Схема применения определённого интеграла

С хема называется «метод дифференциала» или «метод отбрасывания бесконечно малых высших порядков»:

1) на отрезке [а;b] выбираем произвольное значение х и рассматриваем переменный отрезок [а; х]. На этом отрезке величина А становится функцией х: А = А(х), т. е. считаем, что часть искомой величины А есть неизвестная функция А(х), где х є [a;b] — один из параметров величины А;

2) находим главную часть приращения ΔА при изменении х на малую величину Δх = dx, т. е. находим дифференциал dA функции А = А(х): dA = ƒ(х) dx, где ƒ(х), определяемая из условия задачи, функция переменной х (здесь также возможны различные упрощения);

3) считая, что dA ≈ ΔА при Δх → 0, находим искомую величину путем интегрирования dA в пределах от а до b:

 

БИЛЕТ16

Вычисление площади плоских фигур

Вычисление площадей с помощью интеграла.

1.Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [ a; b ] функции f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b:

2.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x), и прямыми х=а, х= b:

3.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x) и :

4.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x), и осью Ох:

 

БИЛЕТ17

17. Вычисление дуги плоской кривой

Пусть известна функция и требуется найти длину дуги, заданной функцией , где .

 

Для того, чтобы найти длину дуги, нужно вычислить определённый интеграл

 

БИЛЕТ18

18. Вычисление площади поверхности и объёма тела вращения
-Найдем площадь поверхности, которая образуется вращением кривой вокруг оси , где .

Указанную площадь можно получить вычислением определенного интеграла:

-Тело образованно вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, расположенно в верхней полуплоскости и ограниченной осью абсцисс, прямыми и и графиком непрерывной функции .

объем выражается формулой

БИЛЕТ19

Вопрос 19

 

Работа силы F = F (x) по перемещению точки M вдоль оси Ox из положения x = a, до x = b: . (1)	Путь, пройденный телом, с скоростью v (t) за время от t 1 до t 2: . (2)	Давление жидкости на вертикальную пластинку, ограниченную линиями x = a, x = b, y 1= f 1(x), y 2= f 2(x), d жидкость с плотностью r(x): . (3)
Масса стержня, расположенного на отрезке [ a, b ] оси Ox с линейной плотностью r(x) вычисляется по формуле: . (4)	Абсцисса x центра тяжести стержня, расположенного на отрезке [ a, b ] оси Ox с линейной плотностью r(x) вычисляется по формуле: . (5)
Масса дуги кривой y=y(x), проектирующейся на ось Ox в виде отрезка [ a, b ] оси Ox, с линейной плотностью r(x) вычисляется по формуле: . (6)	Абсцисса xc и ордината yc центра тяжести дуги кривой y=y(x), проектирующейся на ось Ox в виде отрезка [ a, b ] оси Ox, с постоянной линейной плотностью r вычисляется по формуле: . (7)

 

 

БИЛЕТ20

Вопрос 20

Суть метода прямоугольников.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Нам требуется вычислить определенный интеграл .

Обратимся к понятию определенного интеграла. Разобьем отрезок [a;b] на n частей точками . Внутри каждого отрезка выберем точку . Так как по определению определенный интеграл есть предел интегральных сумм при бесконечном уменьшении длины элементарного отрезка разбиения , то любая из интегральных сумм является приближенным значением интеграла .

Суть метода прямоугольников заключается в том, что в качестве приближенного значения определенного интеграла берут интегральную сумму (далее мы покажем, какую именно интегральную сумму берут в методе прямоугольников).

 

БИЛЕТ21

Вопрос 21

Формула метода трапеций.

Формула метода Симпсона (парабол) имеет вид
.

Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона).

Красной линией изображен график функции y=f(x), синей линией показано приближение графика функции y=f(x) квадратичными параболами на каждом элементарном отрезке разбиения.

