Интервалы выпуклости и точки перегиба функции.

Определение. Функция выпукла вверх (выпукла вниз) в точке , если существует интервал такой, что для всех его точек х касательная к графику функции в точке лежит выше (ниже) графика.

Теорема: Для того чтобы график дважды дифференцируемой на интервале (a; b) функции y = f (x) был выпуклым вверх (выпуклым вниз) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы для любого выполнялось неравенство

f (x) (f (x) ).

Точки, в которых f (x) или не существует, называют точками перегиба графика функции y = f (x).

Пример 5. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба графика функции .

Решение. .

•

х

–

+

– точка перегиба.

Пользуясь предыдущей теоремой, получаем, что на промежутке график функции выпуклый вверх, а на промежутке график функции выпуклый вниз.

Асимптоты графика функции.

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из пределов равен .

у

х

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции .

При наклонная асимптота называется горизонтальной.

Аналогично определяются асимптоты при и при .

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции .

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции .

Пример 6. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Найдем

,

поэтому – горизонтальная асимптота графика данной функции.

Функция не определена в точке , то есть – точка разрыва. Найдем

,

Таким образом, – вертикальная асимптота.

Замечание. Асимптота графика функции может пересекать сам график.

Горизонтальные и наклонные асимптоты графика функции при можно находить по следующему алгоритму.

1. Вычислить . Если этот предел существует и равен некоторому числу с, то – горизонтальная асимптота. Если предел не существует или равен бесконечности, то следует перейти ко второму пункту.

2. Вычислить . Если этот предел не существует или равен бесконечности, то асимптоты нет. Если существует конечный предел , то следует перейти к третьему шагу.

3. Вычислить . Если этот предел не существует или равен бесконечности, то асимптоты нет. Если существует конечный предел , то следует перейти к четвертому шагу.

4. Записать уравнение наклонной асимптоты: .

Пример 7. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. Обратимся к схеме исследования функции.

1. Найдем область определения функции. Так как функция задана дробным выражением, то знаменатель этой дроби должен быть отличен от 0. То есть . Значит, .

2. Точка – точка разрыва графика функции. Найдем :

.

.

3. Найдем точки пересечения графика функции с осью Оу, то есть при . В данной точке функция не определена, значит, график функции не пересекает ось Оу.

Найдем точки пересечения графика функции с осью Ох, то есть при : .

4. Найдем промежутки знакопостоянства функции

•

•

º

-1

x

+

–

–

+

Получили что на промежутках функция отрицательна, а на промежутках – положительна.

5. 1) Область определения функции – симметричное относительно начала координат множество.

2) Найдем

.

Получили что .

Из 1) и 2) следует, что функция нечетная.

Функция не является периодической.

6. Для того чтобы найти промежутки монотонности функции, необходимо найти производную

и решить уравнение .

.

°

х

+

+

При производная не существует. Отметим эту точку на координатной прямой и расставим знаки производной на каждом полученном интервале.

Значит, функция возрастает на каждом из промежутков .

7. Экстремумов нет, так как производная не обращается в 0.

8. Чтобы определить промежутки выпуклости функции, нужно найти производную второго порядка от этой функции

и решить уравнение

.

Данное уравнение решений не имеет.

Найдем точки, в которых производная второго порядка не существует. Это точка , так как в ней дробь теряет смысл.

°

х

+

–

Нанесем эту точку на координатную прямую и расставим знаки второй производной в каждом полученном интервале

Значит, график функции выпуклый вниз на промежутке , вверх на .

9. Найдем асимптоты графика функции.

Точка – точка разрыва функции, поэтому вычислим

.

Значит, – вертикальная асимптота графика функции.

Найдем так же

.

Исследуем функцию на наличие наклонных асимптот. Для этого найдем предел

.

Следовательно, прямая – наклонная асимптота графика функции при .

Найдем

.

Следовательно, прямая – наклонная асимптота графика функции при .

-4

-3

-2

-1

-1

-2

-3

-4

y

x

.

10. Построим график функции.

 

 

Интеграл

Неопределенный интеграл

Определение. Функция называется перевообразной для функции , если для любого .

Пример 1. Функция является первообразной для функции , так как . Функция тоже является первообразной для функции , так как . Функция тоже является первообразной для функции , так как . Таким образом, множество всех первообразных для функции выглядит так: , где – некоторая постоянная.

Определение. Множество всех первообразных для функции называют неопределенным интегралом и обозначают . называется подинтегральной функцией, – подинтегральным выражением, – переменной интегрирования.

Пример 2. а) .

б) .