Вычисление площадей поверхностей вращения

 

Если плоская дуга АВ задана уравнением , причем f(x) неотрицательна и имеет непрерывную производную на (а,b), то площадь поверхности, полученной при вращении дуги АВ вокруг оси Ох может быть вычислена по формуле

Пример 56. Вычислить площадь сферы радиуса R.

Решение: Сфера радиуса R может быть получена вращением полуокружности , вокруг оси Ох. Тогда и для площади поверхности сферы получаем

Вычисление объемов тел вращения

 

Если плоская дуга АВ задана уравнением , причем f(x) неотрицательна, то объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, расположенной под дугой АВ, вокруг оси Ох может быть вычислена по формуле

.

Если плоская дуга CD задана уравнением , причем неотрицательна, то объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, расположенной под дугой CD, вокруг оси Оу может быть вычислена по формуле

Пример 57. Вычислить объем шара радиуса R.

Решение: Шар радиуса R может быть получен вращением полукруга , вокруг оси Ох. Тогда для объема шара имеем

 

Дифференциальное исчисление функции

Нескольких переменных

 

Переменная z называется функцией независимых переменных х, у в множестве Е, если каждой паре (х,у) значений этих переменных из Е ставится в соответствие одно определенное значение z.

Аналогично определяются и функции большего числа переменных.

Частные производные

[6],гл.З; [7],гл.3,§§4,5,7,8; [3],т.1,гл.8,§§5,7,10,12;

[8],гл.8,§2; [9],гл.6,§§3,4,7,9, [10]

 

Для функции нескольких переменных вводится понятие частной производной по каждому из аргументов. Если z = f(x,y), то по определению частная производная z по х в точке .

Аналогично определяется и частная производная по y

.

При вычислении частных производных все аргументы функции, за исключением той, по которой производится дифференцирование, считаются постоянными (константами). При вычислении частных производных применяются те же приемы, что и при вычислении обыкновенных производных.

Пример 58. Вычислить z'_x и z'_y для функции .

Решение: Найдем z'_x.

Считаем у² величиной постоянной, выносим его за знак производной. Дифференцируем xsinx no x как произведение.

Для получаем

Частные производные второго порядка - это частные производные от производных первого порядка. Например:

Если функция обладает в некоторой точке непрерывными частными производными z"_xy и z"_yx, то эти производные равны. Аналогичный факт справедлив и для производных более высоких порядков и для большего числа аргументов, что позволяет выбирать порядок дифференцирования.

Пример 59. Вычислить для функции .

Решение: По определению частных производных высших порядков, можно найти искомую производную следующим образом:

Если функция у от х задана неявно уравнением типа , то производная у по х вычисляется по формуле:

.

где - частные производные от F(x,y) по х,у соответственно.

Пример 60. Вычислить у'_х и дифференциал dy, если

Решение: В данном случае . Тогда

Если функция z от х, у задана неявно уравнением типа F(x, у, z) = 0, то частные производные z по х, у могут быть вычислены из соотношений

(6)

Полный дифференциал

Если функция имеет непрерывные частные производные в точке М (х, у), то ее полным дифференциалом в этой точке называется выражение

Пример 61. Найти полный дифференциал dz в точке для функции z (x, у),заданной уравнением

Решение: Поскольку функция z (x, у)задана неявно, то ее частные производные z'_x, z'_y можно найти, используя соотношения (6), где Тогда

В точке Следовательно, в этой точке и полный дифференциал