Алгебраическая запись Комплексных чисел

Алгебраическая запись Комплексных чисел

Сложение комплексных чисел

,

Вычитание комплексных чисел

,

Умножение комплексных чисел

,

Деление комплексных чисел

,

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

 

 

Тригонометрическая форма записи комплексного числа, умножение деление возведение в степень. Формула Муавра

можно записать в тригонометрической форме:
, где – это модуль комплексного числа, а – аргумент комплексного числа.

Аргумент комплексного числа стандартно обозначают: или Внимание! Данная формула работает только в правой полуплоскости! Если комплексное число располагается не в 1-ой и не 4-ой координатной четверти, то формула будет немного другой. Эти случаи мы тоже разберем.

. .

270 градусов: .

Однако более стандартно следующее правило: Если угол больше 180 градусов, то его записывают со знаком минус и противоположной ориентацией («прокруткой») угла: (минус 90 градусов),

1) Если (1-ая и 4-ая координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле .

2) Если (2-ая координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле .

3) Если (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле .

Поскольку (случай 2), то

 

Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в показательной форме: , где – это модуль комплексного числа, а – аргумент комплексного числа.

Возведение комплексных чисел в степень

:

формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень справедлива формула:

, найти .

3. Корень нной степени из комплексного числа. Геометрическая интерпретация
Извлечение корней из комплексных чисел.
Квадратное уравнение с комплексными корнями

, , , ,

Рассмотрим уравнение , или, то же самое: . Здесь «эн» может принимать любое натуральное значение, которое больше единицы. В частности, при получается квадратный корень Уравнение вида имеет ровно корней , которые можно найти по формуле:
, где – это модуль комплексного числа , – его аргумент, а параметр принимает значения:

,
,

,


Ответ: ,

, где : Если , тогда

,

:
Число располагается во второй четверти, поэтому:

,

Подставляем в формулу значение и получаем первый корень:

Подставляем в формулу значение и получаем второй корень:

Подставляем в формулу значение и получаем третий корень:

 

Очень часто полученные корни требуется изобразить геометрически:

Как выполнить чертеж?
Сначала на калькуляторе находим, чему равен модуль корней и чертим циркулем окружность данного радиуса. Все корни будут располагаться на данной окружности.

Теперь берем аргумент первого корня и выясняем, чему равняется угол в градусах: . Отмеряем транспортиром и ставим на чертеже точку .

Берем аргумент второго корня и переводим его в градусы: . Отмеряем транспортиром и ставим на чертеже точку .

По такому же алгоритму строится точка

Легко заметить, что корни расположены геометрически правильно с интервалом

 

Логарифм комплексного числа, степень комплексного числа. Геом интерпретация

.

Натуральным логарифмом комплексного числа r (cosj + i sinj) называется показатель степени, в которую надо возвысить e, чтобы получить логарифмируемое число. Обозначив натуральный логарифм фимволом Log, можно сказать, что равенство

 

Log [ r (cosj + i sinj)] = x + yi

равносильно следующему:

 

e^x+yi = r (cosj + i sinj).

Последнее равенство можно написать так:

 

e^x (cos y + i sin y) = r (cosj + i sinj),

откуда, сравнивая модули и аргументы, получим:

 

e^x = r, y = j + 2 k p (k = 0, ±1, ±2,...),

т.е.

 

x = log r и x + yi = log r + (j + 2 k p) i

и окончательно

Log[ r (cosj + i sinj)] = log r + (j + 2 k p) i,

т.е. натуральный логарифм комплексного числа равен комплексному числу, вещественная часть которого есть обычный логарифм модуля, а мнимая часть представляет собою произведение i на одно из значений аргумента.

 

 

Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю

Если строки (столбцы) определителя пропорциональны, то он равен нулю. Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.

 

Система линейных уравнений теорема Крамера

Запись систем линейных уравнений в матричной форме

Линейные пространства

Непустое множество L элементов произвольной природы называется линейным или векторным пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:

I. Для любых двух элементов однозначно определен третий элемент ,называемый их суммой и обозначаемый x + y, причем выполняются следующие свойства

1) x + y = y + x [коммутативность];

2) x +(y + z)=(x + y)+ z [ассоциативность];

3) в L существует такой элемент, что x +0= x для всех [существование нуля];

4) для каждого существует такой элемент - x, что x +(- x)=0 [существование противоположного элемента].

