Общий интеграл этого уравнения имеет вид 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Общий интеграл этого уравнения имеет вид



 

Замечание. Если произведение X1(x)•Y(у)=0 при х = а и у=b, то эти функции х=а и у=b являются решениями дифференциального урав­нения при условии, что при этих значениях х и у уравнение не теряет число­вого смысла. Геометрически эти решения представляют собой прямые,

 

 

парал­лельные осям координат.

Пример 2. Решить уравнение Найти частное решение, удовлетворяющее условию у = 3 при х = 2Ö2.

Решение. Так как то откуда (х2+1)dy=хуdх. Разделим обе части уравнения на произведение у(х2 - 1):

Интегрируя, находим

 

После потенцирования получим решение откуда , или где С= + С1.

 

Произведение у(х2+1)=0 при у = 0; так как при этом значении у дифференциальное уравнение не теряет числового смысла, то у = 0 — решение уравнения. Но оно входит в решение при С = 0. Значит, общее решение уравнения имеет вид .

Подставив в общее решение значения у=3 и х =2Ö2, получим 3=С•3, откуда С=1. Частное решение уравнения, удовлетворяющее данному условию, имеет вид

Пример 3. Решить уравнение 2х sin ydx +(х2+3) cos ydy=0. Найти частное решение, удовлетворяющее условию у =p/2 при х=1.

Решение. Разделим каждый член уравнения на произведение (х2 • +3)sin y:

 

 

 

Интегрируя, находим

После потенцирования получим

или где . Отсюда

Произведение (х2 + 3) sin у = 0 при sin у = 0, так как при этом значении дифференциальное уравнение не теряет числового смысла, то sin у=0 – решение уравнения. Но оно входит в интеграл при С=0. Значит, общий интеграл уравнения имеет вид .

Подставив в общий интеграл значения у=p/2 и х=1, получим 1=С/(1+3), откуда С = 4. Частный интеграл уравнения, удовлетворяющий данному условию, имеет вид sin у = 4/(х2 + 3).

Пример 4. Решить уравнение еу (1 + х2) dy - 2x(1+еу) dx =0. Найти частное решение, удовлетворяющее условию у=0 при х=0.

Решение. Перенесем второй член уравнения в правую часть и разделим обе части на произведение (1+еу)(1+х2):

 

Интегрируя, находим

 

После потенцирования получим общий интеграл уравнения: 1 + еу = С (1 + х2).

Подставив в общий интеграл значения у=0 и х=0, получим 1+1=С, откуда С=2. Частный интеграл уравнения, удовлетворяющий данному усло­вию, имеет вид 1+еу=2(1+х2).

 

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Какое уравнение называется дифференциальным?

2. Дайте определение дифференциального уравнения первого порядка.

3. Дайте определение общего решения и общего интеграла дифферен­циального уравнения первого порядка.

4. Дайте определение частного решения и частного интеграла дифферен­циального уравнения первого порядка.

5. Решите дифференциальные уравнения и найдите частные решения (частные интегралы), удовлетворяющие данным условиям:

а) (ху2 + х) dx - (у – х2у) dy =0; у = 1 при х = 2.

б) ех (1+еу) dx + еу(1 + ex) dy = 0; у=0 при х=0,

6. Найдите частные решения (частные интегралы) дифференциального уравнения, удовлетворяющие данным условиям:

а) у' = у33; у =Ö2 при х =Ö3;

б) у' tg х = 1 +у, у = - 1/2 при х = p/6.

 

Ответы. 5. а) (1 + у2)(1 - х3) = С, (1 + у2)(1 - х3) = -6;

(1 + еу)(1 - ех) = С, (1 + еу)(1 - ех) = 4.

6. а) у2=6 х2/(х2 +6); б) у=sin х –1.

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-12-14; просмотров: 247; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.237.65.102 (0.014 с.)