Несобственный интеграл от неограниченной функции

 

Пусть функция f (х) непрерывна на промежутке[ а, b), а в точке b имеет бесконечный разрыв: . Несобственным интегралом от функции f (х) на промежутке[ а, b) называется предел

.

Несобственный интеграл называется сходящимся, если указанный предел существует и конечен, и расходящимся в противном случае.

Аналогично определяется интеграл от функции, имеющей бесконечный разрыв на левом конце промежутка интегрирования.

Пример 47. Вычислить несобственный интеграл

Решение: Подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке 0, поэтому

Пример 48. Определить, сходится или расходится несобственный интеграл

.

Решение: Интеграл является несобственным, так как подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке х = 3 на всем промежутке интегрирования

Рассмотрим интеграл . Сделаем в нем замену , тогда и при х = 3, t = 0, а при

х = 5, t = 4. Тогда

Этот интеграл сходится. Следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно и по теореме 1 - сходится.

Геометрические приложения определенного интеграла

[6],гл.2,§§7,8; [7],гл.2,§§7,8; [3],т.1,гл.12,§§1-6;

[8],гл.10,§§3-6; [9],гл.5,§§7-10, [10]

 

Рассмотрим приложения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур, объемов тел вращения и длин дуг кривых.

 

Вычисление площадей плоских фигур

 

Если фигура ограничена сверху графиком функции , a снизу графиком и прямыми (рис.17), то ее площадь S находится по формуле

Пример 49. Вычислить площадь круга радиуса R.

Решение: Круг определяется неравенствами . В таком случае , х изменяется от - R до R. Тогда

Сделаем в этом интеграле замену тогда и при а при . Тогда

Пример 50. Вычислить площадь фигуры, заданной неравенствами:

Решение: Описанная фигура лежит под параболой и над биссектрисами 1-го и 2-го координатных углов (рис.18). Для вычисления ее площади разобьем промежуток интегрирования на два:

В полярной системе координат площадь сектора, ограниченного двумя лучами и кривой, заданной непрерывной функцией (рис.19), находится по формуле

Пример 51. Вычислить площадь круга радиуса R, используя полярные координаты.

Решение: В полярных координатах уравнение окружности радиуса R с центром в полюсе имеет вид Тогда для площади круга имеем

Пример 52. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой и лучами и

Решение: Вид фигуры, ограниченной данной кардиоидой, представлен на рис.20. Согласно условию, требуется найти площадь заштрихованной части фигуры, для которой полярный угол изменяется от 0 до Тогда искомая площадь будет равна

 

Вычисление длин дуг кривых

 

Если плоская дуга задана параметрическими уравнениями

,

и функции имеют непрерывные производные, не обращающиеся в ноль одновременно, то длина дуги

Пример 53. Вычислить длину окружности радиуса R.

Решение: Окружность радиуса R задается в параметрическом виде уравнениями тогда

Если дуга задана в явном виде уравнением у = f(x), (а ≤x≤ b), то

(4)

Пример 54. Вычислить длину окружности радиуса R, используя формулу (4).

Решение: Рассмотрим четверть окружности радиуса R с центром в начале координат, расположенную в первом координатном угле. Она задается уравнением Тогда и для длины окружности получаем

Этот интеграл является несобственным, так как подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв на правом конце отрезка интегрирования. Вычислим его:

Если плоская дуга задана в полярных координатах уравнением , где функция непрерывно дифференцируема на отрезке , а начальная и конечная точки дуги имеют полярные углы и соответственно, то длина дуги вычисляется по формуле

(5)

Пример 55. Вычислить длину окружности радиуса R, исполь­зуя формулу (5).

Решение: Окружность радиуса R с центром в полюсе системы координат задается уравнением Тогда и длина