Комплексные числа. Свойства. Формы записи.

БИЛЕТ1

Комплексные числа. Свойства. Формы записи.

Комплексным числом называется выражение вида , где — действительные числа ; — число, квадрат которого равен минус единице ; число обозначается .

Свойства комплексных чисел:

1) комплексные числа коммутативны по сложению и по умножению.

2) комплексные числа ассоциативны по сложению и по умножению.

3) комплексные числа дистрибутивны.

Для комплексных чисел операция деления определена как операция обратная операции умножения. Если , то z является решением уравнения . Решим это уравнение, домножив левую и правую часть на и разделив обе части на квадрат модуля. Получим, что

Формы записи:

Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи.

Алгебраическая форма - это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число z, заданное парой вещественных чисел (x, y), записывается в виде

z = x + i y.

(1)

где использован символ i, называемый мнимой единицей.
Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Re z.
Число y называют мнимой частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Im z.

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Из формулы вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде

z = r (cos φ + i sin φ),

(5)

где r и φ - модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству
r > 0.

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

Формула Эйлера: cos φ + i sin φ = e ^{i φ}.

Из формулы Эйлера и тригонометрической формы записи комплексного числа вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число
z = x + i y может быть записано в виде

z = r e ^i ^φ,

(7)

где r и φ - модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству
r > 0.

БИЛЕТ 2.

Интегрирование простейших рациональных функций

Для интегрирования рациональной функции , где P (x) и Q (x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов:

 

1)Если дробь неправильная (т.е. степень P (x) больше степени Q (x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;
2)Разложить знаменатель Q (x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;
3)Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;

 

4)Вычислить интегралы от простейших дробей.

Рассмотрим указанные шаги более подробно.

 

Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби

Если дробь неправильная (т.е. степень числителя P (x) больше степени знаменателя Q (x)), разделим многочлен P (x) на Q (x). Получим следующее выражение:

где - правильная рациональная дробь.

 

Шаг 2. Разложение знаменателя на простейшие дроби

Запишем многочлен знаменателя Q (x) в виде

где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней.

 

Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Запишем рациональную функцию в следующем виде:

Общее число неопределенных коэффициентов A_i, B_i, K_i, L_i, M_i, N_i,... должно быть равно степени знаменателя Q (x).

Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель Q (x) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x. В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов A_i, B_i, K_i, L_i, M_i, N_i,.... Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов.

 

Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей.

Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул:

1)

2)

 

У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат:

где Затем применяются следующие формулы:

3)

4)

5)

Интеграл может быть вычислен за k шагов с помощью формулы редукции

6.

 

БИЛЕТ 3

БИЛЕТ4

БИЛЕТ5

5. Интегрирование иррациональных функций

Пусть — рациональная функция от и , т. е. функция, получаемая из и чисел с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, умножения и деления). Примерами таких функций могут служить

 

Если заменить в переменную выражением , то получим функцию от одной переменной . Интеграл от нее имеет вид:

 

 

Этот интеграл рационализируется с помощью подстановки

 

 

В самом деле, так как подкоренное выражение представляет собой дробно-линейную относительно функцию, то переменная рационально выражается через переменную

 

 

Тогда — рациональная функция. Заменяя теперь переменную в данном интеграле, получим интеграл от рациональной функции новой переменной

 

 

Замечание. Если под знаком интеграла содержатся корни с разными показателями, но с одним и тем же дробно-линейным относительно х подкоренным выражением, то сначала следует привести их к одному показателю, после чего использовать указанный прием.

