Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Методические указания к решению первой↑ ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3 Содержание книги
Поиск на нашем сайте
КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ В этом параграфе приведён разбор решений задач типового варианта контрольной работы по математическому анализу. ЗАДАЧА 1. Вычислить пределы функций а) —д): а) 1. . ► = = . 2. . ► .= = = =0.◄ 3. .. ► .= = = =-∞. б) . Решение. = = = =
= = = Предел вычислен подстановкой в) . Анализ задачи. Подстановка числа 2 вместо показывает, что пределы числителя и знаменателя равны нулю. Следовательно, нам потребуется раскрыть неопределенность . Для этого можно либо провести тождественные преобразования выражения , либо применить правило Лопиталя. Решение. Выражение является сопряженным по отношению к выражению , а выражение - по отношению к . Умножая числитель и знаменатель дроби на произведение сопряженных выражений ()·(), и используя формулу разности квадратов , получаем Другое решение задачи. Воспользуемся правилом Лопиталя
Анализ задачи. В данном случае, непосредственное применение теоремы о пределе частного невозможного, поскольку, как показывает подстановка числа. -3 вместо x и предел числителя и предел знаменатели равны пулю. и Таким образом, рассматриваемый предел представляет собой неопределённость вида и для решения задачи требуется провести тождественные преобразования выражения, находящегося под знаком предела. Решение. Разложим числитель и знаменатель на множители, пользуясь следующей теоремой: если — корни квадратного трехчлена , то , = Решаем квадратное уравнение, находя его дискриминант D. Отсюда, Аналогично, Поэтому, Преобразуем выражение находящиеся под знаком предела: = = = Другое решение задачи. Поскольку пределы числителя и знаменателя при Равны нулю, применимо правило Лопиталя.
д) Анализ задачи. Подстановка числа 0 вместо x показывает, что пределы числителя и знаменателя при равны нулю. Поэтому, имеет место неопределённость . Для того, чтобы раскрыть неопределённость можно либо провести тождественные преобразования выражения, либо применить правило Лопиталя. Решение. Совершим замену неизвестной при этом Так как при то
Используем теперь тригонометрическую формулу
Другое решение. Воспользуемся вновь правилом Лопиталя
ЗАДАЧА 2. Вычислить производные функций а) – в): а) Вычислить производную функции ► ◄ б) Вычислить производную функции 1. . ► ◄ в) Вычислить производную функции . ► .◄ 2. . ► .◄ 3. ► .◄ ЗАДАЧА 3. Исследовать функцию и построить график Исследовать функцию и построить её график. ►Исследуем данную функцию. 1. Областью определения функции является множество . 2. Ордината точки графика . 3. Точки пересечения графика данной функции с осями координат: 4. Легко находим, что . Находим наклонные асимптоты: Таким образом, существует единственная наклонная асимптота
5. Исследуем функцию на возрастание, убывание, локальный экстремум:' y= 2(х + 3)(x-4)-(x + 3)2 _ 2x2 – 2x - 24 – х2 - 6х - 9 = = . Из у' = 0 следует хг — 8х — 33 = 0, откуда = 11, х2= — 3. В интервале (—∞; — 3) y'> 0, следовательно, функция возрастает в этом интервале; в (—3; 4) y'<0, т. е. функция убывает. Поэтому функция в точке х = —3 имеет локальный максимум: у(—3) = 0. В интервале (4; 11) у' < 0, следовательно, функция убывает на этом интервале; в (11; +∞) у'>0, т. е. функции возрастает. В точке = 11 имеем локальный минимум: y(ll) =28. 6. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим точки перегиба. Для этого найдем = = = . Очевидно, что в интервале (—∞; 4) y"< 0, и в этом интервале кривая выпукла; в (4; +∞) у" > 0, т. е. в этом интервале кривая вогнута. Так как при х = 4 функция не определена, то точка перегиба отсутствует. 7. График функции изображен на рис. 0.17 ЗАДАЧА 4. Вычислить неопределенные интегралы а) – в) а) 1. ► ◄ 2. ► ◄ 3. ► .◄ 4. ► .◄ б) . Решение. Решение данной задачи на формуле интегрирования по частям:
В этой формуле принимаем за По формуле находим производственную второго сомножителя : Подставляя найденные в формулу интегрирования по частям получаем:
в) ) Решение. Так как корнями знаменателя является , то по формуле , знаменатель раскладываются на множители . Подставим дробь в виде следующей суммы: , и найдем коэффициенты А и В. Приведем дроби в правой равенства части к общему знаменателю: Приравняв числители, получим (2) . Подставив в последнее равенство , находим, что Подставляя в равенство (2), находим, что Таким образом, . Итак, Здесь мы воспользуемся формулой (1)
ЗАДАЧА 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций . Изобразите эту фигуру на координатной плоскости. Решение. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Вычисляем производную функции и находим координаты вершины параболы С:
Рис. к задаче 5
Найдем точки пересечения графиков функции: . Заметим, что Графиком функции является прямая, которую можно построить по двум точкам . Пусть площадь фигуры , ограниченной графиками функций. Так как
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида (3) где - заданные функции называются дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Для решения уравнения такого вида необходимо сделать следующее: 1). Разделить переменные, т. е. Преобразовать уравнение к виду (4) . 2). Проинтегрировать обе части уравнения (4) (5) где первообразная функции первообразная функции произвольная постоянная. 3). Разрешить, если это возможно, уравнение (5) относительно y (и найти область определения решения): 4). Добавить к решению (5) все функции вида (горизонтальные прямые), где число один из корней уравнения Описанный метод решения можно схематично представить в виде формулы: ЗАДАЧА 6. Найти общее решение дифференциального уравнения Построить графики двух частных решений этого уравнения. Решение. 1). Преобразуем уравнение к виду Равенство (у2 + х2) = С показывает, что С > 0. Положим С = ∙ R2 , где R> 0 — другая произвольная постоянная. Тогда у2 + х2 = R2. 3). Разрешим, предыдущее уравнение относительно у и найдём область определения решения: Рис. к задаче 6. D(у) = >0. Графики решений — дуги концентрических окружностей произвольного радиуса с центром в начале координат (см. рис.). 4). В данном случае, уравнение не имеет решений. Поэтому решений вида y = а нет.