 

 

БИЛЕТ22

Исследование пределов и непрерывности в многомерных пространствах приводит ко многим нелогичным и патологическим результатам, не свойственным функциям одной переменной. Например, существуют скалярные функции двух переменных, имеющих точки в области определения, которые при приближении вдоль произвольной прямой дают специфический предел, и дают другой предел при приближении вдоль параболы. Функция

стремится к нулю по любой прямой, проходящей через начало координат. Однако, когда к началу координат приближаются вдоль параболы , предел = 0.5. Так как пределы по разным траекториям не совпадают, предела не существует.

Функция имеет пределом число A при стремлении переменных , соответственно, к , если для каждого число найдется такое число , что , то есть .

Функция называется непрерывной в точке , если предельное значение этой функции в точке существует и равно частному значению .

Функция называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

 

БИЛЕТ23

Вопрос 23

Частная производная обобщает понятие производной на случай нескольких измерений. Частная производная функции нескольких переменных — это производная относительно одной переменной, все другие переменные при нахождении считаются константами.

Для упрощения ограничимся случаем функций от трех переменных; все дальнейшее, однако, справедливо и для функций любого числа переменных.

Пусть в некоторой области имеем функцию ; возьмем точку в этой области. Если мы будем считать и за постоянные значения и , и будем менять , то будет функцией от одной переменной (в окрестности ); можно поставить вопрос о вычислении ее производной в точке . Придадим этому значению приращение , тогда функция получит приращение , которое можно было бы назвать ее частным приращением (по ), поскольку оно вызвано изменением значения лишь одной переменной. По самому определению производной, она представляет собою предел . Эта производная называется частной производной функции по в точке .

Аналогично определяются и частные производные функции по и в точке . Само вычисление частной производной по существу не представляет ничего нового по сравнению с вычислением обыкновенной производной. Частные производные могут быть объединены интересными способами для создания более сложных выражений производных. В векторном исчислении оператор набла () используется для определения понятий градиента, дивергенции, и ротора с точки зрения частных производных. Матрица частных производных — матрица Якоби — может использоваться для представления производной функции (отображения) между двумя пространствами произвольной размерности. Таким образом производная может быть представлена как линейное преобразование, которое изменяется в зависимости от точки из области определения функции.

Дифференциальные уравнения, содержащие частные производные, называют дифференциальными уравнениями в частных производных или (Д)УЧП. Эти уравнения как правило сложнее для решения чем обычные дифференциальные уравнения, которые содержат производные относительно только одной переменной.

 

БИЛЕТ24

Вопрос 24

Пусть задана функция f(x, y). Тогда каждая из ее частных производных(если они, конечно, существуют) и , которые называются также частными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных x, y и может, следовательно также иметь частные производные. Частная производная обозначается через или , а через или . Таким образом,

,

и, аналогично,

, .

Производные и называются частными производными второго порядка. Определение: Частной производной второго порядка от функции z=f(x;y) дифференцируемой в области D,называется первая производная от соответствующей частной производной. Рассматривая частные производные от них, получим всевозможные частные производные 3 порядка: , , и т. д.

 

 

БИЛЕТ25

25. Дифференцируемость и полный дифференциал функции двух переменных. Теорема о равенстве смешанных производных высших порядков.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Составим полное приращение функции в точке М:

Функция называется дифференцируемой в точке , если её полное приращение в этой точке можно представить в виде

(1)

где и при , . Сумма первых двух слагаемых в равенстве (1) представляет собой главную часть приращения функции..

Главная часть приращения функции , линейная относительно и , называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом :

(2)

Выражения и называют частными дифференциалами. Для независимых переменных х и у полагают и . Поэтому равенство (2) можно переписать в виде

(3)

Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция дифференцируема в точке М(х,у), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные и , причем

Так как функция дифференцируема в точке М, то имеет место равенство (1). Отсюда вытекает, что

Это означает, что функция непрерывна в точке М. Положив в равенстве (1), получим: Отсюда находим Переходя к пределу при , получим т. е. Таким образом, в точке М существует частная производная Аналогично показывается, что в точке М существует частная производная

 

Равенство (1) можно записать в виде

(4)

где при , .

