Тема 1. Предел и непрерывность функции.

Высшая математика (часть 1)

(название дисциплины)

Методические указания по выполнению контрольных работ для студентов заочной формы обучения

 

(Приложение к УМК или рабочей программе дисциплины)

 

 

Для специальности или (направления): ___ ___________________________

(шифр) (наименование специальности, направления)

___ ___________________________

(шифр) (наименование специальности, направления)

 

 

Пермь 2016

организационно-методические рекомендации

1. Чтение учебной литературы. Изучая материал по учебнику, следует переходить к следующему вопросу только после правильного понимания предыдущего, проделав на бумаге, все вычисления (в том числе и re,.которые ввиду их простоты в учебнике опущены), воспроизведя имеющиеся в учебнике" чертежи.

При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется выписывать определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т. п. На полях конспекта 'следует отмечать.'вопросы для письменной или устной консультации с преподавателем.

Опыт показывает, что многим студентам помогает составление таблицы, содержащей наиболее часто употребляемые формулы.

Для.облегчения, ориентации в учебной литературе ниже приведено содержание курса, дополненное ссылками на главы учебных •' пособий. Рекомендуем- взять в библиотеке, как минимум, следующий набор учебных пособий: конспект лекций [4] и один из задачников; [5-7].Старое издание {1993} сборника задач [7] не содержит упражнений по темам 3 и 5, а задачник [б] — кратких теоретических справок. Поэтому лучше использовать два задачника: [5] и[6] или [6] и [7].Для более полного усвоения теоретического материала полезно прочесть указанные главы и параграфы -один из учебников [1-3] или [8].

2. Решение задач. Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, указанных ниже в упражнениях хотя бы по одному из задачников [5-7]. Решение задач определенного типа нужно продолжать до приобретения твердых навыков в их решении.

3. Самопроверка. После изучения определенной темы по учебнику и решения достаточного количества соответствующих задач студенту рекомендуется воспроизвести по памяти определения, формулы и формулировки теорем, проверяя себя каждый раз по учебнику и ответить на приведенные вопросы и задачи для самопроверки. В случае необходимости надо еще раз внимательно разобраться в материале; учебника, решить несколько задач.

Иногда недостаточность усвоения того или иного вопроса; выясняется только при изучении дальнейшего материала. В этом случае надо вернуться назад и повторить плохо. усвоенный раздел.

Важным критерием -усвоения теории является умение решать, задачи. на пройденный материал. Другим критерием является понимание сущности теорем, правил и других теоретических положений. Можно сказать, что умение решать, задачи является необходимым, но не достаточным условием хорошего знания теории.

Правила оформления и зачета контрольных работ

1) В процессе изучения высшей математики, студент первого курса должен выполнить: две контрольные работы, задачи первой из которых содержатся и разделе. «Контрольная работа № 1». Не следует приступать к выполнению контрольного задания до решения достаточного количества задач по учебному- • материалу, соответствующему этому заданию. Опыт показывает, что чаше всего неумение решить ту или иную задачу контрольного задания вызывается тем, что студент не выполнил это требование.

2) Контрольные работы должны быть оформлены в соответствии с настоящими правилами. Работы, выполненные без соблюдения этихправил, не засчитываются и возвращаютсястуденту для переработки.

3) Каждую контрольную работу следует выполнить в отдельной тетради, чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента.

4) На обложке тетради должны быть разборчиво написаны фамилия, имя, и отчество студента, факультет {институт}, номер группы, название дисциплины {высшая математика), номер контрольной работы, номер варианта и домашний адрес студента. В конце работы следует поставить датy ее выполнения и расписаться.

5) Номер варианта контрольной работы, которую выполняет студент, должен совпадать с последней цифрой номера его зачетной книжки.

6) Решения задач надо располагать в порядке возрастания номеров. Условия задач следует переписать в тетрадь.

7) При решении задач нужно обосновать каждый этап решения исходя из теоретических положений курса.

ü Решение задач и примеров следует излагать подробно, объясняя все выполненные действия и используемые формулы. Решение каждой задачи должно доводиться до окончательного ответа, которого требует условие. В промежуточные вычисления не следует вводить приближенные значения корней, числа π, е и т. д.

