Тема 5. Дифференциальные уравнения

§1. Понятие о дифференциальном уравнении. Примеры торгово-экономических задач, приводящие к дифференциальным уравнениям. Порядок дифференциального уравнения. Семейство решений. Теорема существования и единственности решения (без доказательства). Задача Коши. Геометрическое истолкование решения. Общее и частное решение дифференциальногоуравнения.

Уравнения с разделяющимися переменными. Линейное уравнение первого порядка. Возможные случаи понижения порядка дифференциального уравнения (на примере уравнений второго порядка), когда в его записи отсутствуют независимая переменная или искомая функция.

Литература: [1, гл. 13, § 5], [2, гл. XXI, §1-5, 9], [3, гл. XVI, §79], [4, § 2. 14-2:17, стр. 99-108], [5, гл. XII, § 1 -3,7, 10], [7, гл. 14, § 1.1-1.3].

Упражнения: [5, упр. 2051, 2057, 2058, 2061, 2 Н 5, 2116], [6, упр. 5. 14-5.18, 5.21], [7, гл. 6, упр. 1-4, 10-13, 20-23, 43-46].

§ 2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Структура общего решения. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Неоднородные линейные дифференциальные -уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Подбор частных решений при специальном виде правой части.

Литература: [ 1, гл. 14], [2, гл. XXII, § 7, 11 - 13], [3, гл. XVI, §80], [4, § 2.18-2.21, cтp. 108-118], [5, гл. XII, § 8, 9], [7, гл. § 2].

Упражнения: [ 5, упр. 2184-2187, 2213 -2216, 2218], [6, упр. 5.22, 5.23, 5.25, 5.27, 5.29, 533, 5.37-5.39], [7, гл. 6, упр. 78-79, 84-87, 98-101, 104-106].

Тема 6. Ряды

§ 1. Числовые ряды. Сходимость ряда. Сумма ряда Свойства рядов. Необходимое условие сходимости ряда. Теорема сравнения. Признаки сходимости Даламбера, Коша.Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.

Литература: [1, гл. 15], [2, гл. XXI, § 1 - 7], [3, гл. XI], [4, § 2.22-2.26, стр. 118-130], [5, гл. XIV, § 1], [7, гл. 8, § 1-3].

Упражнения: [5, упр. 2422-2424,2432, 2433, 2435, 2437], [6, упр. 6.1,6.15-6.18, 6.24,6.39-6.42], [7, гл. 8, упр. 31-34, 43-48].

§ 2. Степенные ряды. Радиус, интервал и область сходимости. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена или Тейлора.

Литература: [1, гл. 16, § 1 -5], [2, гл. XXI, § 8 - 12, 14], [3, гл. XIJ, 65 - 68], [4, § 2.27 - 2.29, стр. 130-137], [5, гл. XIV, §3-4], [7, гл. 8. §4].

Упражнения: [5, упр. 2483 - 2486, 2492. 2), 3)], [6, упр. 6.77-6.80, 6.97, 6.1 Н, 6.1 15, 6.98], [7, гл. 8, упр. 103-106, 1 19-122].

§ 3. Использование рядов для приближенных вычислений.

Литература: [ 1, гл. 16, § 6], [2, гл. XXI, § 13], [3, гл. XII, § 69], [4, § 2.29, стр. 137-139], [5, гл. ХГУ, § 5].

Упражнения: [5, упр. 2512, 2518, 2520], [ 6 упр. 6.125-6.127].

ВОПРОСЫ ДЛЯ СДАЧИ ЭКЗАМЕНА (ЗАЧЕТА)

ТЕМА 1.

1. Сформулируйте определение понятия функции. Что называется областью определения функции? Какие функции называются элементарными? Какой вид имеют графики функций , ?.

Укажите области определения и множества значений этих функций. Какие из этих функций являются чётными?

2. При каких условиях число называется пределом функции при стремлении x к числу 2, к -∞, + ∞? Прочитайте формулы , и объясните их смысл.

5. Пределом какой функции при x→0 является число е? Найдите в учебнике значение числа ее двумя знаками после запятой. Как называется иобозначается логарифм числа x по основанию е? Какому числу равен предел ?

7. Какие правила применяются вычислении пределов суммы, разности и отношения двух функций?

8. Как определяется непрерывность функции в точке a?

ТЕМА 2.

1. Сформулируйте определение производной. Каков геометрический смысл производной?

2. Функция имеет производную в данной точке. Следует ли отсюда, что она непрерывна в этой точке?

3. Сформулируйте теоремы Ролла и Лагранжа. Каков геометрический смысл этих теорем? Сформулируйте теорему Коши.

4. В чем заключается правило Лопиталя? При каких условиях применяется правило Лопиталя? Перечислите различные типы неопределённостей, для раскрытия которых может быть использовано это правило. Приведите примеры.