 

Отметим, что обратное утверждение не верно, т. е. из непрерывности функции или существования частных производных не следует дифференцируемость функции. Так, непрерывная функция не дифференцируема в точке (0;0).

Как следствие теоремы получаем формулу для вычисления полного дифференциала. Формула (3) принимает вид:

(5)

или

где – частные дифференциалы функции .

Теорема 2 (достаточное условие дифференцируемости функции).Если функция имеет непрерывные частные производные и в точке М(х, у), то она дифференцируема в этой точке и её полный дифференциал выражается формулой (5).

Отметим, что для функции одной переменной существование производной в точке является необходимым и достаточным условием её дифференцируемости в этой точке.

Чтобы функция была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно, чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.

Арифметические свойства и правила исчисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и для дифференциала функции двух (и большего числа) переменных.

Из определения дифференциала функции следует, что при достаточно малых и имеет место приближенное равенство

(6)

Так как полное приращение равенство (6) можно переписать в следующем виде:

(7)

Формулой (7) пользуются в приближенных расчетах.

Отметим, что с помощью полного дифференциала можно найти: границы абсолютной и относительной погрешностей в приближенных вычислениях; приближенное значение полного приращения функции и т. д.

Теорема: Если в некоторой окрестности точки функция имеет смешанные частные производные и , причём эти смешанные частные производные непрерывны в точке , то они равны в этой точке:

 

БИЛЕТ26

26. Пусть функция зависит от переменной и дифференцируема в точке . Может оказаться, что в точке дифференциал , рассматриваемый как функция от , есть также дифференцируемая функция. Тогда существует дифференциал от дифференциала данной функции, который называется дифференциалом второго порядка функции . Дифференциал второго порядка обозначается следующим образом:

Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков.

Определение: Дифференциалом -го порядка функции называется дифференциал от дифференциала -го порядка этой функции, то есть

Сложная функция – это функция, аргументом которой также является функция.

С нашей точки зрения, это определение наиболее понятно. Условно можно обозначать как f(g(x)). То есть, g(x) как бы аргумент функции f(g(x)).

К примеру, пусть f – функция арктангенса, а g(x) = lnx есть функция натурального логарифма, тогда сложная функция f(g(x)) представляет собой arctg(lnx). Еще пример: f – функция возведения в четвертую степень, а - целая рациональная функция, тогда .

В свою очередь, g(x) также может быть сложной функцией. Например, . Условно такое выражение можно обозначить как . Здесь f – функция синуса, - функция извлечения квадратного корня, - дробная рациональная функция. Логично предположить, что степень вложенности функций может быть любым конечным натуральным числом .

Часто можно слышать, что сложную функцию называют композицией функций.

Формула нахождения производной сложной функции:

 

БИЛЕТ27

27. Пусть имеется поверхность, заданная уравнением . Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную точку , называется касательной плоскостью к поверхности в точке .

 

 

Прямая, проведенная через точку поверхности, перпендикулярно к касательной плоскости называется нормалью к поверхности.

 

 

Если поверхность задана уравнением , то уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке записывается в виде:

а уравнение нормали к поверхности в этой же точке – в виде:

 

БИЛЕТ28

28. Пусть функция F(t) в некоторой окрестности V(t0) имеет производные до (n+1)-го порядка включительно. Тогда справедлива формула Тейлора:

 

(8)

Обозначим t-t0=Δt, F(t)-F(t0)=ΔF(t0),

F'(t0)(t-t0)=F'(t0)Δt=dF(t0),

F''(t0)(t-t0)2=F''(t0)(Δt)2=d2F(t0) и т.д. Геометрический смысл теоремы Ролля Курс лекций по математике

Тогда (8) можно записать в виде

, где 0<θ<1. (9)

В виде (9) формула Тейлора распространяется и на случай функций нескольких переменных.

 

Теорема. Пусть функция z=f(x;y), где х, у – независимые переменные, определена и имеет непрерывные частные производные до (n+1)-го порядка включительно в некоторой окрестности точки М(х0;y0) Vδ(х0;y0). Тогда "Δх, Δу, удовлетворяющих условию , имеет место формула Тейлора:

 

где 0<θ<1. (10)

Доказательство.