ü Полученный ответ следует проверить способами, вытекающими из существа данной задачи. Так, например, вычислив неопределенный интеграл, нужно проверить, равна ли подынтегральная функция производной от полученной первообразной. Полезно также, если это возможно, решить задачу несколькими способами и сравнить полученные результаты.

8) Срок проверки контрольных работ 10 рабочих дней. Студенты обязаны сдавать письменные контрольные работы не позднее, чем за 10 дней до начала экзаменационной сессии. В противном случае они не будут допущены к зачетам и экзаменам.

9) После получения прорецензированной работы студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты, внести в решения задач рекомендуемые рецензентом изменения или дополнения и прислать работу для повторной проверки. 8 связи с этим рекомендуем при выполнении контрольной работы оставить а конце тетради несколько чистых листов для внесения исправлений и дополнений впоследствии.

ü В случае незачета работы и отсутствия прямого указания рецензента на то, что студент может ограничиться представлением исправленных решений отдельных задач, вся работа должна быть выполнена заново.

ü При представленных на повторную проверку исправлениях обязательно должны находиться прорецензированная работа и рецензия на нее. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.

10) Прорецензированные контрольные работы вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, следует сохранять.

ü На экзамен студент должен явиться с рецензией на выполненную контрольную работу. Без предъявления преподавателю прорецензированных контрольных работ студент к экзамену не допускается.

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА. ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР'

РАЗДЕЛ I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Тема 6. Ряды

§ 1. Числовые ряды. Сходимость ряда. Сумма ряда Свойства рядов. Необходимое условие сходимости ряда. Теорема сравнения. Признаки сходимости Даламбера, Коша.Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.

Литература: [1, гл. 15], [2, гл. XXI, § 1 - 7], [3, гл. XI], [4, § 2.22-2.26, стр. 118-130], [5, гл. XIV, § 1], [7, гл. 8, § 1-3].

Упражнения: [5, упр. 2422-2424,2432, 2433, 2435, 2437], [6, упр. 6.1,6.15-6.18, 6.24,6.39-6.42], [7, гл. 8, упр. 31-34, 43-48].

§ 2. Степенные ряды. Радиус, интервал и область сходимости. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена или Тейлора.

Литература: [1, гл. 16, § 1 -5], [2, гл. XXI, § 8 - 12, 14], [3, гл. XIJ, 65 - 68], [4, § 2.27 - 2.29, стр. 130-137], [5, гл. XIV, §3-4], [7, гл. 8. §4].

Упражнения: [5, упр. 2483 - 2486, 2492. 2), 3)], [6, упр. 6.77-6.80, 6.97, 6.1 Н, 6.1 15, 6.98], [7, гл. 8, упр. 103-106, 1 19-122].

§ 3. Использование рядов для приближенных вычислений.

Литература: [ 1, гл. 16, § 6], [2, гл. XXI, § 13], [3, гл. XII, § 69], [4, § 2.29, стр. 137-139], [5, гл. ХГУ, § 5].

Упражнения: [5, упр. 2512, 2518, 2520], [ 6 упр. 6.125-6.127].

ВОПРОСЫ ДЛЯ СДАЧИ ЭКЗАМЕНА (ЗАЧЕТА)

ТЕМА 1.

1. Сформулируйте определение понятия функции. Что называется областью определения функции? Какие функции называются элементарными? Какой вид имеют графики функций , ?.

Укажите области определения и множества значений этих функций. Какие из этих функций являются чётными?

2. При каких условиях число называется пределом функции при стремлении x к числу 2, к -∞, + ∞? Прочитайте формулы , и объясните их смысл.

5. Пределом какой функции при x→0 является число е? Найдите в учебнике значение числа ее двумя знаками после запятой. Как называется иобозначается логарифм числа x по основанию е? Какому числу равен предел ?

7. Какие правила применяются вычислении пределов суммы, разности и отношения двух функций?

8. Как определяется непрерывность функции в точке a?

ТЕМА 2.

1. Сформулируйте определение производной. Каков геометрический смысл производной?

2. Функция имеет производную в данной точке. Следует ли отсюда, что она непрерывна в этой точке?