[ Эти четыре свойства можно было высказать короче: в L введена операция сложения, превращающая L в абелеву группу.]

II. Для любого числа и любого элемента определен элемент ,называемый произведением элемента x на число ,причем выполняются следующие свойства

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

В зависимости от того, какой запас чисел используется (все комплексные или только действительные), различают комплексные или действительные пространства.

14. линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства

Любой вектор плоскости единственным образом раскладывается по базису :
, где – действительные числа. Числа называют координатами вектора в данном базисе.

Также говорят, что вектор представлен в виде линейной комбинации базисных векторов. То есть, выражение называют разложением вектора по базису или линейной комбинацией базисных векторов.

Типовая вещь. Для того чтобы два вектора плоскости были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны . По существу, это покоординатная детализация очевидного соотношения .

Пример 1

а) Проверить, коллинеарны ли векторы .
б) Образуют ли базис векторы ?

Решение:
а) Выясним, существует ли для векторов коэффициент пропорциональности , такой, чтобы выполнялись равенства :
, значит, данные векторы коллинеарны.

Обязательно расскажу о «пижонской» разновидности применения данного правила, которая вполне прокатывает на практике. Идея состоит в том, чтобы сразу составить пропорцию и посмотреть, будет ли она верной:

Составим пропорцию из отношений соответствующих координат векторов:

Сокращаем:
, таким образом, соответствующие координаты пропорциональны, следовательно,

Для двух векторов плоскости эквиваленты следующие утверждения:
1) векторы линейно независимы;
2) векторы образуют базис;
3) векторы не коллинеарны;
4) векторы нельзя линейно выразить друг через друга;
+ 5) определитель, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля.

Соответственно, эквивалентны следующие противоположные утверждения:
1) векторы линейно зависимы;
2) векторы не образуют базиса;
3) векторы коллинеарны;
4) векторы можно линейно выразить друг через друга;
+ 5) определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю.

два вектора плоскостиколлинеарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю: .

а) Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, данные векторы коллинеарны.

Определение

Действительное линейное пространство E называется евклидовым, если каждой паре векторов сопоставляется число так, что и выполняются аксиомы:

I.

II.

III.

IV.

Число называют скалярным произведением векторов и , - скалярным квадратом вектора (пишут ). Введенная операция называется скалярным умножением векторов и .
Длина вектора

Длина вектора - число

Свойства:

1)

2)

3) (неравенство Коши-Буняковского);

4) (неравенство треугольника).
Угол между векторами

Углом между векторами и называют угол , для которого

 

Ортогональные векторы

 

Векторы ортогональны, если

Нормированные векторы

Вектор называется нормированным или единичным, если

Если то соответствующими этому вектору нормированными векторами будут
Нормированный базис

Система векторов для которой

называется ортонормированной.

Во всяком пространстве существует ортонормированный базис. Из произвольного базиса пространства ортогональный базис может быть построен с помощью процесса ортогонализации:

где

где

...............

где

Пронормировав каждый вектор получим ортонормированный базис. В ортонормированном базисе () для векторов имеем:

 

Угол между векторами

Продолжаем выжимать полезные вещи из скалярного произведения. Снова посмотрим на нашу формулу . По правилу пропорции сбросим длины векторов в знаменатель левой части:

А части поменяем местами:

TRIPPLE VECT ОЙКИ МАТЬ ИХ

11.1. Правые и левые тройки векторов и системы координат.

Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто трой-

кой), если указано, какой из этих векторов является первым, какой

- вторым и какой - третьим.

При записи тройки векторов мы всегда будем располагать эти векторы в порядке

их следования. Так, запись bac означает, что первым элементом тройки является

вектор b, вторым - вектор a и третьим - вектор c.

Определение. Тройка не компланарных векторов abc называется правой (левой),

если выполнено одно из следующих трех условий:

1. если, будучи приведены к общему началу, эти векторы распо-

лагаются так, как могут быть расположены соответственно

большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой

(левой) руки;

2. если после приведения к общему началу вектор c располагает-

ся по ту сторону от плоскости, определяемой векторами a и

b, откуда кратчайший поворот от a к b кажется совершаю-

щимся против часовой стрелки (по часовой стрелке);

3. если, находясь внутри телесного угла, образованного приведен-

ными к общему началу векторами a, b, c, мы видим поворот

от a к b и от него к c совершающимся против часовой стрелки

(по часовой стрелке).