Зафиксируем Δх, Δу: , где .

 

Тогда ММ0ÎVδ(х0;y0). Параметрические уравнения отрезка ММ0:

 

(11)

 

Функция на [0;1] становится сложной функцией от переменной t:

 

f(x;y)=f(х0+tΔx;y0+tΔy)=F(t). (12)

 

По условию f(x;y) имеет непрерывные частные производные до (n+1)-го порядка включительно на Vδ(х0;y0). Функции х и у, как линейные, имеют непрерывные производные любого порядка. Поэтому F(t) имеет непрерывные производные до (n+1)-го порядка включительно на [0;1]. Тогда для F(t) на [0;1] справедлива формула Тейлора (9).Положим в ней t0=1, t0+Δt=1, Δt=1:

(13)

Перейдем здесь к f(x;y), используя (12).

 

ΔF(0)=F(1)-F(0)=f(х0+Δx;y0+Δy)-f(х0;y0)=Δf(х0;y0).

 

Форма первого дифференциала инвариантна. Тогда, учитывая (11) при вычислении dx и dy, получим

т.к. dt=Δt=1.

 

Поскольку х=х0+tΔx, y=y0+tΔy – линейные функции, то дифференциалы высших порядков от функции F(t)=f(x;y) обладают свойством инвариантности.. Следовательно, для их вычисления мы можем использовать простейшую форму:

Аналогично, ,…, ,

 

 

Подставляя все выражения в (13), получим (10).

 

Формула Тейлора имеет большое значение при вычислении приращений и значений функции с большой степенью точности.

 

БИЛЕТ29

29. Говорят, что функция имеет максимум в точке , т.е. при , если для всех точек , достаточно близких к точке и отличных от неё.

Говорят, что функция имеет минимум в точке , т.е. при , если для всех точек , достаточно близких к точке и отличных от неё.

Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.

Теорема (необходимое условие экстремума функции двух переменных). Если функция достигает экстремума при , то каждая частная производная первого порядка от или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.

Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть в некоторой области, содержащей точку функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Пусть, кроме того, точка является критической точкой функции , т.е.

тогда при :

1) имеет максимум, если дискриминант и где

2) имеет минимум, если дискриминант и ;

3) не имеет ни минимума, ни максимума, если дискриминант ;

4) если , то экстремум может быть, а может и не быть (требуется дополнительное исследование).

 

БИЛЕТ30

30. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ— математический (математико-статистический) прием, служащий для выравнивания динамических рядов, выявления формы корреляционной связи между случайными величинами и др. Состоит в том, что функция, описывающая данное явление, аппроксимируется более простой функцией. Причем последняя подбирается с таким расчетом, чтобы среднеквадратичное отклонение фактических уровней функции в наблюдаемых точках от выровненных было наименьшим.

Напр., по имеющимся данным (xi,yi) (i = 1, 2,..., n) строится такая кривая y = a + bx, на которой достигается минимум суммы квадратов отклонений

т. е. минимизируется функция, зависящая от двух параметров: a — отрезок на оси ординат и b — наклон прямой.

Уравнения, дающие необходимые условия минимизации функции S(a,b), называются нормальными уравнениями.

В качестве аппроксимирующих функций применяются не только линейная (выравнивание по прямой линии), но и квадратическая, параболическая, экспоненциальная и др.

 

БИЛЕТ37

37 приложения двойного интэграла
1. Вычисление площадей

2. Вычисление объёмов тел

Пусть тело V ограничено (рис. 2.12) сверху — только одной поверхностью
z = z_в(x; y); снизу — только одной поверхностью z = z_н(x; y). Линия L пересечения этих поверхностей проектируется в границу Г области D, на которой заданы непрерывные функции
z = z_в(x; y), z = z_н(x; y).

При этих условиях:

Доказательство формулы (2.17) легко провести на основе геометрического смысла двойного интеграла.