3. Сформулируйте теоремы Ролла и Лагранжа. Каков геометрический смысл этих теорем? Сформулируйте теорему Коши.

4. В чем заключается правило Лопиталя? При каких условиях применяется правило Лопиталя? Перечислите различные типы неопределённостей, для раскрытия которых может быть использовано это правило. Приведите примеры.

5. Что называется дифференциалом функции? Приведите примеры.

6. Каковы признак» возрастания и убывания функции?

7. Что такое экстремум функции? Каковы необходимые и достаточные условия экстремума? Приведите примеры.

8. Приведите пример, показывающий, что обращение производнойв нуль не является достаточным условием экстремума.

9. Как найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции? Приведите примеры.

ТЕМА 3.

1. Сформулируйте определение частных производных. •

2. Что называется полным приращением и полным дифференциалом функции двух переменных? Приведите примеры.

3. Каковы достаточные условия минимума (максимума) функции двух переменных. Что такое условный экстремум?

. ТЕМА 4.

1. Сформулируйте определение первообразной функции. Докажите, что любые две первообразные одной и той же функции отличаются на константу.

2. Что называется неопределённым интегралом?

3. Какие правила применяются для вычисления неопределённого интеграла суммы функций, для вычисления ?

4. Выведите формулу интегрирования по частям.

5. Что называется интегральной суммой функции нa отрезке [a',b].Какая фигура называется криволинейной трапецией? По какой формуле вычисляется её площадь?

6. Напишите формулу Ньютона-Лейбница.

7. Какие свойства определённого интеграла Вам известны?

8. В чём состоят определение и геометрический смысл несобственного интеграла с бесконечным пределом интегрирования?

ТЕМА 5.

1. Что называется решением дифференциального уравнения? Что является неизвестной в дифференциальном уравнении? Что называется порядком дифференциального уравнения?

2. Как из общего решения дифференциального уравнения первого (второго) порядка можно получить его частное решение? Каков геометрический смысл начальных условий дифференциальных уравнений первого и второго порядка?

3. В чем заключается смысл теоремы о существовании и единственности решения для дифференциального уравнения первого порядка? Приведите пример дифференциального уравнения первого порядка, графики двух различных решений которого пересекаются в некоторой точке. Выполняются ли в этой точке условия теоремы существования и единственности?

4. При каких условиях дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными?

5. Как решаются линейные дифференциальные уравнения первого порядка?

6. В каких случаях линейное дифференциальное уравнение-второго порядка называется однородным, неоднородным?

7. Напишите характеристический многочлен уравнения у" + Ь∙у' + с∙у = 0. Пусть D- дискриминант характеристического многочлена. Какой вид имеет общее решение этого дифференциального уравнения при D > 0, при D = 0 ипри D < 0?

8. Какова структура общего решети линейного неоднородного дифференциальною уравнения второго порядка спостоянными коэффициентами?

ТЕМА 6.

1. Что называется суммой сходящегося степенного ряда?

2. Почему при исследовании сходимости ряда можно отбрасывать любое конечное число его членов?

3. Можно ли утверждать, что ряд сходится, если предел его общего члена равен нулю?

4. Сформулируйте признак Даламбера и интегральный признак Коши сходимости ряда. Сформулируйте теорему сравнения рядов.

5. Какие знакопеременные ряды называются абсолютно сходящимися и какие - условно сходящимися? Сформулируйте признак Лейбница.

6. Приведите примеры степенных рядов, имеющих нулевой, конечный и бесконечный радиус сходимости.

7. Выпишите разложения в ряд Маклорена функций: , .

Каковы области сходимости получившихся рядов?

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА:

[1]. Карасей А. И., Аксютина 3. М., Савельева Т. И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1. М.: Высшая

школа, 1982.

[2]. Кудрявцев В. А., Демидовым Б. П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1989.

[3]. Маркович Э. С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики. М.: Высшая школа, 1972.

[4]. Высшая и прикладная математика. Конспект лекций. Часть I. Высшая математика. Выпуск 3. Основы математического анализа. М.: МКУ, 1993.

[5]. Минорский В. И. Сборник задач по высшей математике. М: Наука, 1986.

