Вычисление предела в случае неопределенности

Мещерина Е.В.

 

 

Методическое пособие по

Математике

для студентов ветеринарного факультета заочной формы обучения

 

Оренбург

Издательство ОГАУ

Содержание

Введение……………………………………………………………………….3

§1. Предел функции…………………………………………………………...4

§2. Производная функции. Дифференциал………………………………….8

§3. Исследование функции………………………………………………….11

§4. Интеграл………………………………………………………………….18

Варианты контрольных работ………………………………………………22

Список вопросов к экзамену………………………………………………..38

Список литературы…………………………………………………………..40

Введение

В современной науке и технике все большую роль приобретает математическое образование, поскольку в производстве и управлении хозяйством непрерывно возрастает роль математических методов моделирования, проектирования, исследования, планирования. Законы математики – неизменное руководство к безошибочному действию в современной практике ведения хозяйства и изучение их служит подготовке студентов к последующему изучению родственных и специальных курсов.

Данное пособие предназначено для студентов ветеринарного факультета заочной формы обучения. В нем представлен теоретический материал по следующим темам: предел функции, производная и дифференциал функции, исследование функции, интеграл. К каждой теме подобраны задачи и представлено их подробное решение. Так же пособие содержит варианты контрольных работ и список вопросов к экзамену по математике.

Целью пособия является раскрытие основных методов решения задач по представленным темам.

Пособие будет полезно студентам при решении контрольных работ и подготовке к экзамену по математике.

Предел функции

Определение предела

Пусть a – точка числовой прямой, . Пусть функция определена на множестве .

Число A называется пределом функции при х, стремящемся к а (обозначается ), если для любого положительного числа ( существует такое положительное число что для любого такого, что , выполнено неравенство .

Число A ₁ называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство .

Число A ₂ называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство .

Предел слева обозначается предел справа – .

Эти пределы характеризуют поведение функции слева и справа от точки a. Их часто называют односторонними пределами.

Если для каждого ε > 0 существует такая δ -окрестность точки a, что для всех x, удовлетворяющих условию | x – a | < δ, x ≠ a, выполняется неравенство | f (x)| > ε, то говорят, что функция f (x) имеет в точке a бесконечный предел:

Если для каждого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x > δ выполняется неравенство | f (x) – A | < ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A: .

Аналогично формулируется определение предела при x, стремящемся к минус бесконечности: .

Пример 1. а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Свойства пределов

Если существует и существует , то:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Теорема: Если в некоторой окрестности точки а выполняется неравенство и , то .

Пример 2. Найти .

Решение. Пользуясь свойствами пределов получаем, что

.

Пример 3. Найти .

Решение. Пользуясь свойствами пределов получаем, что

Замечание. В дальнейшем будем пользоваться тем, что для любой элементарной функции f (x) и любой точки а из ее области определения справедливо соотношение .

Бесконечно большая функция

Определение. Функция f (x) называется бесконечно большой при , если для любого положительного числа С существует окрестность точки а такая, что для любого х из выбранной окрестности точки а и принадлежащего области определения функции f (x). Обозначение

.

Определение. Функция f (x) называется бесконечно малой при , если для любого положительного числа С существует окрестность точки а такая, что для любого х из выбранной окрестности точки а и принадлежащего области определения функции f (x). Обозначение

.

Сформулируем основные соотношения для бесконечно больших и бесконечно малых функций.

Если то , и обратно, если , то .

Если и , то .

Если и , то .

Если и , то .

Если и , то .

Если и , то .

Пример 4. Найти .

Решение. Пользуясь свойствами пределов, получаем:

.

Так как то . Тогда

.

Производная

Определение производной

Рассмотрим функцию , определенную на некотором интервале .

Определение. Разность называют приращением аргумента х в точке х ₀.

Определение. Разность называют приращением функции f (x) в точке х ₀.

Определение. Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к 0, то его называют производной функции в точке и обозначают

.

Нахождение производной называется дифференцированием функции.

Геометрический смысл производной состоит в том, что производная есть угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке ; физический смысл – в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s (t) в момент времени ; биологический смысл: если зависимость между числом особей популяции микроорганизмов y и временем t ее размножения задана уравнением y = p (t), то – производительность жизнедеятельности популяции микроорганизмов в момент времени t.

Правила дифференцирования

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Пример 1. Найти производную функции .

Решение.

.

Пример 2. Найти производную функции .

Решение.

.

Пример 3. Найти производную функции .

Решение.

=

.

Пример 4. Найти производную функции .

Решение.

.

