![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Центр тяжести плоской фигурыЕсли БИЛЕТ38 38 тройной интэграл основные определения и свойства Определение. Пусть Как и в случае двойного интеграла, выполняются аналогичные свойства 1-6. Можно доказать, что если Вычисление тройного интеграла производится по следующему правилу. Теорема. Пусть Замечание. Если область Сформулируем общую теорему о замене переменных. Теорема. Пусть отображение БИЛЕТ39 39 вычисление тройного интэграла в декартовых координатах Рассмотрим случай, когда область интегрирования U является элементарной относительно оси Oz, т.е. любая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области U не более, чем в двух точках. Пусть областьU ограничена снизу поверхностью z = z1(x,y), а сверху - поверхностью z = z2(x,y) (рисунок 1). Проекцией телаU на плоскость Oxy является область D (рисунок 2). Будем предполагать, что функции z1(x,y) и z2(x,y)непрерывны в области D.
Тогда для любой непрерывной в области U функции f (x,y,z) можно записать соотношение Таким образом, вычисление тройного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла, в котором подынтегральной функцией является однократный интеграл. В рассмотренном случае сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной z, а затем - двойной интеграл в области D по переменным x и y. Если область D(x,y) является областью типа I (смотрите Повторные интегралы), т.е. ограничена линиями где f1(x), f2(x) - непрерывные функции в интервале [a,b] и f1(x) ≤ f2(x), то, записывая двойной интеграл в виде повторного, получаем В другом случае, когда область D(x,y) относится к типу II (является элементарной относительно оси Ox) и ограничена линиями где φ1(y), φ2(y) - непрерывные на отрезке [c,d] функции, причем φ1(y) ≤ φ2(y), тройной интеграл представляется в виде Формулы (1) и (2) называются формулами сведения тройного интеграла к повторному. В частном случае, когда область интегрирования U представляет собой прямоугольный параллелепипед Если исходная область интегрирования U более сложная, чем рассмотренная выше, то ее нужно разбить на конечное число более простых областей, в которых уже можно вычислить тройные интегралы методом сведения к повторным. БИЛЕТ40 40 замена переменных в тройном интэграле.цилиндрические координаты Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U: Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах u, v, w. Взаимосвязь старых и новых координат описывается соотношениями: Предполагается, что выполнены следующие условия: 1. Функции φ, ψ, χ непрерывны вместе со своими частными производными;
2. Существует взаимно-однозначное соответствие между точками области интегрирования U в пространстве xyz и точками области U' в пространстве uvw;
3. Якобиан преобразования I (u,v,w), равный отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования U. Тогда формула замены переменных в тройном интеграле записывается в виде: В приведенном выражении Для вычисления тройных интегралов часто используются цилиндрические и сферические координаты. Эти случаи рассматриваются подробно на страницах
· В цилиндрических координатах положение точки M(x,y,z) в пространстве Oxyz определяется тремя числами −ρ, φ, z , где ρ − длина радиуса-вектора проекции точки M на плоскость Oxy, φ − угол, образованный этим радиусом-вектором с осью Ox (рисунок 1), z − проекция на ось Oz (ее значение одинаково в декартовых и цилиндрических координатах).
· Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями · · Здесь предполагается, что · · Якобиан перехода от декартовых координат к цилиндрическим равен · · Тогда формула замены переменных при данном преобразовании имеет вид: · · Переход к цилиндрическим координатам упрощает вычисление тройного интеграла в случаях, когда область интегрирования образована цилиндрической поверхностью. БИЛЕТ41 41 замена переменных в тройном интэграле .сферические координаты ρ − длина радиуса-вектора точки M;
Обратите внимание, что определения ρ, φ в сферических и цилиндрических координатах отличаются друг от друга. Сферические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями Якобиан перехода от декартовых координат к сферическим имеет вид: Раскладывая определитель по второму столбцу, получаем Соответственно, абсолютное значение якобиана равно Следовательно, формула замены переменных при преобразовании декартовых координат в сферические имеет вид: Тройной интеграл удобнее вычислять в сферических координатах, когда область интегрирования Uпредставляет собой шар (или некоторую его часть) и/или когда подынтегральное выражение имеет видf (x2 + y2 + z2). Иногда выгодно использовать т.н. обощенные сферические координаты, связанные с декартовыми формулами В этом случае якобиан равен
БИЛЕТ42 42 приложения тройного интэграла 2. Вычисление массы тела переменной плотности γ (x; y; z): 3. Координаты центра тяжести тела с постоянной плотностью: 4. Координаты центра тяжести тела с переменной плотностью γ (x; y; z):
БИЛЕТ49 Пусть в области D заданы непрерывные функции P(x,y) и Q(х,y) и M0M - гладкая дуга, лежащая в области D. Рассмотрим вопрос о независимости интеграла от формы пути интегрирования. Имеет место следующая теорема. Теорема 3.3. Пусть функции P, Q, P'y, Q'x определены и непрерывны в односвязной, ограниченной замкнутой области D плоскости Оху. Тогда следующие четыре условия равносильны между собой: , где L - замкнутый контур в области D; 2) интеграл не зависит от формы пути интегрирования, а зависит лишь от положения точек M0 и М; в каждой точке области D. Идея доказательства этой теоремы: показывается, что из условия 1 Пример 3.7. Вычислить , где контур L не охватывает начало координат. Решение т. е. выполнено условие 4 теоремы. Значит выполнено и условие 1, т. е. где L – любой контур, не охватывающий начало координат, так как в точке О(0,0) нарушаются условия теоремы, и её выводы в этом случае было бы нельзя применить. БИЛЕТ50. С помощью криволинейных интегралов вычисляются · Масса кривой; · Центр масс и моменты инерции кривой; · Работа при перемещении тела в силовом поле; · Магнитное поле вокруг проводника с током (Закон Ампера); · Электромагнитная индукция в замкнутом контуре при изменении магнитного потока (Закон Фарадея). Рассмотрим эти приложения более подробно с примерами. Масса кривой Предположим, что кусок проволоки описывается некоторой пространственной кривой C. Пусть масса распределена вдоль этой кривой с плотностью ρ (x,y,z). Тогда общая масса кривой выражается через криволинейный интеграл первого рода Если кривая C задана в параметрическом виде с помощью векторной функции В случае плоской кривой, заданной в плоскости Oxy, масса определяется как или в параметрической форме
|
||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-06; просмотров: 523; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.236.209.138 (0.005 с.) |