Возрастание и убывание функции.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Возрастание и убывание функции.



Функция ) называется возрастающей, если для любых значений аргументов x1, x2 из неравенства следует неравенство .

Функцию можно назвать возрастающей на промежутке, если большему из любых двух взятых из него чисел всегда соответствует большее значение функции.

Функция называется убывающей, если для любой пары значений аргументов x1, x2 из неравенства следует неравенство .

Функцию можно назвать убывающей на промежутке, если у любых двух взятых из него чисел большему из них всегда соответствует меньшее значение функции.

 

4. Промежутки знакопостоянства.

Промежутки, на которых значение функций имеют постоянный знак.

Промежуток положительного знака – это множество значений переменной у которых соответствующие значение функции больше нуль .

На графике – это части абцисс, у которых соответствующие кусочки графика выше оси . Без графика их тоже можно найти, составив и решив неравенство .

Промежуток отрицательного знака – это множество тех значений переменной х, у которых соответствующее значение функции меньше нуля .

На графике – это промежутки оси абцисс, у которых соответствующие кусочки графика ниже оси найти, составив и решив .

Нули функции.

Это значение переменной , при которых

Без графика нули функции тоже можно найти, составив и решив .

По графику нули определяются как абциссы точек пересечения графика с осью .

Четность и нечетность функции.

Функция называется четной, если:
1) область определения функции симметрична относительно нуля, т.е. для любого x, принадлежащего области определения, x также принадлежит области определения;
2) при замене значения аргумента нa противоположное значение функции не изменится, т.е. для любого из области определения функции.

Функция называется нечетной, если:
1) область определения функции симметрична относительно нуля, т.е. для любого , принадлежащего области определения, также принадлежит области определения;
2) для любого из области определения функции.

Произведение или частное двух четных функций - есть функция четная.

Произведение или частное двух нечетных функций – есть функция четная.

Произведение или частное двух функций , одна из них четная, а другая нечетная – есть функция нечетная.

 

Периодичность функций.

Функция называется периодичной с периодом , если для любого верно, ).

Если является периодом функции у , то число период функции

Если Т1>0 и T2>0 – периоды соответствующих функций и , причем = где , то любая комбинация этих функций

).

8. Точка экстремума функции (точка максимума , минимума)

Точка называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство: .

Точка называется точкой минимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности .

Наименьшее и наибольшее значение функции.

Число называется наименьшим значением функции на промежутке , если для любого значения аргумента из этого промежутка верно неравенство

Число называется наибольшим значением функции на промежутке , если для любого значения аргумента из этого промежутка верно неравенство .

 

Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число , что для всех значений .

Если такого числа не существует, то функция – неограниченная.

 

Предел функции. Теорема о пределах.

Определение предела по Коши.

Число A называется пределом функции ) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого существует такое, что для всех x, удовлетворяющих условию | выполняется неравенство

Определение по Гейне.

Число А называется пределом функций при , если для любой последовательности значение аргумента ; , соответствует значению последовательности функции сходится к .

Теорема о пределах.

Теорема 1.(о предельном переходе в равенстве)

Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.

Теорема 2.(о предельном переходе в неравенстве)

Если значения функции в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции , то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции

Теорема 3. (предел постоянной равен самой постоянной)

Доказательство. , докажем, что .

Возьмем произвольное . В качестве можно взять любое положительное число. Тогда, при

Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в одной точке.

Доказательство. Предположим противное. Пусть

и

По теореме о связи предела и бесконечно малой функции

- бесконечно малая при

- бесконечно малая при

Вычитая эти равенства,

Переходя к пределам, в общих частях равенства при имеем , то есть . Получаем противоречие, доказывающее теорему.

Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при , то алгебраическая сумма имеет предел при , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

Доказательство: Пусть

,

тогда, по теореме о связи предела бесконечно малой функции, где –бесконечно малы при

Сложим алгебраически эти неравенства:

где - бесконечно малые при .

По теореме о связи предела и бесконечно малой функции

 

Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при , причем предел произведения равен произведению пределов.

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Теорема 7. Если функция и имеют предел при , причем , то их частное имеет предел при , причем предел частного равен частному пределов.

;

 

Непрерывная функция.

Определение 1.

Функция называется непрерывной в точке, если она определена в некоторой окрестности и предел приращения в этой точке тоже равен нулю.

Определение 2.

Функция определенная в окрестности называется непрерывной в , если предел функции равен значению функции в этой тоже

Если определена в окрестности , кроме, может быть самой и не является в точке , а точка разрыва.

Определение 3.

Функция непрерывна в точке , если для любого найдется , что

выполняется, то выполняется | .

Определение 4.

Функция непрерывна в точке , если для любой выполняется .

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-18; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 35.172.217.174 (0.02 с.)