Функции. Последовательности. Пределы.

 

Необходимо хорошо усвоить теоремы о пределах:

1. lim (x+y-z)=lim x + lim y – lim z.
2. lim c =c, c-const.
3. lim (xy)=lim x lim y, lim (cx)=c lim x.
4. lim x/y)=lim x / lim y, если lim y =0.
5. lim (x^m)= (lim x)^m.

 

Приступим к отысканию пределов функций. Вопрос о пределе функции не имеет смысла, если не указан предел аргумента. Рассмотрим решение примеров.

Пример 1. Вычислить.

 

Решение. Применяя теоремы 1, 2, 3, 5, запишем

 

 

Пример 2. Вычислить

 

 

Решение

Пример 3. Вычислить

Решение

 

 

Пример 4. Вычислить

 

Решение. В данном случае теорема о пределе частного не применима, так как Числитель дроби разложим на

 

множители и сократим дробь на (х -I):

 

Допредельное значение х-1=0, поэтому сокращение на (х -1) законно.

Пример 5. Вычислить

 

Решение. Разделим числитель, и знаменатель дроби на х⁴:

 

Пример 6. Вычислить

 

Решение. Заменим sin Зх эквивалентной бесконечно ма­лой Зх:

 

Пример 7. Вычислить

 

Решение.

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Дайте определение функции.

2. Перечислите способы задания функции. Приведите примеры.

3. Сформулируйте определение числовой последовательности.

4. Какие бывают числовые последовательности?

5. Сформулируйте теорему о существовании предела последовательности.

6. Какая существует зависимость, между бесконечной малой и бесконечно большой последовательностями?

 

7. Дайте определение предела переменной.

8. Напишите уравнение гармонического колебания.

9. Как определяются функции y==arcsin х, y=arccos x,

у= =arctg x, у=arcctg х?

10. Чему равно выражение y=sin(arcsin x)?

11. Как найти приращение аргумента?

12. Как найти приращение функции?

13. Как вычисляется средняя скорость изменения функции?

14. Дайте определение производной функции.

15. Выпишите теоремы о производных алгебраической суммы, произведения, частного.

 

Неопределенный интеграл

 

Понятие неопределенного интеграла. дифференцирование -это действие, с помощью которого по данной функции находится ее производная или диф­ференциал. Например, если F(x) = х¹⁰, то F' (х) = 10х⁹, dF (х) =10x⁹dx.

Интегрирование -это действие, обратное дифференцированию. С помощью интегрирования по данной производной или дифференциалу функции находит­ся сама функция. Например, если F' (х) = 7х⁶, то F (х) == х⁷, так как (х⁷)'=7х⁶.

Дифференцируемая функция F(x), хЄ]a; b[ называется первообразной для функции f (х) на интервале ]а; Ь[, если F' (х) = f (х) для каждого хЄ]a; b[.

Так, для функции f(x) = 1/cos³ х первообразной служит функция F(x)= tg x, поскольку (tg x)'= 1/cos² х.

Совокупность всех первообразных функций f(x) на интервале ]а; b[ на­зывают неопределенным интегралом от функции f(x) на этом интервале и пишут f (x)dx = F(x) + С. Здесь f(x)dx - подынтегральное выражение;

f(х)—подынтегральная функция; х—переменная интегрирования: С - про­извольная постоянная.

Например, 5x⁴dx = х⁵ + С, так как (х³ + С)' = 5х⁴.

Приведем основные свойства неопределенного интеграла. 1.Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

d f(x)dx=f(x)dx.

 

2.Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функ­ции, сложенной с произвольной постоянной, т. е.

dF(x)=F(x)+C.

3.Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

аf(х)dx = a f(x)dx

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждой функции:

(f₁(х) ±f₂(х))dx = f₁(х)dx ± f₂(х)dx.

 

Основные формулы интегрирования

(табличные интегралы).

1.

 

 

2.

3.

 

4.

5.

 

6.

7.

8.

 

9.

10.

 

11.

 

Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элемен­тарных преобразований, то в этом случае пользуются методом подстановки.

Пример 1. Найти

 

 

Решение. Произведем подстановку 2 — Зх² = t тогда -6xdx =dt, xdx = -(1/6)dt. Далее, получаем

 

 

 

Пример 2. Найти

Решение. Сначала положим 2 + cos x = t; тогда -sin xdx= dt, откуда sin xdx = -dt. Далее, получаем

Пример 3. Найти

Решение. Положим 10х = t; тогда 10dx = dt, откуда dx=(1/10)dt.

