Возрастание и убывание функции. Экстремумы.

1. Признаки монотонности функции.

2. Экстремумы функции; необходимое и достаточное условия существования экстремума.

3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

- 1 -

Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций и построению графика функции.

Теорема (необходимые условия). Если дифференцируемая на интервале функция возрастает (убывает), то для .

Рис.1

Геометрически теорема означает, что касательные к графику возрастающей дифференцируемой функции образуют острые углы с положительным направлением оси Ох или в некоторых точках (на рис.1 в точке х₀) параллельны оси Ох.

Теорема (достаточные условия). Если функция дифференцируема на интервале и для , то эта функция возрастает (убывает) на интервале .

- 2 -

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

Экстремум функции часто называют локальным экстремумом, подчеркивая тот факт, что понятие экстремума связано лишь с достаточно малой окрестностью точки . Так что на одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может случиться, что минимум в одной точке больше максимума в другой . Наличие max (или min) в отдельной точке промежутка Х вовсе не означает, что в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение на этом промежутке (или, как говорят, имеет глобальный максимум (минимум).

Теорема (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю .

Геометрически равенство означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику параллельна оси Ох.

Отметим, что обратная теорема неверна, т.е. если , то это не значит, что - точка экстремума.

Таким образом, непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими (или стационарными). Эти точки должны входить в область определения функции.

Таким образом, если в какой-либо точке имеется экстремум, то эта точка критическая. Очень важно, заметить, что обратное утверждение неверно. Критическая точка вовсе не обязательно является точкой экстремума.

Таким образом, для нахождения экстремумов функции требуется дополнительное исследование критических точек. Иными словами, требуется знать достаточное условие экстремума.

Теорема (первое достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума; с минуса на плюс, то - точка минимума.

Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее экстремумы.

Схема исследования функции на экстремум.

1. Найти производную .

2. Найти критические точки .

3. Выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции.

4. Исследовать знак производной слева и справа от каждой из выбранных критических точек и сделать вывод о наличии экстремумов функции.

5. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Теорема (второе достаточное условие экстремума). Если в точке первая производная функции равна нулю (), а вторая производная в точке существует и отлична от нуля (), то при в точке функция имеет максимум и минимум - при (без доказательства).

- 3 -

При решении прикладных задач, в частности оптимизационных, важное значение имеют задачи на нахождение наибольших и наименьших значений (глобального максимума и глобального минимума) функции на промежутке Х.

Согласно теореме Вейерштрасса, если функция непрерывна на , то она принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Наибольшее или наименьшее значение функции может достигаться как в точках экстремума, так и в точках на концах отрезка.

Для нахождения наибольших и наименьших значений на отрезке рекомендуется пользоваться следующей схемой:

1. Найти производную .

2. Найти критические точки функции, в которых или не существует.

3. Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее .

Замечание. Если функция непрерывна на интервале , то она может не принимать на нем наибольшие и наименьшие значения. В частном случае, если дифференцируемая функция на интервале имеет лишь одну точку максимума (или одну точку минимума), то наибольшее (наименьшее) значение функции совпадает с максимумом (минимумом) этой функции.