[6]. Зайцев М.В., Лавриненко Т.А. Высшая математика. Сборник задач, часть I. М,: изд. МГУК, 1998.

[7]. Шипачев B.C. Задачник но высшей математике. М.: Высшая школа, 1998.

 

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА.

[8]. Шипачев В. С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 5998.

[9]. Данко П. В., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика вупражнениях и задачах. Ч I, II. М.: Высшая школа, 1980.

[10]. Задачи и упражнения но математическому анализу для втузов. / Под ред. Б. П. Демидовича. М.: Наука, 1979.

[11]. Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М.: Высшая школа, 3966.

[12]. Ильин В. А., Поздняк Э. Г. Основы математического анализа. Т. 1,2,М.: Наука, 1972.

[13]. Высшая математика для экономистов (под ред. проф. Н.М. Кремера). М.: Банки и биржи, издательское объединение ЮНИТИ, 1998.

[14]. ФихтенгольцГ. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Физматгиз, 1962.

КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

В этом параграфе приведён разбор решений задач типового варианта контрольной работы по математическому анализу.

ЗАДАЧА 1. Вычислить пределы функций а) —д):

а) 1. .

► = = .

2. .

► .= = = =0.◄

3. ..

► .= = = =-∞.

б) .

Решение. = = = =

 

= = =

Предел вычислен подстановкой

Предел не может быть вычислен подстановкой , поскольку в результате подстановки получается неопределенность .

в) .

Анализ задачи. Подстановка числа 2 вместо показывает, что пределы числителя и знаменателя равны нулю. Следовательно, нам потребуется раскрыть неопределенность . Для этого можно либо провести тождественные преобразования выражения , либо применить правило Лопиталя.

Решение. Выражение является сопряженным по отношению к выражению , а выражение - по отношению к . Умножая числитель и знаменатель дроби на произведение сопряженных выражений ()·(), и используя формулу разности квадратов , получаем

Другое решение задачи. Воспользуемся правилом Лопиталя

Ответ:

 

Анализ задачи. В данном случае, непосредственное применение те­оремы о пределе частного невозможного, поскольку, как показывает подстановка числа. -3 вместо x и предел числителя и предел знаме­натели равны пулю.

и

Таким образом, рассматриваемый предел представляет собой неопределённость вида и для решения задачи требуется про­вести тождественные преобразования выражения, находящего­ся под знаком предела.

Решение. Разложим числитель и знаменатель на множители, пользуясь следующей теоремой: если — корни квадратного трехчлена , то ,

= Решаем квадратное уравнение, находя его дискриминант D.

Отсюда,

Аналогично,

Поэтому,

Преобразуем выражение находящиеся под знаком предела:

= =

=

Другое решение задачи. Поскольку пределы числителя и знаменателя при

Равны нулю, применимо правило Лопиталя.

	Ответ: 10.

 

д)

Анализ задачи. Подстановка числа 0 вместо x показывает, что пределы числителя и знаменателя при равны нулю. Поэтому, имеет место неопределённость .

Для того, чтобы раскрыть неопределённость можно либо провести тождественные преобразования выражения, либо применить правило Лопиталя.

Решение. Совершим замену неизвестной при этом

Так как при то

Используем теперь тригонометрическую формулу

Другое решение. Воспользуемся вновь правилом Лопиталя

	Ответ:

 

ЗАДАЧА 2. Вычислить производные функций а) – в):

а) Вычислить производную функции

► ◄

б) Вычислить производную функции

1. .

►

◄

в) Вычислить производную функции

.

► .◄

2. .

►

.◄

3.

►

.◄

ЗАДАЧА 3. Исследовать функцию и построить график

Исследовать функцию и построить её график.

►Исследуем данную функцию.

1. Областью определения функции является множество .

2. Ордината точки графика .

3. Точки пересечения графика данной функции с осями координат:

4. Легко находим, что

.

Находим наклонные асимптоты:

Таким образом, существует единственная наклонная асимптота

 

5. Исследуем функцию на возрастание, убывание, ло­кальный экстремум:'

y= 2(х + 3)(x-4)-(x + 3)² _ 2x² – 2x - 24 – х² - 6х - 9 =
(х-4)² (x-4)²

= .

