Задача о производительности труда

Пусть функция u=u(t) выражает количество произведенной продукции u за время t и необходимо найти производительность труда в момент времени t_0.

За период времени от t₀ до (t₀+Dt) количество произведенной продукции изменится от значения u₀=u(t₀) до значения u₀+Du=u(t₀+Dt); тогда средняя производительность труда на этот период времени . Очевидно, что производительность труда в момент t₀ можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от t₀ до t₀+Dt при , т.е.

.

- 2 -

Определение. Производной функции у=f(х) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, т.е.

.

Производная функции также может быть обозначена одним их символов .

Функция у=f(х), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b) называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Производная функции у=f(х) может быть найдена по схеме:

1. Дадим аргументу х приращение Dх≠0 и найдем наращенное значение функции у+Dу=f(х+Dх).

2. Находим приращение функции Dу= f(х+Dх)-f(х).

3. Составляем отношение .

4. Находим предел этого отношения при , т.е. (если этот предел существует).

Пример. Используя определение найти производную функции у=х³..

Решение.

1) Дадим аргументу х приращение Dх≠0 и найдем наращенное значение функции у+Dу=(х+Dх)³.

2) Находим приращение функции Dу=(х+Dх)³-х³=х³+3х²Dх+3хDх²+Dх³-х³=Dх(3х²+3хDх+Dх²).

3) Составляем отношение =3х²+3хDх+Dх².

4) Находим предел = (3х²+3хDх+Dх²)= 3х².

Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.

Обратная теорема неверна: непрерывная функция может не иметь производной.

Правила дифференцирования

1. Правила дифференцирования.

2. Производные сложной и обратной функций.

3. Производные основных элементарных функций, таблица производных.

4. Производные высших порядков.

 

- 1 -

Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.

Пусть функции u=u(x) и - две дифференцируемые на некотором интервале (a;b) функции.

Теорема 1. Производная суммы (разности) двух функций:

. (1)

Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.

Теорема 2. Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго:

. (2)

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: .

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например: .

Теорема 3. Производная частного двух функций , если ≠0 равна дроби, числитель который есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя.

. (3)

Следствие 3. .

Следствие 4. , где с = const.

Пример 1. Найти производную функции и вычислить ее значение в точке х=1.

Решение.

Значение производной в точке х=1 есть .

- 2 -

Пусть переменная y есть функция от переменной u, то есть у=f(u), а переменная u в свою очередь есть функция от независимой переменной х, то есть задана сложная функция .

Теорема 4. Если функция имеет производную в точке х, а функция у=f(u) имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция имеет производную в точке х, которая находится по формуле

. (4)

Итак, для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько. Так, если у=f(u), , , то .

Пусть y=f(x) и - взаимно-обратные функции.

Теорема 5. Если функция y=f(x) строго монотонна на интервале (a;b) и имеет неравную нулю производную в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция также имеет производную в соответствующей точке, определяемую равенством

или .

Таким образом, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Пример 2. Найти производную функции .

Решение. Данная функция является сложной. Ее можно представить в виде цепочки простых функций: , где , где , где . По правилу дифференцирования сложной функции получаем

Пример 3. Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти производную для функции .

Решение. Обратная функция имеет производную . Следовательно

.

- 3 -

Таблица производных элементарных функций

№ п/п	Функция у	Производная	№ п/п	Функция	Производная
	с
	х
	,

-4-

Производная функции y=f(x) есть также функция от х и называется производной первого порядка.

Если функция дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается (или . Итак, .

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается .

Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n -1) порядка:

.

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (y ^V или y ⁽⁵⁾ ). .

Дифференциал функции

1. Понятие дифференциала.

2. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

3. Дифференциалы высших порядков.

-1-

Пусть функция y=f (x) имеет в точке х отличную от нуля производную . Тогда по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать , где при , или .

Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух слагаемых и , являющихся бесконечно малыми при . При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с , т.к. , а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем :

.

Поэтому первое слагаемое называют главной частью приращения функции ∆у.

Определение. Дифференциалом функции y=f (x) в точке х называется главная линейная относительно ∆х часть приращения функции, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df(x)):

. (1)

Дифференциал dy называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т.е. дифференциал функции у = х.

Так как у´=х´= 1, то согласно формуле (1), имеем dy=dx=∆x, т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению переменной: dx=∆x.

Поэтому формулу (1) можно записать так:

. (2)

Иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (2) следует равенство . Теперь обозначение производной можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dx.

Пример 1. Найти дифференциал функции .

Решение: По формуле находим

.

Геометрический смысл дифференциала функции.

Проведем к графику функции y=f(x) в точке М(х;у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки . На рис. . Из треугольника МАВ имеем , то есть .

Но, согласно геометрическому смыслу производной, . Поэтому Сравнивая полученный результат с формулой (1), получаем dy=AB, т.е. дифференциал функции y=f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение .

- 2 -

Как уже известно, приращение Δ у функции y=f(x) в точке х можно представить в виде , где при , или . Отбрасывая бесконечно малую более высокого порядка, чем Δ x, получаем приближенное равенство

(2)

причем это равенство тем точнее, чем меньше Δ x.

Это равенство позволяет с большей точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.

Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (2) широко применяется в вычислительной практике.

Подставляя в равенство значения Δ у и dy, получим

или

(3)

Формула (3) используется для вычислений приближенных значений функций.

Пример 4. Вычислить приближенно arctg 1,05.

Решение: Рассмотрим функцию f(x)= arctg x. По формуле (3) имеем:

т.е. .

Так как x+ Δ x =1.05, то при х= 1 и Δ х =0.05 получаем:

-3-

Пусть y=f(x) дифференцируемая функция, а ее аргумент х – независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал - есть также функция и можно найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала функции y=f(x) называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается .

Итак, по определению d²y=d(dy). Найдем выражение второго дифференциала функции y=f(x).

Так как dx= Δ x не зависит от х, то при дифференцировании считаем dx постоянным и можно выносить за знак дифференциала.

т.е. . (4)

Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка:

И, вообще, дифференциал n -го порядка есть дифференциал от дифференциала (n -1)-го порядка:

Отсюда находим, что . В частности, при n = 1,2,3 соответственно получаем

т.е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

Пример 5. Найти d²y, если y=e^3x и х – независимая переменная.

Решение: Так как то по формуле (4) имеем .