Производная сложной функции

Пусть функция имеет производную в некоторой точке , а функция имеет производную в точке . Тогда, сложная функция имеет производную в точке , которая вычисляется по формуле

.

Таким образом, производная сложной функции равна произведению производных функций ее составляющих .

Пример 5. Найти производную функции .

Решение. Обозначим . По правилу нахождения производной сложной функции . Находим:

,

откуда

.

Пример 6. Найти производную функции .

Решение. Обозначим , тогда . По правилу нахождения производной сложной функции . Находим:

.

.

Определение. Производной второго порядка функции называется производная от производной данной функции

.

Определение. Производной n-го порядка функции называется производная от производной (n – 1)-го порядка данной функции

.

Дифференциал функции

Определение. Линейную функцию называют дифференциалом функции f в точке и обозначают df. Для функции x производная в каждой точке равна 1, то есть . Поэтому пишут: . Отсюда

.

Дифференциал функции используют в приближенных вычислениях:

.

Геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в точку с абсциссой .

Пример 7. Вычислить дифференциал функции .

Решение.

.

Свойства функции

Четность, нечетность.

Определение. Множество D называют симметричным относительно начала координат, если для любого х D противоположное ему число ( х) также принадлежит D.

Определение. Функцию f (x), заданную на множестве D (f), называют четной (нечетной), если:

1) множество D (f) симметрично относительно начала координат;

2) для любого х D (f) справедливо равенство: f ( x) = f (x), (f ( x) = f (x)).

Функцию, которая не является ни четной, ни нечетной, называют функцией общего вида.

Пример 1. Исследуем на четность функцию .

Решение. Сразу можно сделать вывод, что имеем функцию общего вида, так как ее область определения не симметрична относительно начала координат.

Пример 2. Исследуем на четность функцию f (x) = x ² + + .

Решение.

1) D_f = ( ∞;0) (0;+ ∞) – симметричное множество относительно точки О (0; 0).

2) Составим выражение для f ( x) и сравним его с выражением для f (x):

f ( x) = ( x)² + + = x ² + + = f (x)

Вывод: Так как f ( x) = f (x) x D_f, то f (x) = x ² + + четная функция.

Периодичность.

Определение. Функцию у = f (x), заданную на множестве D (f), называют периодической, если существует такое число Т ≠ 0, что:

1) для любого числа х, принадлежащего области определения функции D_f, числа х ± Т также принадлежат области определения.

( х D_f) (х ± Т D_f)

(отсюда следует неограниченность области определения)

2) для всякого числа х из области определения справедливо равенство

f (х ± Т) = f (x).

Число Т называют периодом функции.

Например, f (x) = cos x, T = 2π.

Возрастание и убывание.

Рассмотрим функцию y = f (x), заданную на множестве D (f). Пусть х ₁ и х ₂ – любые две различные точки множества (например, х ₁ < x ₂), содержащегося во множестве D (f).

Определение. Функцию y = f (x) называют на множестве Х

– возрастающей, если (меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции);

– убывающей, если (меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции);

– невозрастающе й, если ;

– неубывающей, если .

Во всех четырех случаях функцию называют монотонной на множестве Х.

Теорема. Для того чтобы дифференцируемая на промежутке Х функция y = f (x) была возрастающей (убывающей) на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы для любого выполнялось условие

.

Пример 3. Найти промежутки монотонности функции .

Решение. Найдем производную данной функции

.

Найдем точки, в которых производная равна 0 и не существует, то есть решим уравнение

.

Следовательно, производная равна 0 при , а не существует при .

•

•

º

x

+

–

+

–

Наносим эти точки на координатную прямую и расставляем знаки производной в каждом полученном интервале

Пользуясь предыдущей теоремой, получаем: функция возрастает на промежутках, где производная положительна, то есть на промежутках и убывает на промежутках, где производная отрицательна, то есть на промежутках .

Экстремумы функции.

Определение. Точку называют точкой максимума (минимума) функции y = f (x) с областью определения D (f), если существует интервал , где , содержащийся в D (f), такой, что для каждого из этого интервала выполняется неравенство .

Другими словами, точка точка максимума (минимума), если значение функции в этой точке больше (меньше), чем значение функции во всех других точках интервала с центром в точке , принадлежащего области определения.

Определение. Точки максимума и минимума называют точками экстремума функции, а значения функции в этих точках называют экстремумами функции.

•

º

º

возр.

убыв.

т. max

х

•

º

º

убыв.

возр.

т. min

х

Признак экстремума: Если функция y = f (x) возрастает (убывает) на некотором интервале , содержащемся в D (f) и убывает (возрастает) на интервале , содержащемся в D (f), то точка точка локального максимума (минимума) функции y = f (x).