Далее, получаем

 

В практике интегрирования часто встречаются интегралы, для нахождения которых можно использовать следующие формулы (k = 0, n= 0 — постоянные):

 

 

1.

 

2.

 

3.

 

4.

 

5.

6.

 

7.

 

8.

 

 

Так, при нахождении sinl0xdx можно использовать формулу sinkxdx = - (1/k) cos kx+C, где k=10.

Тогда sinl0xdx = -(1/10) сos10х+С.

Вопросы и упражнения для самопроверки

1. Какое действие называется интегрированием?

2. Какая функция называется первообразной для функции f(x)?

3. Дайте определение неопределенного интеграла.

4. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.

5. Каким действием можно проверить интегрирование?

6. Напишите основные формулы интегрирования (табличные интегралы).

7. Найдите интегралы: а) б) в)

г)

Ответы: 7. а) б) в)

 

г)

Определенный интеграл

 

Понятие определенного интеграла. Непосредственное вычисление определенного интеграла производится по формуле Ньютона—Лейбница:

 

 

где а—нижний предел, Ь—верхний предел, F (x)—какая-нибудь первообразная функции f (х).

Из этой формулы виден порядок вычисления определенного интеграл 1) находят одну из первообразных F (x) данной функции; 2) находят значение F (x) при х = а и х = Ь; 3) вычисляют разность F (Ь) — F (а).

 

Пример 1. Вычислить интеграл

 

Решение. Воспользуемся определением степени с дробным и отрицательным показателем и вычислим определенный интеграл:

 

Приведем основные свойства определенного интеграла.

1. При перестановке пределов интеграла знак интеграла меняется на противоположный:

 

2. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

 

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

 

4. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от всех слагаемых:

 

Пример 2. Вычислить интеграл

 

Решение. 1) Произведем подстановку х³+2=t; тогда

3х²dx=dt,

2) Определим пределы интегрирования для переменной t. При х=1 получаем t_н=1³+2=3, при х=2 получаем t_в=2³+2=10.

3) Выразив подынтегральное выражение через t и dt и перейдя к новым пределам, получим

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение. 1) положим cos х=t; тогда – sinxdx =dt и

sinxdx = -dt. 2) Определим пределы интегрирования для переменной t: t_н=cos0=1:t_в=cos (π/2)=0.

3) Выразив подынтегральное выражение через t и dt и перейдя к новым пределам, получим

 

Пример 4. Вычислить интеграл

 

Решение. Сначала преобразуем подынтегральное выражение

sin³x = sin² x • sin x = (1 — cos²x) sin x = sin x - cos² x sin x.

Затем вычислим интеграл от разности функций, заменив его разностью определенных интегралов от каждой функции:

 

 

Вычислим каждый интеграл отдельно:

 

 

cos x =t,

-sin xdx =dt,

sin xdx =-dt,

tн=cos0 =1

tв=cos(π/2) =0.

Тогда

 

 

Приложения определенного интеграла. Площадь плоской фигуры. Площадь криволинейной трапеции аАВЬ (рис. 46), ограниченной гpaфикoм непрерывной функции y=f(x), где

хЄ[а, b], отрезком [a,b] оси Ох, отрезками прямых х =a и х = b, вычисляется по формуле

(1)

Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = х² , прямыми х = - 1, х = 2 и осью абсцисс (рис.47).

Решение. Применяя формулу (1), получаем

т.е. S=3 кв. ед.

Площадь фигуры ABCD (рис. 48), ограниченной графиками непрерывных функций у =f₁(x) и у f₂= (x), где х Є[а, b], отрезками прямых х = а и х = Ь, вычисляется по формуле

(2)

 

		рис. 47

 

 

Пример 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью Ох и линией у = х² — 2х (рис. 49).

Решение. Найдем пределы интегрирования, т. е. абсциссы точек пере­сечения графиков функций y=х²—2х и у=0 (ось Ох). Для этого решим систему

 

 

Теперь найдем искомую площадь:

 

 

 

Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х² и у² =х (рис. 50).

Решение. Найдем пределы интегрирования, т. е. абсциссы точек пере­сечения графиков функций у = х² и у² =х. Для этого решим систему

Искомую площадь вычисляем по формуле (2) при f₁(x)=x²,

рис. 50

рис. 51

Объем тела вращения. Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции аАВЬ, ограниченной непрерывной кривой у = f (x), где x Є [а, b], отрезком [а, Ь] оси Ох, отрезками прямых х = а и х = b (рис. 51), вычисляется по формуле

 

(3)

 

 

Пример 8. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг ocи Ох фигуры, ограниченной параболой у²=2х, прямой х = 3 и осью Ох (рис. 52).

