Центр масс и моменты инерции кривой

Пусть снова кусок проволоки описывается некоторой кривой C, а распределение массы вдоль кривой задано непрерывной функцией плотности ρ (x,y,z). Тогда координаты центра масс кривой определяются формулами

где

− так называемые моменты первого порядка.

Моменты инерции относительно осей Ox, Oy и Oz определяются формулами

Работа поля

Работа при перемещении тела в силовом поле вдоль кривой C выражается через криволинейный интеграл второго рода

где − сила, действующая на тело, − единичный касательный вектор (рисунок 1). Обозначение означает скалярное произведение векторов и .

Заметим, что силовое поле не обязательно является причиной движения тела. Тело может двигаться под действием другой силы. В таком случае работа силы иногда может оказаться отрицательной.

Если векторное поля задано в координатной форме в виде

то работа поля вычисляется по формуле

В частном случае, когда тело двигается вдоль плоской кривой C в плоскости O xy, справедлива формула

где .

Если траектория движения C определена через параметр t (t часто означает время), то формула для вычисления работы принимает вид

где t изменяется в интервале от α до β.

Если векторное поле потенциально, то работа по перемещению тела из точки A в точку B выражается формулой

где − потенциал поля.

Рис.1		Рис.2

Закон Ампера

Криволинейный интеграл от магнитного поля с индукцией вдоль замкнутого контура C пропорционален полному току, протекающему через область, ограниченную контуром C (рисунок 2). Это выражается формулой

где - магнитная проницаемость ваккуума, равная Н/м.

Закон Фарадея

Электродвижущая сила ε, наведенная в замкнутом контуре C, равна скорости изменения магнитного потока ψ, проходящего через данный контур (рисунок 3).

 

БИЛЕТ51.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число называется пределом интегральных сумм при (обозначают ), если для любого существует такое, что для любого разбиения поверхности у которого , при любом выборе точек выполняется неравенство .

Если существует конечный предел интегральных сумм при , то его называют поверхностным интегралом I рода (по площади поверхности) от функции по поверхности .

Поверхностный интеграл I рода от функции по поверхности обозначают

( называют подынтегральной функцией, – областью интегрирования, – переменные интегрирования, – дифференциал площади поверхности).

Если существует , то функция называется интегрируемой по поверхности .

Достаточное условие существования поверхностного интеграла I рода будет сформулировано позже, когда покажем способ его вычисления.

Определение поверхностного интеграла I рода по структуре такое же, как и определение определенного интеграла. Поэтому поверхностный интеграл I рода обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл. Приведем эти свойства без доказательства.

СВОЙСТВА ПОВЕРХНОСТНОГО ИНТЕГРАЛА I РОДА

1. , где – площадь поверхности .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак поверхностного интеграла I рода, т.е. .

3. Поверхностный интеграла I рода от алгебраической суммы двух (конечного числа) функций равен алгебраической сумме поверхностных интегралов I рода от этих функций, т.е.

.

4. Если поверхность разбита на две части и , не имеющие общих внутренних точек, то

(свойство аддитивности поверхностного интеграла I рода).

5. Если всюду на поверхности функция ( ), то .

6. Если всюду на поверхности

( ),

то .

7. (следствие свойств 6 и 1) Если и – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на поверхности , то

,

где – площадь поверхности .

8. (теорема о среднем для поверхностного интеграла I рода) Если функция непрерывна на поверхности [1], то найдется такая точка , что справедливо равенство

,

где – площадь поверхности .

 

 

БИЛЕТ52

Рассмотрим скалярную функцию и поверхность S. Пусть S задана векторной функцией

где координаты (u,v) изменяются в пределах некоторой области определения в плоскости uv. Заметим, что функция рассматривается только в точках, принадлежащих поверхности S, то есть

Поверхностный интеграл первого рода от функции по поверхности S определяется следующим образом:

где частные производные и равны

а означает векторное произведение. Вектор перпендикулярен поверхности в точке .

Абсолютное значение называется элементом площади: оно соответствует изменению площади dS в результате приращения координат u и v на малые значения du и dv (рисунок 1).

Рис.1		Рис.2

Площадь поверхности S выражается с помощью поверхностного интеграла в виде

Если поверхность S задана уравнением , где z (x,y) − дифференцируемая функция в области D (x,y), то поверхностный интеграл находится по формуле

Если поверхность S состоит из нескольких частей S_i, то для вычисления поверхностного интеграла можно использовать свойство аддитивности:

Пример 1

Вычислить поверхностный интеграл , где S − часть плоскости , лежащая в первом октанте (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0). Решение. Запишем уравнение плоскости в виде Найдем частные производные Применяя формулу поверхностный интеграл можно выразить через двойной интеграл: Область интегрирования D представляет собой треугольник, показанный выше на рисунке 2. Вычисляем окончательно заданный интеграл:   БИЛЕТ53. Поверхностные интегралы применяются во многих прикладных расчетах. В частности, с их помощью вычисляются · Масса оболочки; · Центр масс и моменты инерции оболочки; · Сила притяжения и сила давления; · Поток жидкости и вещества через поверхность; · Электрический заряд, распределенный по поверхности; · Электрические поля (теорема Гаусса в электростатике). Масса оболочки Пусть S представляет собой тонкую гладкую оболочку. Распределение массы оболочки описывается функцией плотности . Тогда полная масса оболочки выражается через поверхностный интеграл первого рода по формуле Центр масс и моменты инерции оболочки Пусть распределение массы m в тонкой оболочке описывается непрерывной функцией плотности . Координаты центра масс оболочки определяются формулами где − так называемые моменты первого порядка относительно координатных плоскостей x = 0, y = 0 и z = 0, соответственно. Моменты инерции оболочки относительно осей Ox, Oy, Oz выражаются, соответственно, формулами Моменты инерции оболочки относительно плоскостей xy, yz, xz определяются формулами Сила притяжения поверхности Пусть задана поверхность S, а в точке (x 0, y 0, z 0), не принадлежащей поверхности, находится тело массой m (рисунок 1).   Рис.1   Рис.2 Сила притяжения между поверхностью S и точечным телом m определяется выражением где , G - гравитационная постоянная, − функция плотности.

Сила давления

Предположим, что поверхность S задана вектором и находится под воздействием некоторой силы давления (это может быть плотина, крыло самолета, стенка баллона со сжатым газом и т.д.). Полная сила , созданная давлением , находится с помощью поверхностного интеграла по формуле

Давление, по определению, действует в направлении вектора нормали к поверхности S в каждой точке. Поэтому, мы можем записать

где − единичный нормальный вектор к поверхности S.