Возрастание и убывание функции.

Функция ) называется возрастающей, если для любых значений аргументов x₁, x₂ из неравенства следует неравенство .

Функцию можно назвать возрастающей на промежутке, если большему из любых двух взятых из него чисел всегда соответствует большее значение функции.

Функция называется убывающей, если для любой пары значений аргументов x₁, x₂ из неравенства следует неравенство .

Функцию можно назвать убывающей на промежутке, если у любых двух взятых из него чисел большему из них всегда соответствует меньшее значение функции.

 

4. Промежутки знакопостоянства.

Промежутки, на которых значение функций имеют постоянный знак.

Промежуток положительного знака – это множество значений переменной у которых соответствующие значение функции больше нуль .

На графике – это части абцисс, у которых соответствующие кусочки графика выше оси . Без графика их тоже можно найти, составив и решив неравенство .

Промежуток отрицательного знака – это множество тех значений переменной х, у которых соответствующее значение функции меньше нуля .

На графике – это промежутки оси абцисс, у которых соответствующие кусочки графика ниже оси найти, составив и решив .

Нули функции.

Это значение переменной , при которых

Без графика нули функции тоже можно найти, составив и решив .

По графику нули определяются как абциссы точек пересечения графика с осью .

Четность и нечетность функции.

Функция называется четной, если:
1) область определения функции симметрична относительно нуля, т.е. для любого x, принадлежащего области определения, x также принадлежит области определения;
2) при замене значения аргумента нa противоположное значение функции не изменится, т.е. для любого из области определения функции.

Функция называется нечетной, если:
1) область определения функции симметрична относительно нуля, т.е. для любого , принадлежащего области определения, также принадлежит области определения;
2) для любого из области определения функции.

Произведение или частное двух четных функций - есть функция четная.

Произведение или частное двух нечетных функций – есть функция четная.

Произведение или частное двух функций, одна из них четная, а другая нечетная – есть функция нечетная.

 

Периодичность функций.

Функция называется периодичной с периодом , если для любого верно, ).

Если является периодом функции у , то число период функции

Если Т₁>0 и T₂>0 – периоды соответствующих функций и , причем = где , то любая комбинация этих функций

).

8. Точка экстремума функции (точка максимума, минимума)

Точка называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство: .

Точка называется точкой минимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности .

Наименьшее и наибольшее значение функции.

Число называется наименьшим значением функции на промежутке , если для любого значения аргумента из этого промежутка верно неравенство

Число называется наибольшим значением функции на промежутке , если для любого значения аргумента из этого промежутка верно неравенство .

 

Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число , что для всех значений .

Если такого числа не существует, то функция – неограниченная.

 

Предел функции. Теорема о пределах.

Определение предела по Коши.

Число A называется пределом функции ) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого существует такое, что для всех x, удовлетворяющих условию | выполняется неравенство

Определение по Гейне.

Число А называется пределом функций при , если для любой последовательности значение аргумента ; … , соответствует значению последовательности функции сходится к .

Теорема о пределах.

Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве)

Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.

Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве)

Если значения функции в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции , то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции

Теорема 3. (предел постоянной равен самой постоянной)

Доказательство. , докажем, что .

Возьмем произвольное . В качестве можно взять любое положительное число. Тогда, при

Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в одной точке.

Доказательство. Предположим противное. Пусть

и

По теореме о связи предела и бесконечно малой функции

- бесконечно малая при

- бесконечно малая при

Вычитая эти равенства,

Переходя к пределам, в общих частях равенства при имеем , то есть . Получаем противоречие, доказывающее теорему.

Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при , то алгебраическая сумма имеет предел при , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

Доказательство: Пусть

,

тогда, по теореме о связи предела бесконечно малой функции, где –бесконечно малы при

Сложим алгебраически эти неравенства:

где - бесконечно малые при .

По теореме о связи предела и бесконечно малой функции

 

Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при , причем предел произведения равен произведению пределов.

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Теорема 7. Если функция и имеют предел при , причем , то их частное имеет предел при , причем предел частного равен частному пределов.

;

 

Непрерывная функция.

Определение 1.

Функция называется непрерывной в точке, если она определена в некоторой окрестности и предел приращения в этой точке тоже равен нулю.

Определение 2.

Функция определенная в окрестности называется непрерывной в , если предел функции равен значению функции в этой тоже

Если определена в окрестности , кроме, может быть самой и не является в точке , а точка разрыва.

Определение 3.

Функция непрерывна в точке , если для любого найдется , что

выполняется, то выполняется | .

Определение 4.

Функция непрерывна в точке , если для любой выполняется .