Решение. Применяя формулу (3), находим искомый объем:

(куб. ед.)

 

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции аАВЬ, ограниченной непрерывной кривой x=f(y), где у Є [а, b], отрезком [а, b] оси Оу, отрезками прямых у = а и у = Ь (рис. 53), вычисляется по формуле

 

(4)

 

 

Пример 9. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг ocи Оу фигуры, ограниченной параболой у=х² и прямой у = 4 (рис. 54).

Решение. Применяя формулу (4), находим искомый объем:

(куб. ед.)

 

Путь, пройденный точкой. Если точка движется прямолинейно и ее скорость v=f(t) есть известная функция времени t, то путь пройден­ный точкой за промежуток времени [t₁,t₂], вычисляется по формуле

 

(5)

Вопросы для самопроверки

 

1. Дайте определение определенного интеграла.

2. Перечислите основные свойства определенного интеграла.

3. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

4. Напишите формулы для определения площади плоской фигуры с по­мощью определенного интеграла.

5. По каким формулам находится объем тела вращения?

6. Напишите формулу для вычисления пути, пройденного телом.

7. Напишите формулу для вычисления работы переменной силы.

8. По какой формуле вычисляется сила давления жидкости на пластинку?

 

Производная и ее приложения

Производная. Понятие производной является одним из важнейших в курсе математики. Многие задачи как самой математики, так и естествознания и техники приводят к этому понятию.

Производной функции y=f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

 

Функция, имеющая конечную производную, называется дифференцируемой. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Если у=f(u) и u=φ(x)— дифференцируемые функции своих аргумен­тов, то производная сложной функции у=f(φ(x)) существует и равна произ­ведению производной функции у по промежуточному аргументу u на произ­водную промежуточного аргумента u по независимой переменной х:

 

Аналогичная формула верна и для сложных функций, которые задаются с помощью цепочки, содержащей три звена и более.

Таблица формул дифференцирования

1. с’=0

2. х’=1

3. (u±v)’ = u’ ± v’

4. (uv)’ = uv’ + vu’

5. (cu)’ = cu’

6.

7.

8.

9.

10. (a^u)’ = a^u ln a • u’

11. (e^u)’ = e^u ln eu’ = e^uu’

12. где u>0

13. где u>0

14. (sin u)’ = cos u • u’

15. (cos u)’ = - sin u • u’

16.

17.

18.

19.

20.

 

21.

Здесь u и v — дифференцируемые функции от х, а

с - постоянная величина.

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Дифференцируем функцию по формулам

Пример 2. Найти производную функции у=sin³j и вычислить ее значе­ние при j= p/3.

Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом sinj. Дифференцируем ее по формулам

(uⁿ)' = nu^n-1u', (sin u)' = cos u • u':

f(j) = 3 sin²j (sinj)' = 3 sin²j cosj.

 

Вычислим значение производной при j = p/З:

f(p/3) = 3sin² (p/3) cos(p/3)=3(Ö3/2)² •(1/2)=3•(3/4) • (1/2)=9/8.

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Сначала преобразуем функцию, используя свойства лога­рифмов: t

Дифференцируя, получим

Геометрический смысл производной. Производная функции у =f(x) представляет собой угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в любой его точке.

Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y=f(х) в точке A(а;b), равен значению производной функции при х = а:

k_кас=y'(a)=f'(a).

Уравнение касательной, проведенной к графику функции в этой точке, имеет вид

у— b=k (х -а), где k=f’(a).

Пример 4. Составить уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой х=2.

Решение. Сначала найдем ординату точки касания А (2;у). Так как точка А лежит на кривой, то ее координаты удовлетворяют уравнению кри­вой, т. е.

 

Уравнение касательной, проведенной к кривой в точке А(2;2), имеет вид у - 2 = k(x - 2). Для нахождения углового коэффициента касательной найдем производную:

 

Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции при х = 2:

Уравнение касательной таково:

у - 2 = - (х - 2), или у - 2 = -х + 2, т. е. х + у - 4 = 0.

 

Физический смысл производной. Если тело движется по прямой по за­кону s = s (t), то производная пути s по времени t равна скорости движения тела в данный момент времени t:

Быстрота протекания физических, химических и других процессов также выражается с помощью производной.

Производная функции у=f(х) равна скорости изменения этой функции при данном значении аргумента х:

 

Пример 5. Закон движения точки по прямой задан формулой s=t²+3t+5. В какие моменты времени t скорость движения точки равна нулю?