Линейные дифференциальные уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнение вида (7) у" + by' + су=0, где b и с — некоторые числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение этого уравнения в зависимости от знака дискриминанта характеристического уравнения . (8) k 2 + bk + c = 0 имеют следующий вид: A) если D > 0, где k =α, к= β— два различных действительных корня (α≠β) характеристического уравнения (8); Б) , если D = О, где α— единственный корень характеристического уравнения; B) если D < О, где Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (9) является суммой некоторого его частного решения и общего решения . однородного уравнения (7), т. е. Многочлен называют характеристическим многочленом дифференциального уравнения (7). В тех случаях, когда представляет собой многочлен, функцию ,частное решение удаётся найти подбором с помощью следующей таблицы. 1. :
2. если
3.
Задача 7. Найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям у (0) = 1, у' (0) = 2. Решение. 1). Характеристического уравнение: Так как D = — 16, используем формулу В): Общее решение однородного уравнения: 2). Так как правая часть многочлен второй степени, частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде многочлена 2-ой степени с неопределёнными коэффициентами: Подставляя у = в данное в задаче уравнение, получаем: Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, находим:
Отсюда поэтому общее решение неоднородного уравнения имеет вид 3). Находим частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, данным в задаче:
Напомним, что число n! (читается «эн-факториал»)- это произведение всех натуральных чисел от единицы до : != При вычислениях с факториалами представляется важным следующее соображение: и т.д. Признак Даламбера. Если существует предел То числовой ряд сходится при и расходится при ЗАДАЧА 8. Исследовать сходимость ряда
Решение: . Вычисляем предел
Контрольная работа № 1 Формулировки условий задач контрольной работы. [1]. Вычислить предел функции. [2]. Вычислить производную функцию. [3]. Исследовать функцию, построить график. [4]. Вычислить неопределённые интегралы. [5] Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x) и [6]. Найти общее решение дифференциального уравнения и построить графики двух ►Вариант 0◄ 1. а) б) в) г) д) 2. а) ; б) ; в) 3. . 4. а) ; б) ; в) ; 5. . 6. . 7. , . 8. . ►Вариант 1◄ 1. а) б) в) г) д) 2. а) ; б) ; в) 3. . 4. а) ; б) ; в) ;
5. .
6. .
7. , .
8. .
►Вариант 2◄
1. а) б) в) г) д) ; 2. а) ; б) ; в)
3. .
4. а) ; б) ; в) ;
5. .
6. .
7. , .
8. . ►Вариант 3◄ 1. а) б) в) г) д) 2. а) ; б) ; в) 3. . 4. а) ; б) ; в) ;
5. .
6. .
7. , .
8. .
►Вариант 4◄
1. а) б) в) г) д)
2. а) ; б) ; в) 3. .
4. а) ; б) ; в) ;
5. . 6. . 7. , . 8. .
►Вариант 5◄ 1. а) б) в) г) д)
2. а) ; б) ; в)
3. .
4. а) ; б) ; в) ; 5. . 6. . 7. , . 8. . ►Вариант 6◄
1. а) б) в) г) д)
2. а) ; б) ; в)
3. .
4. а) ; б) ; в) ;
5. .
6. .
7. , .
8. . ►Вариант 7◄ 1. а) б) в) г) д) 2. а) ; б) ; в) 3. . 4. а) ; б) ; в) ; 5. . 6. . 7. , . 8. . ►Вариант 8◄
1. а) б) в) г) д) 2. а) ; б) ; в) 3. . 4. а) ; б) ; в) ; 5. . 6. . 7. , . 8. . ►Вариант 9◄
1. а) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Поделиться: |
Познавательные статьи:
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-11; просмотров: 308; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!
infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.221.217.100 (0.009 с.)