п.7. Показательная форма записи комплексного числа

 

Обозначение. Для " w Î R обозначим

. n (1)

Равенство (1) называют формулой Эйлера. При этом обозначении, запись комплексного числа z ¹ 0, z = | z | (cos w + i sin w) в показательной форме принимает вид

. (2)

Из равенства (1) и правил действия с комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, следует справедливость следующей теоремы.

Теорема 5. Для " u, w Î R, " n Î Z справедливы равенства:

1/ ;

2/ ;

3/ ;

4/ ;

5/ ;

6/ ;

7/ n

п.8. Связь между тригонометрическими

И гиперболическими функциями

Из формул Эйлера следует, что для R

Складывая и вычитая эти равенства находим, что для R:

 

(1) ;

(2) .

Как известно, из курса математического анализа, гиперболические косинус, синус, тангенс, котангенс, соответственно, , для R, определяются равенствами:

; ;

; .

Если, в формулах (1), (2), заменить w на iw, то мы получим формулы для определения значений . Эти формулы выражают гиперболические формулы через тригонометрические. Для R:

; ;

; .

 

 

П.9. Корни из комплексных чисел

Определение. Пусть z Î C, n Î N. Комплексное число x называется корнем степени n из z, если

n

Теорема 6. Пусть n Î N, root (n) - множество всех корней степени n из 1. Тогда алгебра (root (n), ×, , 1) - группа, (которая называется группой корней степени n из 1).

Доказательство. Пусть x, y Î root (n).

Проверим, что умножение - бинарная операция. Имеем

xy - корень степени n из 1.

Проверим, что -унарная операция. Имеем

- корень степени n из 1.

Очевидно, что 1 - корень степени n из 1.

Доказано, что (root (n), ×, , 1) - алгебра.

То, что алгебра (root (n), ×, , 1) - группа, следует из свойств комплексных чисел. n

Теорема 7. Для " n Î N существует точно n различных корней степени n из 1,

(1) , .

Все корни расположены в вершинах правильного n - угольника, вписанного в окружность единичного радиуса, одна из которых расположена в точке с координатами (1,0).

Доказательство. Проверим сначала, что числа , заданные равенством (1), являются корнями степени n из 1. Действительно,

Докажем, что любой корень x степени n из 1 может быть вычислен по формуле (1). Т. к. x ¹ 0, то x можно записать в показательной форме

Имеем

Поэтому

,

где t Î Z. По теореме о делении с остатком, существуют такие q, r Î Z, что

t = nq + r, где 0 £ r < q. Значит

т.е. x вычисляется по формуле (1).

Изобразив числа, заданные формулой (1), на комплексной плоскости, мы увидим, что они расположены в вершинах правильного n - угольника, вписанного в окружность единичного радиуса, одна из которых расположена в точке с координатами (1,0). В частности, числа заданные формулой (1), попарно различны. n

Теорема 8. Пусть n Î N, z Î C, z ¹ 0, Тогда существует точно n различных корней степени n из z,

(2) ,

Доказательство. Проверим сначала, что числа , заданные равенством (2), являются корнями степени n из z. Действительно,

Пусть - корень степени n из z. Докажем, что он вычисляется по формуле (2). Рассмотрим число ,где определено формулой (2). Имеем

.

Следовательно - корень степени n из 1, т.е. совпадает с одним из чисел . Имеем

.

Из выше доказанного следует, что числа попарно различны. n

 

П.10. Мультисекция

Теорема 1. (о мультисекции многочлена) Пусть

- многочлен с числовыми коэффициентами, q Î N , m Î N, 0£ q < m. Тогда

, (1)

где .

Доказательство. Для m = 1 равенство (1) очевидно выполнено. Докажем (1) для m > 1. Имеем

. (2)

Если - целое, то и

.

Если - не целое, то и по формуле суммы членов геометрической прогрессии

.

