Общая схема исследования функции

1. Найти область определения функции.

2. Определить поведение функции на границах области определения.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Найти промежутки знакопостоянства.

5. Исследовать функцию на четность и периодичность.

6. Найти промежутки монотонности функции.

7. Найти экстремумы функции.

8. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба графика функции.

9. Исследовать функцию на существование вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот.

10. Построить график функции.

Определение. Областью определения D (y) функции у = f (x) (если это не оговорено особо) называют множество всех значений независимой переменной х, при которых выполнимы все операции, указанные формулой.

Определение. Известно, что под множеством значений функции понимают множество всех таких чисел у ₀, для каждого из которых существует число такое, что f (x ₀) = y ₀.

Свойства функции

Четность, нечетность.

Определение. Множество D называют симметричным относительно начала координат, если для любого х D противоположное ему число ( х) также принадлежит D.

Определение. Функцию f (x), заданную на множестве D (f), называют четной (нечетной), если:

1) множество D (f) симметрично относительно начала координат;

2) для любого х D (f) справедливо равенство: f ( x) = f (x), (f ( x) = f (x)).

Функцию, которая не является ни четной, ни нечетной, называют функцией общего вида.

Пример 1. Исследуем на четность функцию .

Решение. Сразу можно сделать вывод, что имеем функцию общего вида, так как ее область определения не симметрична относительно начала координат.

Пример 2. Исследуем на четность функцию f (x) = x ² + + .

Решение.

1) D_f = ( ∞;0) (0;+ ∞) – симметричное множество относительно точки О (0; 0).

2) Составим выражение для f ( x) и сравним его с выражением для f (x):

f ( x) = ( x)² + + = x ² + + = f (x)

Вывод: Так как f ( x) = f (x) x D_f, то f (x) = x ² + + четная функция.

Периодичность.

Определение. Функцию у = f (x), заданную на множестве D (f), называют периодической, если существует такое число Т ≠ 0, что:

1) для любого числа х, принадлежащего области определения функции D_f, числа х ± Т также принадлежат области определения.

( х D_f) (х ± Т D_f)

(отсюда следует неограниченность области определения)

2) для всякого числа х из области определения справедливо равенство

f (х ± Т) = f (x).

Число Т называют периодом функции.

Например, f (x) = cos x, T = 2π.

Возрастание и убывание.

Рассмотрим функцию y = f (x), заданную на множестве D (f). Пусть х ₁ и х ₂ – любые две различные точки множества (например, х ₁ < x ₂), содержащегося во множестве D (f).

Определение. Функцию y = f (x) называют на множестве Х

– возрастающей, если (меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции);

– убывающей, если (меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции);

– невозрастающе й, если ;

– неубывающей, если .

Во всех четырех случаях функцию называют монотонной на множестве Х.

Теорема. Для того чтобы дифференцируемая на промежутке Х функция y = f (x) была возрастающей (убывающей) на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы для любого выполнялось условие

.

Пример 3. Найти промежутки монотонности функции .

Решение. Найдем производную данной функции

.

Найдем точки, в которых производная равна 0 и не существует, то есть решим уравнение

.

Следовательно, производная равна 0 при , а не существует при .

•

•

º

x

+

–

+

–

Наносим эти точки на координатную прямую и расставляем знаки производной в каждом полученном интервале

Пользуясь предыдущей теоремой, получаем: функция возрастает на промежутках, где производная положительна, то есть на промежутках и убывает на промежутках, где производная отрицательна, то есть на промежутках .

Экстремумы функции.

Определение. Точку называют точкой максимума (минимума) функции y = f (x) с областью определения D (f), если существует интервал , где , содержащийся в D (f), такой, что для каждого из этого интервала выполняется неравенство .

Другими словами, точка точка максимума (минимума), если значение функции в этой точке больше (меньше), чем значение функции во всех других точках интервала с центром в точке , принадлежащего области определения.

Определение. Точки максимума и минимума называют точками экстремума функции, а значения функции в этих точках называют экстремумами функции.

•

º

º

возр.

убыв.

т. max

х

•

º

º

убыв.

возр.

т. min

х

Признак экстремума: Если функция y = f (x) возрастает (убывает) на некотором интервале , содержащемся в D (f) и убывает (возрастает) на интервале , содержащемся в D (f), то точка точка локального максимума (минимума) функции y = f (x).

Пример 4. Найдем промежутки монотонности и экстремумы функции .

Решение. Функция определена, непрерывна и нечетна на промежутке .

1. Найдем критические точки, то есть точки, в которых производная либо не существует, либо равна 0.

Точки х = 0, х = 1, х = 1 – критические точки.

2.

•

•

•

х

-1

–

–

+

+

Установим знак производной в каждом интервале, на которые область определения разбивается критическими точками.

Функция убывает на лучах , возрастает на отрезке [ 1; 1].

экстремумы функции.