Пример 4. Найдем промежутки монотонности и экстремумы функции .

Решение. Функция определена, непрерывна и нечетна на промежутке .

1. Найдем критические точки, то есть точки, в которых производная либо не существует, либо равна 0.

Точки х = 0, х = 1, х = 1 – критические точки.

2.

•

•

•

х

-1

–

–

+

+

Установим знак производной в каждом интервале, на которые область определения разбивается критическими точками.

Функция убывает на лучах , возрастает на отрезке [ 1; 1].

экстремумы функции.

Асимптоты графика функции.

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из пределов равен .

у

х

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции .

При наклонная асимптота называется горизонтальной.

Аналогично определяются асимптоты при и при .

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции .

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции .

Пример 6. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Найдем

,

поэтому – горизонтальная асимптота графика данной функции.

Функция не определена в точке , то есть – точка разрыва. Найдем

,

Таким образом, – вертикальная асимптота.

Замечание. Асимптота графика функции может пересекать сам график.

Горизонтальные и наклонные асимптоты графика функции при можно находить по следующему алгоритму.

1. Вычислить . Если этот предел существует и равен некоторому числу с, то – горизонтальная асимптота. Если предел не существует или равен бесконечности, то следует перейти ко второму пункту.

2. Вычислить . Если этот предел не существует или равен бесконечности, то асимптоты нет. Если существует конечный предел , то следует перейти к третьему шагу.

3. Вычислить . Если этот предел не существует или равен бесконечности, то асимптоты нет. Если существует конечный предел , то следует перейти к четвертому шагу.

4. Записать уравнение наклонной асимптоты: .

Пример 7. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. Обратимся к схеме исследования функции.

1. Найдем область определения функции. Так как функция задана дробным выражением, то знаменатель этой дроби должен быть отличен от 0. То есть . Значит, .

2. Точка – точка разрыва графика функции. Найдем :

.

.

3. Найдем точки пересечения графика функции с осью Оу, то есть при . В данной точке функция не определена, значит, график функции не пересекает ось Оу.

Найдем точки пересечения графика функции с осью Ох, то есть при : .

4. Найдем промежутки знакопостоянства функции

•

•

º

-1

x

+

–

–

+

Получили что на промежутках функция отрицательна, а на промежутках – положительна.

5. 1) Область определения функции – симметричное относительно начала координат множество.

2) Найдем

.

Получили что .

Из 1) и 2) следует, что функция нечетная.

Функция не является периодической.

6. Для того чтобы найти промежутки монотонности функции, необходимо найти производную

и решить уравнение .

.

°

х

+

+

При производная не существует. Отметим эту точку на координатной прямой и расставим знаки производной на каждом полученном интервале.

Значит, функция возрастает на каждом из промежутков .

7. Экстремумов нет, так как производная не обращается в 0.

8. Чтобы определить промежутки выпуклости функции, нужно найти производную второго порядка от этой функции

и решить уравнение

.

Данное уравнение решений не имеет.

Найдем точки, в которых производная второго порядка не существует. Это точка , так как в ней дробь теряет смысл.

°

х

+

–

Нанесем эту точку на координатную прямую и расставим знаки второй производной в каждом полученном интервале

Значит, график функции выпуклый вниз на промежутке , вверх на .

9. Найдем асимптоты графика функции.

Точка – точка разрыва функции, поэтому вычислим

.

Значит, – вертикальная асимптота графика функции.

Найдем так же

.

Исследуем функцию на наличие наклонных асимптот. Для этого найдем предел

.

Следовательно, прямая – наклонная асимптота графика функции при .

Найдем

.

Следовательно, прямая – наклонная асимптота графика функции при .

-4

-3

-2

-1

-1

-2

-3

-4

y

x

.

10. Построим график функции.

 

 

Интеграл

Неопределенный интеграл

Определение. Функция называется перевообразной для функции , если для любого .

Пример 1. Функция является первообразной для функции , так как . Функция тоже является первообразной для функции , так как . Функция тоже является первообразной для функции , так как . Таким образом, множество всех первообразных для функции выглядит так: , где – некоторая постоянная.

Определение. Множество всех первообразных для функции называют неопределенным интегралом и обозначают . называется подинтегральной функцией, – подинтегральным выражением, – переменной интегрирования.

Пример 2. а) .

б) .

Таблица основных неопределенных интегралов

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) .

Определенный интеграл

Пусть функция определена на отрезке и принимает на нем неотрицательные значения.

Разобьем отрезок точками на n частичных отрезков точками .

Обозначим разность