Центр тяжести плоской фигуры

Если , то координаты х_c и у_c центра С находятся так:

БИЛЕТ38

38 тройной интэграл основные определения и свойства
Рассмотрим кубируемую область в трехмерном пространстве . Разбиение на части осуществляется непрерывными поверхностями. Диаметр разбиения определяется аналогично двумерному случаю. Также, по аналогии, можно определить для функции , разбиения области и выбранных точек интегральную сумму , где обозначает объем области .

Определение. Пусть такое число, что . Тогда мы говорим, что интегрируема на , число есть интеграл по области и обозначаем это так: .

Как и в случае двойного интеграла, выполняются аналогичные свойства 1-6. Можно доказать, что если непрерывна на , то она интегрируема на . Точно также можно убедиться в том, что если точки разрыва лежат на конечном числе непрерывных поверхностей, лежащих в и разбивающих на кубируемые области, то интегрируема на .

Вычисление тройного интеграла производится по следующему правилу.

Теорема. Пусть задана следующими неравенствами: , . - квадрируемая область на плоскости, - непрерывные. Тогда

Замечание. Если область задана неравенствами , где - непрерывные функции, то

Сформулируем общую теорему о замене переменных.

Теорема. Пусть отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между областями и , причем функции - непрерывно дифференцируемые и ни в одной точке . Пусть - непрерывная на функция. Тогда

БИЛЕТ39

39 вычисление тройного интэграла в декартовых координатах
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

Рассмотрим случай, когда область интегрирования U является элементарной относительно оси O z, т.е. любая прямая, параллельная оси O z, пересекает границу области U не более, чем в двух точках. Пусть область U ограничена снизу поверхностью z = z ₁(x,y), а сверху - поверхностью z = z ₂(x,y) (рисунок 1). Проекцией тела U на плоскость O xy является область D (рисунок 2). Будем предполагать, что функции z ₁(x,y) и z ₂(x,y)непрерывны в области D.

Рис.1		Рис.2

Тогда для любой непрерывной в области U функции f (x,y,z) можно записать соотношение

Таким образом, вычисление тройного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла, в котором подынтегральной функцией является однократный интеграл. В рассмотренном случае сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной z, а затем - двойной интеграл в области D по переменным x и y.

Если область D (x,y) является областью типа I (смотрите Повторные интегралы), т.е. ограничена линиями

где f ₁(x), f ₂(x) - непрерывные функции в интервале [ a,b ] и f ₁(x) ≤ f ₂(x), то, записывая двойной интеграл в виде повторного, получаем

В другом случае, когда область D (x,y) относится к типу II (является элементарной относительно оси O x) и ограничена линиями

где φ ₁(y), φ ₂(y) - непрерывные на отрезке [ c,d ] функции, причем φ ₁(y) ≤ φ ₂(y), тройной интеграл представляется в виде

Формулы (1) и (2) называются формулами сведения тройного интеграла к повторному.

В частном случае, когда область интегрирования U представляет собой прямоугольный параллелепипед , тройной интеграл вычисляется по формуле

Если исходная область интегрирования U более сложная, чем рассмотренная выше, то ее нужно разбить на конечное число более простых областей, в которых уже можно вычислить тройные интегралы методом сведения к повторным.

БИЛЕТ40

40 замена переменных в тройном интэграле.цилиндрические координаты

При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение.

Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U:

Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах u, v, w. Взаимосвязь старых и новых координат описывается соотношениями:

Предполагается, что выполнены следующие условия:

1. Функции φ, ψ, χ непрерывны вместе со своими частными производными;

 

2. Существует взаимно-однозначное соответствие между точками области интегрирования U в пространстве xyz и точками области U' в пространстве uvw;

 

3. Якобиан преобразования I (u,v,w), равный

отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования U.

Тогда формула замены переменных в тройном интеграле записывается в виде:

В приведенном выражении означает абсолютное значение якобиана.