 

БИЛЕТ6

6. Интегрирование диф. бинома (теорема Чебышёва)

Дифференциальным биномом называют выражение вида

где a и b — любые константы, а показатели степеней m, n и p — рациональные числа. Изучим вопрос об интегрируемости в элементарных функциях дифференциальных биномов.
Рассмотрим три случая, когда интеграл от дифференциального бинома допускает рационализирующую подстановку.
1. Первый случай соответствует целому p. Дифференциальный бином представляет собой дробно-линейную иррациональность вида , где r — наименьшее общее кратное знаменателей рациональных чисел m и n. Стало быть, интеграл от дифференциального бинома в этом случае рационализируется подстановкой .
2.Второму случаю соответствует целое число . Сделаем подстановку
и положим для краткости , получим

Подынтегральная функция в правой части является дробно-линейной иррациональностью следующего вида вида , где s — знаменатель рационального числа p.
Таким образом, для второго случая дифференциальный бином рационализируется подстановкой

3. Третьему случаю соответствует целому число . Подынтегральная функция в правой части является дробно-линиейной иррациональностью вида , так что интеграл от дифференциального бинома рационализируется подстановкой вида

 

БИЛЕТ7

7.Специальные функции- функции которые выражаются через элементарные функции, представляются в виде рядов или интегралов. Интеграл неберущийся –если подынтегральная функция не является элементарной. Эти интегралы не выражают через элементарные функции, поэтому для них вычисляют вероятности для нормальной распределенной случайной величины этой функции. 3 метода вычислений:1приближенный метод Симсона 2.разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена 3.с помощью таблицы значений функций Лапласа

Примеры: 1. 2. 3. 4.

 

БИЛЕТ8

8. Пусть функция у=ƒ(х) определена на отрезке [а; b], а < b. Выполним следующие действия.

1. С помощью точек х₀=а, x_1, х_2,..., х_n = В (х₀ <x₁ <...< х_n) разобьем отрезок [а, b] на n частичных отрезков [х₀;х₁], [x₁; х₂],..., [х_n-1,х_n] (см. рис. 167).

2. В каждом частичном отрезке [x_i-1;x_i], i = 1,2,...,n выберем произвольную точку с_i є [x_i-1; x_i] и вычислим значение функции в ней, т. е. величину ƒ(с_i).

3. Умножим найденное значение функции ƒ (с_i) на длину ∆x_i=x_i-x_i-1 соответствующего частичного отрезка: ƒ (с_i) • ∆х_i.

4. Составим сумму S_n всех таких произведений:

Сумма вида (35.1) называется интегральной суммой функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b]. Обозначим черезλ длину наибольшего частичного отрезка: λ = max ∆x_i(i = 1,2,..., n).

БИЛЕТ9

9. Физический смысл:

1) если задана скорость как функция от времени, то путь за время Т равен интегралу от скорости по времени;

2) если задано ускорение как функция от времени, то изменение скорости равно интегралу от ускорения по времени;

Геометрический смысл: если функция y(x) больше нуля на промежутке [a;b], то площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью ОХ и двумя прямыми х=а и х=b, равна интегралу от этой функции по переменной х на данном промежутке.

БИЛЕТ10

10. Формула Ньютона-Лейбница - даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.

 

Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], F - первообразная для f(x). Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f(x), вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F(b) – F(a).

БИЛЕТ11

Замена переменной в определенном интеграле

Теорема. Пусть дан интеграл , где непрерывна на . Введем новую переменную , связанную с равенством . Если 1) 2) и непрерывны на , 3) при изменении z от α до β значения не выходят за пределы отрезка то (5) Доказательство. Пусть –первообразная для функции , то есть . Тогда по формуле Ньютона–Лейбница (I) Покажем, что функция является первообразной для функции : =[по правилу дифференцирования сложной функции] = Тогда по формуле Ньютона–Лейбница (II) Сравнивая равенства (I) и (II), убеждаемся в справедливости формулы (5). Пример. при x =0 при x = ln 2 =

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле выводится так же, как и для неопределенного интеграла, и имеет вид Пример.

БИЛЕТ12

12. Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий.

· Область интегрирования является бесконечной. Например, является бесконечным интервалом .

· Функция f(x) неограничена в области интегрирования.

Если интервал [a,b] конечный, и функция интегрируема по Риману, то значение несобственного интеграла совпадает с значением определённого интеграла.

Несобственные интегралы I рода

Пусть определена и непрерывна на множестве от и . Тогда:

1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае называется сходящимся.

2. Если не существует конечного ( или ), то интеграл называется расходящимся к , или просто расходящимся.

Пусть определена и непрерывна на множестве от и . Тогда:

1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае называется сходящимся.