Поэтому в (2) суммирование нужно вести только по тем r для которых N . Отсюда следует (1). n

Заметим, что равенство (1) справедливо не только для многочленов, но и для рядов.

 

Следствие 1. Пусть n, m Î N, q Î N , 0£ q < m. Тогда

. (3)

 

Доказательство. Рассмотрим многочлен

.

Применяя мультисекцию к многочлену получим, что

,

где . Полагая x = 1 в последнем равенстве получим, что

. (4)

Имеем

 

Приравнивая действительные части обеих частей равенства (4) получаем равенство (3). n

 

П.11. Упорядоченные поля

 

Определение. Упорядоченным полем называется алгебраическая система

(P, +, ×, -, 0, 1, £) такая, что:

1/ алгебра (P, +, ×, -,0, 1) - поле;

2/ £ - линейный порядок на P;

3/ для " a, b, c Î P

a £ b ® a + c £ b + c;

4/ для " a, b Î P

a £ b Ù c > 0 ® ac £ bc. n

Другими словами, упорядоченное поле - это поле на множестве элементов которого определён линейный порядок £ согласованный, условиями 3/,4/, с операциями сложения и умножения. Нетрудно проверить, что для упорядоченного поля выполнены обычные свойства неравенств, известные для действительных чисел.

Примерами упорядоченных полей являются поле рациональных и поле действительных чисел.

Теорема 9. Если (P, +, ×, -,0, 1, £) - упорядоченное поле, то для " a Î P из условия a ¹ 0, следует, что a > 0.

Доказательство. Т.к. £ - линейный порядок, то a > 0 или a < 0. Если a > 0, то, по условию 4/, a > 0. Если a < 0, то - a > 0 и по условию 4/, a =

= (- a) (- a) > 0. n

Теорема 10. Если (P, +, ×, -,0, 1, £) - упорядоченное поле, то для " a, b Î P из условия a ¹ 0 Ù b ¹ 0 следует, что a ² + b ² ¹ 0.

Доказательство. Из теоремы 9 следует, что a > 0 и b > 0. Из условия 3 следует, что a + b > 0. n

Теорема 11. Поле комплексных чисел (C, +, ×, -, 0, 1) нельзя упорядочить.

Доказательство. Предположим противное - поле комплексных чисел (C, +, ×, -, 0, 1) упорядоченно. Т.к. 1 ¹ 0, i ¹ 0, то, по теореме 10, 1 + i ¹ 0 - противоречие. n

Задачник.

 

1. Найти действительную и мнимые части комплексных чисел:

,

Решение.

n

2. Найти a, b Î R, если:

 

2.1. ; 2.2. ;

2.3. ; 2.4. .

 

Решение примера 2.2. Запишем левую часть равенства в алгебраической форме

Приравнивая действительную и мнимую части чисел в левой и правой частях равенства получим систему линейных уравнений

Прибавим к первому уравнению второе, умноженное на (-3), прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на (-4), получим

n

 

3. Вычислить:

 

3.1. ; 3.6. ;

3.2. (; 3.7. (;

3.3. ; 3.8. ;

3.4. ; 3.9. ;

3.5. ; 3.10. .

 

Решение примера 3.6. Имеем

n

 

4. Вычислить:

 

4.1. ; 4.5. ;

4.2. ; 4.6. ;

4.3. ; 4.7. ;

4.4. ; 4.8. .

 

Решение примера 4.2. Имеем

n

 

5. Вычислить:

 

5.1. ; 5.2. ;

5.3. 5.4. ;

5.5. ; 5.6. .

 

Решение примера 5.4. Имеем

n

 

6. Вычислить:

 

6.1. , где n Î N; 6.2. , где n Î N;

 

6.3.

 

 

Решение примера 6.1. Разделим, по теореме о делении с остатком, число n на 4, получим, что Имеем

Ответ: , где r - остаток при делении n на 4. n

 

 

7. Вычислить:

 

7.1. ; 7.2. ; 7.3. ; 7.4.