Легко проверить, что условия 1, 2 и 3 эквивалентны между собой. Заметим

также, что понятие правой и левой тройки теряет смысл для компланарных

векторов.

Если две тройки векторов либо обе являются правыми, либо обе являются

левыми, то говорят, что эти тройки одной ориентации. В противном случае

говорят, что рассматриваемые две тройки противоположной ориентации.

Всего из трех векторов a, b и можно составить следующие шесть троек:

abc, bca, cab,

bac, acb, cba.

Тройки abc, bca, cab - правые, а bac, acb, cba - левые.

 

Векторное произведение

Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор который обладает следующими свойствами:

1. Его длина равна
2. Вектор перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектора и
3. Вектор направлен так, что поворот от вектора к вектору осуществляется против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора (в этом случае, говорят, что тройка векторов и – правая).

Векторное произведение обозначается квадратными скобками:

Свойства векторного произведения:

• векторное произведение произвольного вектора на нулевой вектор равно нулевому вектору;
• векторное произведение двух коллинеарных векторов равно нулевому вектору;
• координаты векторного произведения векторов и следующие
• 

27. Смешанным произведением трех векторов , , называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор :
Геометрический смысл смешанного произведения

Геометрический смысл смешанного произведения: если тройка векторов правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах: . В случае левой тройки смешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда со знаком минус: . Если , и компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Итак, из выше сказанного можно сделать вывод, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , и равен модулю смешанного произведения этих векторов:

Объем пирамиды, построенной на этой тройке векторов равен

Свойства смешанного произведения:

1°

2°

3° Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда

4° Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда . Если же , то векторы , и образуют левую тройку векторов.

5°

6°

7°

8°

9°

10° Тождество Якоби:

Если векторы , и заданы своими координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле

 

Угол между двумя прямыми

Угол φ между двумя прямыми, заданными общими уравнениями A₁x + B₁y + C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0, вычисляется по формуле:

Угол φ между двумя прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами y = k₁x + b₁ и y₂ = k₂x + b₂, вычисляется по формуле:

Угол φ между двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями (x-x₁)/m₁ = (y-y₁)/n₁ и (x-x₂)/m₂ = (y-y₂)/n₂, вычисляется по формуле:

Формулы определяют значение тригонометрической функции одного из двух углов (острого или тупого) между заданными прямыми. Для нахождения острого угла между прямыми выражения в правой части этих формул следует брать по модулю.

4. Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k ₁ = k ₂. (8)

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

(9)

5. Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

(10)

Пересекающимися, скрещивающиеся, паралельные

 

32. прямая м плоскость. Угол между прямой и плоскость. Паралельность и перпендикулярность прямой и плоскости. Вазимное расположение прямой и плоскости

Эллипс

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (бóльшая, чем расстояние между фокусами).

Каноническое (простейшее) уравнение эллипса с центром в начале координат и с фокусами в точках и :

(4)

где и - полуоси эллипса, с – полуфокусное расстояние. Коэффициенты эллипса связаны соотношением

Рис. 3

 

Если центр эллипса находится в точке , то уравнение эллипса имеет вид:

(5)

Гипербола

Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Уравнение гиперболы с центром в начале координат и с фокусами в точках и имеет вид:

(6)

где - действительная полуось,

- мнимая полуось.

Коэффициенты и гиперболы связаны соотношением .

Прямые - асимптоты гиперболы.

Рис. 4

Если центр гиперболы находится в точке , то уравнение имеет вид:

(7)

Парабола

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от точки, называемой фокусом и прямой, называемой директрисой.

Уравнение параболы с вершиной в начале координат имеет вид:

, (8)

где - расстояние между фокусом параболы и прямой линией, называемой директрисой. Фокус параболы имеет координаты .

Если вершина параболы находится в точке , то уравнение имеет вид:

Теоремы о проекциях

Алгебраическая запись Комплексных чисел

Сложение комплексных чисел

,

Вычитание комплексных чисел

,

Умножение комплексных чисел

,

Деление комплексных чисел

,

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.