Для вычисления тройных интегралов часто используются цилиндрические и сферические координаты. Эти случаи рассматриваются подробно на страницах

• Тройные интегралы в цилиндрических координатах
• Тройные интегралы в сферических координатах

· В цилиндрических координатах положение точки M (x,y,z) в пространстве Oxyz определяется тремя числами − ρ, φ, z, где ρ − длина радиуса-вектора проекции точки M на плоскость Oxy, φ − угол, образованный этим радиусом-вектором с осью Ox (рисунок 1), z − проекция на ось Oz (ее значение одинаково в декартовых и цилиндрических координатах).

Рис.1

· Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями

·

· Здесь предполагается, что

·

· Якобиан перехода от декартовых координат к цилиндрическим равен

·

· Тогда формула замены переменных при данном преобразовании имеет вид:

·

· Переход к цилиндрическим координатам упрощает вычисление тройного интеграла в случаях, когда область интегрирования образована цилиндрической поверхностью.

БИЛЕТ41

41 замена переменных в тройном интэграле.сферические координаты
Сферическими координатами точки M (x,y,z) называются три числа − ρ, φ, θ, где

ρ − длина радиуса-вектора точки M;
φ − угол, образованный проекцией радиуса-вектора на плоскость Oxy и осью Ox;
θ − угол отклонения радиуса-вектора от положительного направления оси Oz (рисунок 1).

Рис.1

Обратите внимание, что определения ρ, φ в сферических и цилиндрических координатах отличаются друг от друга.

Сферические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями

Якобиан перехода от декартовых координат к сферическим имеет вид:

Раскладывая определитель по второму столбцу, получаем

Соответственно, абсолютное значение якобиана равно

Следовательно, формула замены переменных при преобразовании декартовых координат в сферические имеет вид:

Тройной интеграл удобнее вычислять в сферических координатах, когда область интегрирования U представляет собой шар (или некоторую его часть) и/или когда подынтегральное выражение имеет вид f (x ² + y ² + z ²).

Иногда выгодно использовать т.н. обощенные сферические координаты, связанные с декартовыми формулами

В этом случае якобиан равен

 

 

БИЛЕТ42

42 приложения тройного интэграла
. Вычисление объёма тела:

2. Вычисление массы тела переменной плотности γ (x; y; z):

3. Координаты центра тяжести тела с постоянной плотностью:

4. Координаты центра тяжести тела с переменной плотностью γ (x; y; z):

 

БИЛЕТ49

Пусть в области D заданы непрерывные функции P(x,y) и Q(х,y) и M₀M - гладкая дуга, лежащая в области D.

Рассмотрим вопрос о независимости интеграла

от формы пути интегрирования. Имеет место следующая теорема.

Теорема 3.3. Пусть функции P, Q, P'_y, Q'_x определены и непрерывны в односвязной, ограниченной замкнутой области D плоскости Оху. Тогда следующие четыре условия равносильны между собой:
1)

, где L - замкнутый контур в области D; 2) интеграл

не зависит от формы пути интегрирования, а зависит лишь от положения точек M₀ и М;
3) Pdx + Qdy = dU - полный дифференциал некоторой функции U(x,y); 4)

в каждой точке области D.

Идея доказательства этой теоремы: показывается, что из условия 1 условие 2 условие 3 условие 4 условие 1.

Пример 3.7. Вычислить

, где контур L не охватывает начало координат.

Решение

т. е. выполнено условие 4 теоремы. Значит выполнено и условие 1, т. е.

где L – любой контур, не охватывающий начало координат, так как в точке О(0,0) нарушаются условия теоремы, и её выводы в этом случае было бы нельзя применить.

БИЛЕТ50.

С помощью криволинейных интегралов вычисляются

· Масса кривой;

· Центр масс и моменты инерции кривой;

· Работа при перемещении тела в силовом поле;

· Магнитное поле вокруг проводника с током (Закон Ампера);

· Электромагнитная индукция в замкнутом контуре при изменении магнитного потока (Закон Фарадея).

Рассмотрим эти приложения более подробно с примерами.

Масса кривой

Предположим, что кусок проволоки описывается некоторой пространственной кривой C. Пусть масса распределена вдоль этой кривой с плотностью ρ (x,y,z). Тогда общая масса кривой выражается через криволинейный интеграл первого рода

Если кривая C задана в параметрическом виде с помощью векторной функции , то ее масса описывается формулой

В случае плоской кривой, заданной в плоскости O xy, масса определяется как

или в параметрической форме