Решение. Скорость прямолинейного движения точки равна производ­ной пути s по времени t:

v (t) = s' = 3 t² - 6t + 3; v (t) =0,З t² - 6t + 3 = 0,

t² - 2t + 1 = 0, (t — 1)² = 0, откуда t = 1.

Вторая производная. Производной второго порядка (или второй про­изводной) функции называется производная от первой производной у' =f' (х):

у" = (у’)' или f" (х) = (f' (х))'.

Пример 6. Найти вторую производную функции f(x)=tg x.

Решение. Сначала по формуле найдем первую произ­водную:

Дифференцируя еще раз по формулам (uⁿ)’=nu^n-1u’, сos u)’=-sin u*u’, найдем вторую производную:

 

 

 

Физический смысл второй производной. Если тело движется прямоли­нейно по закону s=s(t), то вторая производная пути s по времени t равна ускорению движения тела в данный момент времени t:

а (t) = v' = s".

Пример 7. Точка движется по прямой по закону s=t³-5t²+8t+2. (s - в метрах, t - в секундах). Найти ускорение движения точки в конце второй секунды.

Решение. Сначала найдем производную пути s по времени t:

s' = 3 t² - 10 t + 8.

Ускорение прямолинейного движения точки равно второй производной пути s по времени t:

а (t) = s" = 6 t - 10, а(2) = 6 • 2 - 10 = 12 - 10 = 2.

Ускорение движения точки в конце второй секунды равно 2 м/с².

 

Приложения производной к исследованию функций. Дифференцируе­мая функция у= f (х) возрастает на промежутке ]а, b[, если ее производная положительна в каждой точке этого промежутка.

Дифференцируемая функция у=f(x) убывает на промежутке]а; b[, если ее производная отрицательна в каждой точке этого промежутка.

Функция y=f(x) имеет максимум в точке х = x₁ (рис. 38), если для всех значений х, достаточно близких к x₁, выполняется неравенство f(х) < f(х₁); x=х₁ - точка максимума; у_maх =f (х₁) - максимум функции.

Функция у = f(x) имеет минимум в точке х = х₂ (рис. 38), если для всех значений х, достаточно близких к х₂, выполняется неравенство f(x) > f(х₂); х = х₂ - точка минимума; у_maх = f(х₂) - минимум функции.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значе­ния функции в этих точках - экстремальными.

Точки, в которых производная функции обращается в нуль, называются критическими, точками I рода.

Первое достаточное условие существования экстре­мума функции. Если при переходе через критическую точку I рода х=х₀ производная функции y=f(х) меняет знак, то х=х₀ - точка

 

 

экстремума.

При этом если производная меняет знак с плюса на минус, то х=х₀= - точка максимума, а у_mах =f(х₀). Если же производная меняет знак с минуса на плюс, то х= х₀ - точка минимума, a у_min =f(х₀)

Второе достаточное условие существования экстре­мума функции. Если в точке х = х₀ первая производная функции у=f(x) обращается в нуль, а вторая производная отлична от нуля, то х=х₀ - точка экстремума.

При этом если вторая производная в этой точке положительна (f" (х₀)>0), то х=х₀ - точка минимума; если вторая производная в этой точке отрица­тельна (f"(х₀) < 0), то х= х₀ – точка максимума.

рис. 38.

 

Направление вогнутости и точки перегиба кривой. Говорят, что на промежутке ]а, b[ кривая обращена выпуклостью вверх или вы­пукла (Ç), если она лежит ниже касательной, проведенной в любой ее точке (рис. 42).

Говорят, что кривая на промежутке ]b,с[ обращена выпуклостью вниз или вогнута (È), если она лежит выше касательной, проведенной в любой ее точке (рис. 42).

Точка А, в которой меняется направление вогнутости кривой, называется точкой перегиба кривой (рис. 42).

График дифференцируемой функции y=f(x) является выпуклым на про­межутке ]а; b[, если вторая производная функции отрицательна в каждой точке этого промежутка.

График дифференцируемой функции y=f(x) является вогнутым на про­межутке ]b; с[, если вторая производная функции положительна в каждой точке этого промежутка.

Точки, в которых вторая производная функции обращается в нуль, назы­ваются критическими точками II рода.

Если при переходе через критическую точку II рода х = х₀ вторая произ­водная функция меняет знак, то х = х₀ - абсцисса точки перегиба. Ордината точки перегиба равна значению

 

 

функции в точке х₀, т.е. у_т.п. =f(х₀); А(х₀;f(х₀)) - точка перегиба графика функции у = f(х).

Исследование функций и построение их графиков. Исследование функции можно проводить по следующей схеме:

1. Найти область определения функции.