Из у' = 0 следует х^г — 8х — 33 = 0, откуда = 11, х₂₌ — 3. В интервале (—∞; — 3) y'> 0, следовательно, функция возрастает в этом интервале; в (—3; 4) y'<0, т. е. функция убывает. Поэтому функция в точке х = —3 имеет локальный максимум: у(—3) = 0. В интервале (4; 11)

у' < 0, следовательно, функция убывает на этом интер­вале; в (11; +∞) у'>0, т. е. функции возрастает. В точке = 11 имеем локальный минимум: y(ll) =28.

6. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим точки перегиба. Для этого найдем

=

= = .

Очевидно, что в интервале (—∞; 4) y"< 0, и в этом интервале кривая выпукла; в (4; +∞)

у" > 0, т. е. в этом интервале кривая вогнута. Так как при х = 4 функция не определена, то точка перегиба отсутствует.

7. График функции изображен на рис. 0.17

ЗАДАЧА 4. Вычислить неопределенные интегралы а) – в)

а)

1.

► ◄

2.

►

◄

3.

►

.◄

4.

►

.◄

б) .

Решение. Решение данной задачи на формуле интегрирования по частям:

 

В этой формуле принимаем за

По формуле находим производственную второго сомножителя :

Подставляя найденные в формулу интегрирования по частям получаем:

 

 

в) )

Решение. Так как корнями знаменателя является , то по формуле , знаменатель раскладываются на множители

.

Подставим дробь в виде следующей суммы:

,

и найдем коэффициенты А и В. Приведем дроби в правой равенства части к общему знаменателю:

Приравняв числители, получим

(2) .

Подставив в последнее равенство , находим, что

Подставляя в равенство (2), находим, что

Таким образом, .

Итак,

Здесь мы воспользуемся формулой (1)

 

ЗАДАЧА 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций . Изобразите эту фигуру на координатной плоскости.

Решение. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Вычисляем производную функции и находим координаты вершины параболы С:

 

 

 

Рис. к задаче 5

 

Найдем точки пересечения графиков функции: .

Заметим, что Графиком функции является прямая, которую можно построить по двум точкам .

Пусть площадь фигуры , ограниченной графиками функций. Так как

 

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида

(3)

где - заданные функции называются дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Для решения уравнения такого вида необходимо сделать следующее:

1). Разделить переменные, т. е. Преобразовать уравнение к виду

(4) .

2). Проинтегрировать обе части уравнения (4)

(5)

где первообразная функции первообразная функции произвольная постоянная.

3). Разрешить, если это возможно, уравнение (5) относительно y (и найти область определения решения):

4). Добавить к решению (5) все функции вида (горизонтальные прямые), где число

один из корней уравнения

Описанный метод решения можно схематично представить в виде формулы:

ЗАДАЧА 6. Найти общее решение дифференциального уравнения Построить графики двух частных решений этого уравнения.

Решение. 1). Преобразуем уравнение к виду

Равенство (у² + х²) = С показывает, что С > 0. Положим С = ∙ R² , где R> 0 — другая произвольная постоянная. Тогда

у² + х² = R².

3). Разрешим, предыдущее уравнение относительно у и найдём область определения решения:

Рис. к задаче 6.

D(у) = >0. Графики решений — дуги концентрических окружностей произвольного радиуса с центром в на­чале координат (см. рис.).

4). В данном случае, уравнение не имеет решений. Поэтому решений вида

y = а нет.

 

	Ответ:

 

Линейные дифференциальные уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнение вида

(7) у" + by' + су=0,

где b и с — некоторые числа, называется линейным однородным диф­ференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффи­циентами. Общее решение этого уравнения в зависимости от знака дискриминанта

характеристического уравнения

. (8) k ² + bk + c = 0

имеют следующий вид:

A) если D > 0, где k =α, к= β— два различных действительных корня (α≠β) характеристического уравнения (8);

Б) , если D = О,

где α— единственный корень характеристического уравнения;

B) если D < О,

где

Общее решение линейного неоднородного дифференциаль­ного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

(9)

является суммой некоторого его частного решения и общего решения

. однородного уравнения (7), т. е.

Многочлен называют характеристически