Применение производной к исследованию функции.

Построение графиков функций

[5],гл.2; [3],т.1,гл.5; [8],гл.7,§2; [9],гл.3; [10]

 

Промежутки монотонности и точки экстремума функции

 

Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции , а также ее точки экстремума, надо вначале найти первую производную у' (х)заданной функции. Затем следует определить промежутки, на которых эта производная сохраняет свой знак: там, где у' (х)> 0, функция у (х) возрастает; если же у' (х) < 0, то на этом промежутке функция у (х)убывает.

Чтобы найти точки экстремума (максимума или минимума) функции у (х), прежде всего определяют критические точки функции у (х), то есть точки, входящие в множество определения функции, в которых выполняется необходимое условие экстремума: либо у' (х)= 0, либо у' (х) = ∞, либо у' (х)не существует. Затем каждую из найденных критических точек проверяют на наличие экстремума с помощью одного из достаточных признаков существования экстремума (по первой или второй производной).

Пример 32. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции,

Решение: Прежде всего отметим, что данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки х = 1. Продифференцируем эту функцию

Очевидно, что точка не является критической, поскольку не принадлежит множеству определения функции. Имеем две критические точки, в которых Чтобы найти промежутки возрастания функции у (х),надо решить неравенство у' > 0, или Оно выполняется при - это промежутки возрастания функции. Соответственно, у' < 0 при - промежутки убывания данной функции.

В критических точках проверим выполнение достаточного условия существования экстремума с использованием первой производной. При переходе через точку х = 0 первая производная у' меняет знак с (+) на (-), значит, х = 0 - точка максимума. Аналогично, точка - точка минимума, потому что при переходе через нее первая производная меняет знак с (-) на (+).

Найдем экстремальные значения функции:

 

Выпуклость и вогнутость графика

Функции. Точки перегиба

 

Промежутки выпуклости и вогнутости графика функции, а также точки перегиба определяются с помощью второй производной у". На промежутках выпуклости у" < 0, на промежутках вогнутости у" > 0.

Чтобы найти точки перегиба, исследуют точки, в которых либо у" = 0, либо у" = , либо у" не существует (причем в последних двух случаях у' в соответствующих точках определена). Точками перегиба являются те из найденных точек, при переходе через которые у" изменяет свой знак.

Пример 33. Найти промежутки выпуклости и вогнутости, а также точки перегиба функции

Решение: Зная первую производную , найдем вторую

Поскольку первая производная в точке не определена, то исследуем только точки, в которых у" = 0. Точка x₃ = 0 не является точкой перегиба, так как при прохождении через нее вторая производная сохраняет свой знак (-). Точка - это точка перегиба, поскольку при переходе через нее у" меняет свой знак с (+) на (-). Промежутки вогнутости графика данной функции: , на промежутке график функции выпуклый. Значение функции в точке перегиба:

Асимптоты графика функции

 

а)Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у(х), если хотя бы один из односторонних пределов: обращается в бесконечность. Поэтому для отыскания вертикальных асимптот графика функции надо найти точки бесконечного разрыва данной функции, которые относятся к точкам разрыва 2-го рода.

Пример 34. Найти вертикальные асимптоты графика функции

Решение: Как отмечалось, данная функция не определена в точке . При этом

Поэтому прямая х = 1является вертикальной асимптотой графика заданной функции.

б) График функции у(х) имеет наклонную асимптоту у = kx + b при , если существуют конечные пределы: Если хотя бы один из этих пределов не существует или бесконечен, то график функции не имеет наклонной асимптоты при .(Если асимптота задана уравне­нием у = b, то ее называют горизонтальной).

Пример 35. Найти наклонные асимптоты графика функции

Решение: Найдем значения к и b для данной функции при

Аналогично находим, что при по-прежнему . Таким образом, график функции имеет одну и ту же наклонную асимптоту при ; это прямая у = х.

4.3.7. Общий план исследования функции

Чтобы составить достаточно полное представление о характере поведения функции и построить ее график, удобно проводить ее исследование по следующему плану:

1. Установить множество определения функции; при наличии точек разрыва найти в них односторонние пределы данной функции;

2.а) Найти точки пересечения графика функции с осями координат,

б) Отметить особенности графика заданной функции, не связанные с производными, например, симметрию, периодичность.

3. Установить промежутки возрастания и убывания функции, найти ее экстремумы.

4. Установить промежутки выпуклости и вогнутости график функции, найти точки перегиба.

5 Найти асимптоты графика функции.

Пример 36. Исследовать функцию и сделать схематический чертеж ее графика.

Решение: Как отмечалось в примере 32, множество определения данной функции - вся числовая ось Ох, исключая точку График функции пересекается с осями координат в единственной точке 0(0,0). Функция не является ни четной, ни нечетной, поскольку и ,поэтому график функции не обладает свойствами симметрии. Дальнейшее исследование этой функции фактически уже проведено в примерах 32 -35. По данным, полученным в этих примерах, сделан схематический чертеж графика заданной функции, который представлен на рис.13.

Пример 37. Исследовать функцию и сделать схематический чертеж ее графика.