2. Если не существует конечного ( или ), то интеграл называется расходящимся к , или просто расходящимся.

Если функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:

, где с — произвольное число.

Примеры

 

 

 

БИЛЕТ13

БИЛЕТ15

БИЛЕТ16

БИЛЕТ17

17. Вычисление дуги плоской кривой

Пусть известна функция и требуется найти длину дуги, заданной функцией , где .

 

БИЛЕТ18

18. Вычисление площади поверхности и объёма тела вращения
-Найдем площадь поверхности, которая образуется вращением кривой вокруг оси , где .

Указанную площадь можно получить вычислением определенного интеграла:

-Тело образованно вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, расположенно в верхней полуплоскости и ограниченной осью абсцисс, прямыми и и графиком непрерывной функции .

объем выражается формулой

БИЛЕТ19

Вопрос 19

 

Работа силы F = F (x) по перемещению точки M вдоль оси Ox из положения x = a, до x = b: . (1)	Путь, пройденный телом, с скоростью v (t) за время от t 1 до t 2: . (2)	Давление жидкости на вертикальную пластинку, ограниченную линиями x = a, x = b, y 1= f 1(x), y 2= f 2(x), d жидкость с плотностью r(x): . (3)
Масса стержня, расположенного на отрезке [ a, b ] оси Ox с линейной плотностью r(x) вычисляется по формуле: . (4)	Абсцисса x центра тяжести стержня, расположенного на отрезке [ a, b ] оси Ox с линейной плотностью r(x) вычисляется по формуле: . (5)
Масса дуги кривой y=y(x), проектирующейся на ось Ox в виде отрезка [ a, b ] оси Ox, с линейной плотностью r(x) вычисляется по формуле: . (6)	Абсцисса xc и ордината yc центра тяжести дуги кривой y=y(x), проектирующейся на ось Ox в виде отрезка [ a, b ] оси Ox, с постоянной линейной плотностью r вычисляется по формуле: . (7)

 

 

БИЛЕТ20

Вопрос 20

БИЛЕТ21

Вопрос 21

Формула метода трапеций.

Формула метода Симпсона (парабол) имеет вид
.

Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона).

Красной линией изображен график функции y=f(x), синей линией показано приближение графика функции y=f(x) квадратичными параболами на каждом элементарном отрезке разбиения.

 

 

БИЛЕТ22

Исследование пределов и непрерывности в многомерных пространствах приводит ко многим нелогичным и патологическим результатам, не свойственным функциям одной переменной. Например, существуют скалярные функции двух переменных, имеющих точки в области определения, которые при приближении вдоль произвольной прямой дают специфический предел, и дают другой предел при приближении вдоль параболы. Функция

стремится к нулю по любой прямой, проходящей через начало координат. Однако, когда к началу координат приближаются вдоль параболы , предел = 0.5. Так как пределы по разным траекториям не совпадают, предела не существует.

Функция имеет пределом число A при стремлении переменных , соответственно, к , если для каждого число найдется такое число , что , то есть .

Функция называется непрерывной в точке , если предельное значение этой функции в точке существует и равно частному значению .

Функция называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

 

БИЛЕТ23

Вопрос 23

Частная производная обобщает понятие производной на случай нескольких измерений. Частная производная функции нескольких переменных — это производная относительно одной переменной, все другие переменные при нахождении считаются константами.

Для упрощения ограничимся случаем функций от трех переменных; все дальнейшее, однако, справедливо и для функций любого числа переменных.

Пусть в некоторой области имеем функцию ; возьмем точку в этой области. Если мы будем считать и за постоянные значения и , и будем менять , то будет функцией от одной переменной (в окрестности ); можно поставить вопрос о вычислении ее производной в точке . Придадим этому значению приращение , тогда функция получит приращение , которое можно было бы назвать ее частным приращением (по ), поскольку оно вызвано изменением значения лишь одной переменной. По самому определению производной, она представляет собою предел . Эта производная называется частной производной функции по в точке .