5. Что называется дифференциалом функции? Приведите примеры.

6. Каковы признак» возрастания и убывания функции?

7. Что такое экстремум функции? Каковы необходимые и достаточные условия экстремума? Приведите примеры.

8. Приведите пример, показывающий, что обращение производнойв нуль не является достаточным условием экстремума.

9. Как найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции? Приведите примеры.

ТЕМА 3.

1. Сформулируйте определение частных производных. •

2. Что называется полным приращением и полным дифференциалом функции двух переменных? Приведите примеры.

3. Каковы достаточные условия минимума (максимума) функции двух переменных. Что такое условный экстремум?

. ТЕМА 4.

1. Сформулируйте определение первообразной функции. Докажите, что любые две первообразные одной и той же функции отличаются на константу.

2. Что называется неопределённым интегралом?

3. Какие правила применяются для вычисления неопределённого интеграла суммы функций, для вычисления ?

4. Выведите формулу интегрирования по частям.

5. Что называется интегральной суммой функции нa отрезке [a',b].Какая фигура называется криволинейной трапецией? По какой формуле вычисляется её площадь?

6. Напишите формулу Ньютона-Лейбница.

7. Какие свойства определённого интеграла Вам известны?

8. В чём состоят определение и геометрический смысл несобственного интеграла с бесконечным пределом интегрирования?

ТЕМА 5.

1. Что называется решением дифференциального уравнения? Что является неизвестной в дифференциальном уравнении? Что называется порядком дифференциального уравнения?

2. Как из общего решения дифференциального уравнения первого (второго) порядка можно получить его частное решение? Каков геометрический смысл начальных условий дифференциальных уравнений первого и второго порядка?

3. В чем заключается смысл теоремы о существовании и единственности решения для дифференциального уравнения первого порядка? Приведите пример дифференциального уравнения первого порядка, графики двух различных решений которого пересекаются в некоторой точке. Выполняются ли в этой точке условия теоремы существования и единственности?

4. При каких условиях дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными?

5. Как решаются линейные дифференциальные уравнения первого порядка?

6. В каких случаях линейное дифференциальное уравнение-второго порядка называется однородным, неоднородным?

7. Напишите характеристический многочлен уравнения у" + Ь∙у' + с∙у = 0. Пусть D- дискриминант характеристического многочлена. Какой вид имеет общее решение этого дифференциального уравнения при D > 0, при D = 0 ипри D < 0?

8. Какова структура общего решети линейного неоднородного дифференциальною уравнения второго порядка спостоянными коэффициентами?

ТЕМА 6.

1. Что называется суммой сходящегося степенного ряда?

2. Почему при исследовании сходимости ряда можно отбрасывать любое конечное число его членов?

3. Можно ли утверждать, что ряд сходится, если предел его общего члена равен нулю?

4. Сформулируйте признак Даламбера и интегральный признак Коши сходимости ряда. Сформулируйте теорему сравнения рядов.

5. Какие знакопеременные ряды называются абсолютно сходящимися и какие - условно сходящимися? Сформулируйте признак Лейбница.

6. Приведите примеры степенных рядов, имеющих нулевой, конечный и бесконечный радиус сходимости.

7. Выпишите разложения в ряд Маклорена функций: , .

Каковы области сходимости получившихся рядов?

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА:

[1]. Карасей А. И., Аксютина 3. М., Савельева Т. И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1. М.: Высшая

школа, 1982.

[2]. Кудрявцев В. А., Демидовым Б. П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1989.

[3]. Маркович Э. С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики. М.: Высшая школа, 1972.

[4]. Высшая и прикладная математика. Конспект лекций. Часть I. Высшая математика. Выпуск 3. Основы математического анализа. М.: МКУ, 1993.

[5]. Минорский В. И. Сборник задач по высшей математике. М: Наука, 1986.

[6]. Зайцев М.В., Лавриненко Т.А. Высшая математика. Сборник задач, часть I. М,: изд. МГУК, 1998.

[7]. Шипачев B.C. Задачник но высшей математике. М.: Высшая школа, 1998.

 

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА.

[8]. Шипачев В. С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 5998.

[9]. Данко П. В., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика вупражнениях и задачах. Ч I, II. М.: Высшая школа, 1980.

[10]. Задачи и упражнения но математическому анализу для втузов. / Под ред. Б. П. Демидовича. М.: Наука, 1979.

[11]. Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М.: Высшая школа, 3966.

[12]. Ильин В. А., Поздняк Э. Г. Основы математического анализа. Т. 1,2,М.: Наука, 1972.

[13]. Высшая математика для экономистов (под ред. проф. Н.М. Кремера). М.: Банки и биржи, издательское объединение ЮНИТИ, 1998.

[14]. ФихтенгольцГ. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Физматгиз, 1962.