Тема №4: Интегрирование тригонометрических функций.

План

1. Универсальная тригонометрическая подстановка.

2. Интегралы типа .

3. Использование тригонометрических преобразований.

 

-1-

Функцию с переменными sinx и cosx, над которыми выполняются рациональные действия (сложение, вычитание, умножение, деление) принято обозначать R (sin x; cos x), где R - знак рациональной функции.

Вычисление неопределенных интегралов типа сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой , которая называется универсальной.

Действительно, .

Из равенства получаем x=2 arctg t, .

Поэтому, ,

где R₁(t)- рациональная функция от t. Обычно этот способ весьма громоздкий, зато он всегда приводит к результату.

На практике применяют и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств (и вида) подынтегральной функции. В частности, удобны следующие правила:

1. Если функция R (sin x; cos x) нечетна относительно sin x, т.е.

R(-sin x; cos x) = -R (sin x; cos x),

то подстановка cos x = t рационализирует интеграл.

2. Если функция R (sin x; cos x) нечетная относительно cos x, т.е.

R (sin x; -cos x)=-R (sin x; cos x),

то делается подстановка sin x=t.

3. Если функция R (sin x; cos x) четная относительно sin x и cos x, т.е.

R (-sin x; -сos x)=R(sin x; cos x),

то интеграл рационализируется подстановкой tgx = t. Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид .

Пример 1. Найти .

Решение: Положим . , ,

.

Пример 2: Найти

Решение: Так как R(-sinx; -cosx)= ,то полагаем tgx=t.

Отсюда , и .

Поэтому,

- 2-

Рассмотрим три вида интегралов.

1. Интегралы вида , где хотя бы одно из чисел m, n – нечетное.

В данном случае из нечетной степени нужно выделить первую степень функции и подвести ее под знак дифференциала, оставшуюся четную степень функции преобразовать в ту функцию, которая находится под знаком дифференциала по формуле: .

Пример 3. Найти интеграл .

= = )= = = .

Пример 4. Найти интеграл .

Решение: = =- =- =

=-cosx+ .

2. Интегралы вида , где m, n – целые неотрицательные четные числа.

Пример 5. Найти интеграл .

Решение:

В данном случае используются формулы понижения степени: , и формула .

3. Интегралы вида , где m+n – целое отрицательное четное число. В этом случае используется подстановка tgx=t.

 

-3-

Интегралы типа , , вычисляются с помощью известных формул тригонометрии.

Пример 5. Найти интеграл .

Решение.

Тема №5. Интегрирование иррациональных функций

Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные функции.

Интегралы типа: , , - называют неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей. Их можно найти следующим образом: под радикалом выделить полный квадрат

и сделать подстановку

При этом первые два интеграла приводятся к табличным, а третий - к сумме двух табличных интегралов.

Пример 1. Найти интегралы

1.

Решение: Выделим полный квадрат под корнем.

Делаем подстановку , ,

.

2.

Решение: Выделим полный квадрат под корнем в знаменателе.

Делаем подстановку , , dx=dt

Интегралы типа рационализируются заменой переменной

Пример 2. Найти

Решение: Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 равно 6, данный интеграл является интегралом типа замена переменной , тогда , , , . Следовательно,

Сделаем замену переменной еще раз

где С₁=С-11

Замечание 1. Многие интегралы можно брать различными методами (например, подстановкой или подведением под знак дифференциала). Интеграл следует брать тем методом, который не создает громоздких вычислений. Рациональный выбор метода интегрирования обусловлен практическим опытом.

Замечание 2. При интегрировании функции различными методами получаются на первый взгляд различные ответы (по форме записи, по виду тригонометрической функции и т.д.). В конечном итоге все эти ответы различаются на постоянную величину, что обусловлено самим понятием неопределенного интеграла, и сводятся друг к другу путем математических преобразований. Данная постоянная величина входит в состав постоянной интегрирования С.

Некоторые интегралы нельзя взять ни одним из рассмотренных методов интегрирования. Это интегралы вида

и другие. Их называют «неберущимися», но они реально существуют, хотя и представляют собой функции другой природы, не приводящиеся к элементарным функциям.