Аналогично определяются и частные производные функции по и в точке . Само вычисление частной производной по существу не представляет ничего нового по сравнению с вычислением обыкновенной производной. Частные производные могут быть объединены интересными способами для создания более сложных выражений производных. В векторном исчислении оператор набла () используется для определения понятий градиента, дивергенции, и ротора с точки зрения частных производных. Матрица частных производных — матрица Якоби — может использоваться для представления производной функции (отображения) между двумя пространствами произвольной размерности. Таким образом производная может быть представлена как линейное преобразование, которое изменяется в зависимости от точки из области определения функции.

Дифференциальные уравнения, содержащие частные производные, называют дифференциальными уравнениями в частных производных или (Д)УЧП. Эти уравнения как правило сложнее для решения чем обычные дифференциальные уравнения, которые содержат производные относительно только одной переменной.

 

БИЛЕТ24

Вопрос 24

Пусть задана функция f(x, y). Тогда каждая из ее частных производных(если они, конечно, существуют) и , которые называются также частными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных x, y и может, следовательно также иметь частные производные. Частная производная обозначается через или , а через или . Таким образом,

,

и, аналогично,

, .

Производные и называются частными производными второго порядка. Определение: Частной производной второго порядка от функции z=f(x;y) дифференцируемой в области D,называется первая производная от соответствующей частной производной. Рассматривая частные производные от них, получим всевозможные частные производные 3 порядка: , , и т. д.

 

 

БИЛЕТ25

25. Дифференцируемость и полный дифференциал функции двух переменных. Теорема о равенстве смешанных производных высших порядков.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Составим полное приращение функции в точке М:

Функция называется дифференцируемой в точке , если её полное приращение в этой точке можно представить в виде

(1)

где и при , . Сумма первых двух слагаемых в равенстве (1) представляет собой главную часть приращения функции..

Главная часть приращения функции , линейная относительно и , называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом :

(2)

Выражения и называют частными дифференциалами. Для независимых переменных х и у полагают и . Поэтому равенство (2) можно переписать в виде

(3)

Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция дифференцируема в точке М(х,у), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные и , причем

Так как функция дифференцируема в точке М, то имеет место равенство (1). Отсюда вытекает, что

Это означает, что функция непрерывна в точке М. Положив в равенстве (1), получим: Отсюда находим Переходя к пределу при , получим т. е. Таким образом, в точке М существует частная производная Аналогично показывается, что в точке М существует частная производная

 

Равенство (1) можно записать в виде

(4)

где при , .

 

Отметим, что обратное утверждение не верно, т. е. из непрерывности функции или существования частных производных не следует дифференцируемость функции. Так, непрерывная функция не дифференцируема в точке (0;0).

Как следствие теоремы получаем формулу для вычисления полного дифференциала. Формула (3) принимает вид:

(5)

или

где – частные дифференциалы функции .

Теорема 2 (достаточное условие дифференцируемости функции).Если функция имеет непрерывные частные производные и в точке М(х, у), то она дифференцируема в этой точке и её полный дифференциал выражается формулой (5).

Отметим, что для функции одной переменной существование производной в точке является необходимым и достаточным условием её дифференцируемости в этой точке.

Чтобы функция была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно, чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.

Арифметические свойства и правила исчисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и для дифференциала функции двух (и большего числа) переменных.

Из определения дифференциала функции следует, что при достаточно малых и имеет место приближенное равенство

(6)

Так как полное приращение равенство (6) можно переписать в следующем виде:

(7)

Формулой (7) пользуются в приближенных расчетах.

Отметим, что с помощью полного дифференциала можно найти: границы абсолютной и относительной погрешностей в приближенных вычислениях; приближенное значение полного приращения функции и т. д.

Теорема: Если в некоторой окрестности точки функция имеет смешанные частные производные и , причём эти смешанные частные производные непрерывны в точке , то они равны в этой точке:

 

БИЛЕТ26

26. Пусть функция зависит от переменной и дифференцируема в точке . Может оказаться, что в точке дифференциал , рассматриваемый как функция от , есть также дифференцируемая функция. Тогда существует дифференциал от дифференциала данной функции, который называется дифференциалом второго порядка функции . Дифференциал второго порядка обозначается следующим образом:

Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков.