Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Вычисление пределов с использованиемСодержание книги
Поиск на нашем сайте
Эквивалентных бесконечно малых величин
Функции бесконечно малые при называются эквивалентными, если . Эквивалентность бесконечно малых обозначается так: ~ при . При раскрытии неопределенностей можно пользоваться правилом: предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если эти бесконечно малые под знаком предела заменить им эквивалентными. Если при - бесконечно малая, то есть то ~ ; ~ ; ~ ; ~ ; ~ ; ~ ; ~ ; ~ ; ~ . Пример 17. Найти Решение: Так как при то имеем неопределенность Заменим исходные бесконечно малые эквивалентными ~ ; ~ ; ~ ; ~
Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва функции [4],§3; [3],гл.2,§9; [8],гл.6,§6; [9],гл.1,§5, [10]
Если функция у = f (х) определена в некоторой окрестности конечной точки а, то точка а называется точкой разрыва функции в двух случаях: 1) в точке х = а функция f (х) не определена; 2) в точке х = а функция f (х) определена, но не выполняется хотя бы одно из равенств: (3) где - левосторонний и правосторонний пределы функции в точке а. Если при этом конечны, то точка х = а называется точкой разрыва первого рода (или точкой конечного разрыва).Причем, если ,то разрыв называется устранимым. Если хотя бы один из пределов в равенстве (3) не существует или бесконечный, то точка a называется точкой разрыва второго рода (точкой бесконечного разрыва, если хотя бы один из соответствующих пределов - бесконечный). Все элементарные функции непрерывны в каждой точке области определения. Пример 18. Найти точки разрыва функции у = f (x), определить тип разрыва. Для точек разрыва первого рода вычислить скачок функции. Построить график. Решение: Внутри каждого из промежутков (;0), (0; 1) и (1; ) функция f(x) совпадает с соответствующей элементарной функцией. Следовательно, внутри каждого из этих промежутков функция f(x) будет непрерывной, и разрывы могут быть только на концах этих промежутков, то есть в точках x =0 и x =1. Найдем односторонние пределы в этих точках: 1. Для точки х = 0 имеем: Оба односторонних предела конечны, но не равны между собой, значит, точка х = 0 есть точка разрыва I рода. В точке х = 0 функция f(x) имеет скачок 2. Рассмотрим точку х = 1. Односторонние пределы равны и совпадают со значением функции в рассматриваемой точке, значит, в этой точке функция f(x) непрерывна. График функции изображен на рис.9. Пример 19. Найти точки разрыва функции ,установить тип разрыва, для точек разрыва первого рода вычислить скачок функции, построить график в окрестности точек разрыва. Решение: Преобразуем дробь: Функция не определена в точках х = -1 и х = 3 и, следовательно, имеет в этих точках разрывы. Найдем соответствующие односторонние пределы: 1. Для точки х = -1 при и, значит, Следовательно, Аналогично вычислим Так как оба предела конечны, то точка х = - 1 - точка разрыва первого рода. Поскольку пределы не равны, то это - конечный разрыв I рода. - скачок функции. В окрестности точки , поэтому и, значит Таким образом, точка х = 3 - точка бесконечного разрыва второго рода. График функции представлен на рис.10. Пример 20. Найти точки разрыва функции , определить тип разрыва, начертить эскиз графика функции в окрестности точек разрыва. Решение: Даннаяэлементарная функция не определена в точках , следовательно, имеет в этой точке разрыв. Найдем односторонние пределы, учитывая, что при При и , следовательно, Таким образом, в точке функция имеет бесконечный разрыв второго рода. При и , следовательно, Заметим, что при и , т.е. прямая является горизонтальной асимптотой кривой. Эскиз графика функции изображен на рис.11. Производная и дифференциал [4],§4; [3],т.1,гл.3,§§2-16; [8],гл.7,§1; [9],гл.2,§§1-6
Вычисление производных Основные правила дифференцирования: Если функция и(х) и v(x) дифференцируемы в точке х, то в этой точке: Таблица производных: Пример 21. Найти производную функции Решение: Используем первое и второе правила дифференцирования
Далее используем формулу для нахождения производной степенной функции (табличная формула N 2): Пример 22. Найти производную функции Решение: Используем правило дифференцирования произведения и табличные формулы N 4 и N 11: Пример 23. Найти производную функции Решение: Используем правило дифференцирования частного и табличные формулы N 9 и N 13:
|
||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-15; просмотров: 401; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.22.70.169 (0.007 с.) |