Решение: 1. Множество определения данной функции - вся числовая ось Ох, кроме точки . Найдем односторонние пределы функции при . Предел слева так как и . При вычислении предела справа возникает неопределенность вида ; приводим ее к неопределенности вида , к которой применяем правило Лопиталя:

2. а) Точки пересечения графика функции с осью Ох определяются из условия у = 0. В данном случае уравнение не имеет решений, так как х = 0 не входит в множество определения функции. Точки пересечения графика функции с осью Оу можно найти, положив х = 0. Для заданной функции это значение не входит в множество ее определения. Следовательно, график исследуемой функции не имеет точек пересечения с осями координат.

б) Поскольку , то функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Находим

Производная у' существует и конечна на всем множестве определения заданной функции . Поскольку точка разрыва первой производной х = 0 не принадлежит множеству определения функции, то все критические точки функции находим из условия: , или . Отсюда получаем .

Функция возрастает, если , то есть при и .

Функция убывает, если , в данном случае при Таким образом, при переходе через точку первая производная меняет знак с (-) на (+), то есть - точка минимума;

4. Находим

Вторая производная существует и конечна во всех точках множества определения данной функции. Тогда все точки перегиба находим из условия: у" = 0, то есть . Поскольку это уравнение не имеет решения, то точек перегиба нет. График функции - выпуклый, если у" < 0; в данном случае при х < 0. График функции вогнутый при x> 0; > 0, где у" > 0.

5. Как было установлено в пункте 1, в точке х = 0 функция имеет бесконечный разрыв, поэтому прямая х = 0 является вертикальной асимптотой ее графика. Для определения наклонных асимптот найдем:

Значит, прямая у = x+ 1является наклонной асимптотой графика функции при . Схематический чертеж графика функции приведен на рис.14.

Пример 38. Исследовать функцию и сделать схематический чертеж графика.

Решение: 1). Данная функция определена на всей числовой

оси

2). Точки пересечения графика функции с осью Ох определяются из условия , откуда , а с осью - из условия , при этом . Данная функция - четная, поскольку , значит, ее график симметричен относительно оси .

3). . Первая производная обращается в бесконечность в точках х = 1, х = -1, в то время, как сама функция в этих точках определена. Значит, эти точки - критические для данной функции. Еще одна критическая точка определяется из условия у' = 0; это х = 0. Функция убывает, если у' < 0, то есть при и . Функция возрастает при у' > 0, то есть при -1 < х < 0 и при х > 1. Таким образом, х = 0 -точка максимума, и - точки минимума данной функции; ; В точках х = -1 и х = 1 данная функция имеет так называемый "острый" экстремум: касательная к графику функции в каждой из этих точек параллельна оси Оу.

4). . Вторая производная обращается в бесконечность при х = ±1, но эти точки не принадлежат множеству определения у' (х)и, следовательно, не являются критическими точками для первой производной. Значит, критические точки для нее определяем из условия у" = 0, откуда при то график у (х)в этих интервалах вогнутый, а в интервалах - график выпуклый, так как там у" < 0.

5). Поскольку функция определена на всей числовой оси Ox, то вертикальных асимптот у ее графика нет. Проверим наличие наклонных асимптот:

Таким образом, наклонные асимптоты также отсутствуют. На рис.15 схематически изображен график функции .

Комплексные числа

[6],гл.1,§6; [3],гл.7,§§1,2,3

 

Выражение называется алгебраической формой комплексного числа z, если а и b - вещественные числа, а . Комплексное число i называется мнимой единицей, число а - вещественной частью комплексного числа z, число b - мнимой частью этого числа. Обозначается: а = Rez, b = Imz. Число bi называют чисто мнимым числом.

Операции сложения и умножения комплексных чисел в алгебраической форме можно выполнять по обычным правилам алгебры многочленов, если учесть, что и вообще . Число называется сопряженным комплексному числу. Очевидно, .

Пример 39. Найти вещественную и мнимую части комплексного числа

.

Решение: Чтобы упростить запись данного комплексного числа, учтем, что

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на число, сопряженное знаменателю, и выполним очевидные преобразования:

Значит, Rez = ; Imz = - 1.

Пример 40. Представить в тригонометрической форме и изобразить на комплексной плоскости число .

Решение: Изобразим комплексное число z = 1- i точкой М на комплексной плоскости, откладывая по оси Ох его вещественную часть Rez = 1, а по оси Оу мнимую часть Imz = -1. Радиус-вектор ОМ составляет с осью Ох угол , называемый аргументом комплексного числа инаходится с помощью формул

В данном случае Значит . Модулем комплексного числа z = а + bi называется длина радиуса-вектора В нашем примере Тригонометрической формой комплексного числа z = а + bi называется выражение

Итак, (см. рис.16)

 

Неопределенный интеграл

[6],гл.1; [7],гл.1;[3],т.1,гл.10; [8],гл.9; [9],гл.4, [10]

 

Интегрирование - нахождение функции по ее дифференциалу - это математическая операция, обратная дифференцированию функции.

В то время, когда дифференцирование функции проводится на основании общего правила, вытекающего из определения производной, для интегрирования функции нельзя указать такие общие правила. Техника интегрирования основана на применении основных свойств неопределенного интеграла и таблицы основных интегралов.