаем наклонной при k = 0.

2. Если при нахождении горизонтальной асимптоты получается, что , то функция может иметь наклонную асимптоту.

3. Кривая y = f(x) может пересекать свою асимптоту, причём неоднократно.

Схема исследования функции и построение графика.

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать на чётность (нечётность).

3. Нахождение точек пересечения с осями координат и интервалы знакопостоянства.

4. Исследовать на периодичность.

5. Исследовать на непрерывность. Нахождение точек разрыва, установление их характера и нахождение вертикальных асимптот.

6. Исследовать поведение функции на бесконечность. Найдите предел . Нахождение горизонтальных асимптот.

7. Найти наклонные асимптоты.

8. Найти участки монотонности и точке экстремума.

9. Найти интервалы выпуклости (вогнутости), точек перегиба.

10. Построить график функции.

а) Построение асимптот.

б) Построение точке пересечения с осями.

в) Построение точек экстремума функции.

г) Изучение поведения функции вблизи точек.

д) Окончательное построение всего графика.

 

Практическая часть

 

Задание 1.2.

Построить график функции:

1.

2. – сдвиг влево на 1

3. – расширение графика в 2 раза

4. – сдвиг графика вниз на 2

График изображён в Приложении 1.

 

Задание 2.2.

Выполнить исследование функции и построить её график:

1. Область определения функции:

 

2. Область значений функции:

 

3. Исследование на непрерывность:

 

 

Функция терпит разрыв в точке . –точка разрыва второго рода, так как предел этой функции равен бесконечности.

 

 

4. Исследование на бесконечность:

 

 

 

 

5. Пересечение графика с осями координат:

Точки не существует, значит график не пересекает ось ОУ.

 

–точка пересечения графика с осью ОХ.

График изображён в Приложении 2.

Задание 3.2.

Построить график системы уравнений:

0;

;

;

;

 

График изображён в Приложении 3.

 

Задание 4.2.

С помощью дифференциала найти:

1) Приближённое значение функции

2) Точное значение функции

3) Абсолютную и относительную погрешность

 

 

 

1.Приближённое значение функции:

 

Ответ:

 

 

2. Точное значение функции:

 

Ответ:

3. Относительная и абсолютная погрешность:

Ответ:

 

Задание 5.2.

Найти производные функций:

1.

 

 

2.

 

 

 

 

3.

 

 

 

4.

 

 

 

 

5.

 

 

 

Задание 6.2.

Найти максимальное и минимальное значение функции на заданном промежутке:

ОДЗ:

Подставим полученное значение,а так же значения ,ограничивающие график функции,в функцию.

- минимальное значение функции

- максимальное значение функции

Ответ: минимальное значение функции ; максимальное значение функции .

 

Задание 7.2.

Исследовать поведение функции в окрестности данной точки:

Для этого нужно найти производную высшего порядка .

Если ,то – точка минимума, если ,то – точка максимума.

- точка максимума.

Ответ: - точка максимума.

 

Задание 8.2.

Найти асимптоты и построить график функции:

 

 

 

 

– вертикальные асимптоты.

Проверим функцию на наличие наклонных и горизонтальных асимптот:

График не имеет наклонных асимптот

 

График изображён в Приложении 4.

Задание 9.2.

Провести полное исследование функции и построить её график:

1. Область определения функции:

2. Проверка функции на чётность/нечётность:

– функция не является чётной

– функция не является нечётной

.

3. Исследование на периодичность:

Функция дробно-рациональная, а значит не периодична.

 

4. Исследование на непрерывность:

 

 

– точка разрыва второго рода, так как пределы слева и справа равны бесконечности, значит, – вертикальная асимптота.

5. Пересечения графика функции с осями координат:

значит,график не пересекает ось ОX

, график пересекает ось ОY в точке .

 

6. Исследование на бесконечность:

 

Функция бесконечна.

 

7. Нахождение наклонных асимптот:

– наклонная асимптота.

8. Исследование функции на монотонность:

 

 

+

 

–точка максимума

– точка минимума

 

9. Нахождение точек перегиба:

+

График изображён в Приложении 5.

Задание 10.2.

Провести полное исследование функции и построить её график:

1. Область определения функции:

2. Проверка функции на чётность/нечётность:

– функция не является чётной

– функция не является нечётной

.

 

3. Исследование на периодичность:

Функция дробно-рациональная, а значит не периодична.

 

4. Исследование на непрерывность:

 

 

– точка разрыва второго рода, так как пределы слева и справа равны бесконечности, значит, – вертикальная асимптота.

5. Пересечения графика функции с осями координат:

значит,график не пересекает ось ОX

, график пересекает ось ОY в точке .

 

6. Исследование на бесконечность:

 

Функция бесконечна.

 

7. Нахождение наклонных асимптот:

Функция не имеет наклонных и горизонтальных асимптот.

8. Исследование функции на монотонность:

 

	-1		-0,5

– точка минимума

 

9. Нахождение точек перегиба:

	-1		-0,5

График изображён в Приложении 6.

Задание 11.2.

Провести полное исследование функции и построить её график:

1. Область определения функции:

2. Проверка функции на чётность/нечётность:

– функция не является чётной

– функция не является нечётной

.

 

3. Исследование на периодичность:

Функция рациональная, а значит не периодична.

 

4. Исследование на непрерывность:

 

значит, функция непрерывна на всей числовой прямой.

5. Пересечения графика функции с осями координат:

(1)

 

 

, график пересекает ось ОY в точке .

 

6. Исследование на бесконечность:

 

Функция бесконечна.

 

7. Нахождение наклонных асимптот:

 

значит, функция не имеет наклонных асимптот.

 

8. Исследование функции на монотонность:

 

 

	-4		-2

– точка минимума

– точка максимума

 

 

9. Нахождение точек перегиба:

	-4		-2

График изображён в Приложении 7.

 

 

Заключение

В данной работе были рассмотрены следующие теоретические вопросы:

-Определение функций и её основные свойства;

-Предел функции. Теорема о пределах;

-Непрерывная функция;

-Определение производной. Геометрический смысл производной. Скорость изменения функции;

-Построение графиков функций;

-Правила предельного перехода. Таблица производных;

-Вычисление приближенного значения с помощью дифференциала;

-Применение производной к исследованию функции;

-Схема исследования функции и построение графика.

Практическая часть содержит выполнение одиннадцати заданий:

-В первом задании был построен график с использованием элементарных преобразований;

- Во втором задании был построен график путём исследования свойств

функций;

-В третьем задании был построен график, состоящий из системы функций;

-В четвёртом задании с помощью дифференциала были найдены:

-приблизительное значение функции;

-полное значение функции;

-абсолютная и относительная погрешность;

-В пятом задании были найдены производные заданных функций;

-В шестом задании с помощью с производной были найдены максимальные и минимальные значения функции;

-В седьмом задании с помощью производной n-ого порядка было исследовано поведение функции в окрестности заданной точки;

-В восьмом задании были найдены асимптоты и построен график;

-В девятом, десятом и одиннадцатом задании было проведено полное исследование функций и построены графики.