2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

3. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.

4. Найти направление вогнутости и точки перегиба графика функции.

5. Для уточнения графика функции рекомендуется найти несколько допол­нительных точек из уравнения функции.

Пример 8. Построить график функции у = х³ - Зх.

Решение 1. Областью определения функции служит множество всех действительных чисел, т. е. х = R.

2. Находим точки пересечения графика функции с осями координат:

рис.42.	рис. 43.

 

 

3. Находим экстремумы функции. Для этого сначала найдем производную у' = Зх² - 3. Затем найдем критические точки I рода: у' = 0,Зх² - 3=0, х² = 1, х₁= 1, х₂ = -1. Отметим эти точки на числовой прямой (рис. 43). Исследуем знак производной в каждом интервале; у'(-2) > 0, у' (0) < 0, у'(2) > 0. Функция возрастает при хÎ] -¥,-1[U]1,+¥[и убывает при хÎ] –1,1[. Итак, х= -1 — точка максимума; у_maх = у(-1)=(-1)³-3(-1)=-1+3=2; х=1 — точка минимума; y_min = у (1) = 1³—3*1=1-3=-2.

 

4. Находим направление вогнутости и точки перегиба графика функции. Для этого сначала найдем вторую производную у" = 6х, а затем критические точки II рода: у" =0,6х=0, х = 0. Отметим эту точку на числовой прямой (рис. 44). Исследуем знак второй производной в каждом интервале:

у"(-1) < 0, у"(1)>0.

рис. 44	рис. 45

 

Таким образом, график является выпуклым при хÎ] -¥,0[ и вогнутым при хÎ] 0, + ¥ [; х = 0 — абсцисса точки перегиба, y_т.п= у(0) = 0; О (0,0) - точка перегиба графика функции.

Отметим все полученные точки в сис­теме координат и соединим их плавной кривой (рис. 45).

Для уточнения графика функции можно найти дополнительные точки, используя уравнение функции: у(-2)= -2, у (2) =2.

 

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение производной функции.

2. В чем состоит геометрический смысл производной?

3. В чем состоит физический смысл производной?

4. Дайте определение второй производной функции.

5. В чем состоит физический смысл второй производной?

6. Напишите все формулы дифференцирования.

7. Как найти промежутки возрастания и убывания функции?

8. Как найти точки экстремума и экстремумы функции?

9. Как найти промежутки выпуклости и вогнутости кривой?

10. Как найти точки перегиба кривой?

 

 

11. Найдите производные функций: а) у = In tg (х/2);

б) у = cos² Öx; в) f(x)=(x+1)2х-1.

12. Составьте уравнение касательной к кривой у = х² — 4х в точке с абсциссой х = 1.

13. Прямолинейное движение точки задано уравнением

(s - в метрах, t - в секундах). Найдите скорость и ускорение движения точки в конце второй секунды,

14. Какой из прямоугольников с периметром, равным 48см, имеет наибольшую площадь?

15. Число 66 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.

 

Ответы. 11. a) cosec х; б) в)

12. 2х+у+1=0. 13. 3 м/с, 2 м/с². 14. Квадрат со стороной 12 см. 15. 33 и 33.

 

Решение. Находим производную данной функции, используя формулы

 

Умножив производную на дифференциал аргумента, получим дифференциал:

Пример 2. Вычислить значение дифференциала функции n = In sin 2j при j = p/8, Dj = 0,02.

Решение: Дифференциал функции вычисляем по формуле dv = v' (j) dj.

 

 

Прежде чем применить эту формулу, используя равенства

(sin u)’ = cos u ^, u ’, (си)’= си ’, находим производную функции и ее значение при j = p/8:

Понятие о дифференциальном уравнении. Дифференциальным уравне­нием называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию, ее производную (или дифференциал аргумента и дифференциал функции).

Если дифференциальное уравнение содержит производную или дифферен­циал не выше первого порядка, то оно называется дифференциальным урав­нением первого порядка. Общий вид такого уравнения F (х, у, у') = 0.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка назы­вается функция у = j(х, С) от х и произвольной постоянной С, обращающая это уравнение в тождество.

Общее решение, записанное в неявном виде Ф (х, у. С) =0, называется общим интегралом.

Частным решением уравнения F (х, у, у') = 0 называется решение, полу­ченное из общего решения при фиксированном значении С: у =j(х, С_о), где С_о - фиксированное число.

Частным интегралом уравнения F(x, у, у') = 0 называется интеграл, полученный из общего интеграла при фиксированном значении С: Ф (х, у, С_о) = 0.