7.5. ; 7.6. ; 7.7. ; 7.8. .

 

Решение примера 7.2. Имеем

n

 

8. При каких z , z Î C:

 

8.1. Re (z z ) = Re (z ) Re (z )?

8.2. Im (z z ) = Re (z ) Re (z ) + Im (z ) Im (z )?

8.3. Re (z z ) = Im (z ) Re (z ) - Im (z ) Re (z )?

 

Решение примера 8.1. Запишем z = a + b i, z = a + b i, где a , b , a , b Î R. Имеем Re(z z ) = a a - b b . Поэтому условие примера равносильно равенству a a - b b = a a «b b = 0 «b = 0Ú b = 0 «z Î R Ú z Î R. n

 

9. Найти значение f (x):

 

9.1. при x = 1 - 2 i;

 

при x = 1 + 2 i.

 

Решение примера 9.1. Имеем

 

n

 

10. Доказать, что:

 

10.1. ;

10.1. .

 

Решение примера 10.1. Имеем

n

Найти корни квадратного уравнения , где a, b, c Î C.

 

Решение. Перепишем уравнение в виде

Выделим полный квадрат в левой части и перенесём свободный член в правую часть

Перепишем последнее уравнение в виде

Обозначим через u какой-нибудь квадратный корень из . Тогда

Последнее равенство запишем в виде

n

 

12. Какие необходимые и достаточные условия для того, чтобы квадратное уравнение , где a, b, c Î C, имело: 1) действительные корни; 2) чисто мнимые корни; 3) комплекснозначные корни?

 

Решение первого примера. Пусть x , x - корни квадратного уравнения, тогда по формулам Виета

 

Поэтому b / a, c / a Î R. Квадратное уравнение запишем в виде

 

.

 

Последнее уравнение имеет действительные корни если

 

 

Ответ:

 

n

 

13. Решить над C квадратные уравнения:

 

13.1. x + 5 x + 9 = 0; 13.6. x - (2 - i) x - 2 i = 0;

13.2. 2 x - 7 x + 5 = 0; 13.7. x + (2 - i) x + (-1 - 7 i) = 0;

13.3. 3 x - 4 x + 5 = 0; 13.8. x + (3 + 2 i) x + (5 + 5 i) = 0;

13.4. x + ix + 1 - 3 i = 0; 13.9. (2- i) x + (5+ i) x + (2+2 i) = 0;

13.5. x - (2 + i) x + 2 i = 0;

 

Решение примера 13.1. Имеем

 

Решение примера 13.6. Имеем

Обозначим

,

где Возводя в квадрат последнее равенство получим, что

Приравнивая действительные и мнимые части чисел расположенных в левой и правой частях равенства получим систему уравнений

Имеем

Решая последнее уравнение находим, что

Отсюда следует, что

n

 

14. Найти z Î C,удовлетворяющие уравнению:

 

14.1. (i - z)(1 + 2 i) + (1 - iz)(3 - 4 i) = 0;

14.2. (- i + z)(1 - 2 i) + (1 + iz)(3 + 4 i) = 0.

 

Решение примера 14.1. Имеем

 

(-1-2 i - i (3-4 i)) z + (i (1+2 i) + (3-4 i)) = 0,

(-5-5 i) z + (1-3 i) = 0,

 

n

 

15. Вычислить:

 

15.1. ;

 

15.2. ;

15.3. ;

15.4. ;

15.5. ;

15.6. ;

15.7. ;

15.8. .

 

Решение примера 15.1. Имеем

n

 

 

16. Для n Î N, вычислить:

 

16.1. ; 16.2. ;

16.3. ; 16.4. .

Решение примера 16.1. Имеем

. n

 

17. Пусть z = a + bi, где a, b Î R. Выразить через a, b:

 

17.1. z + ` z; 17.2. z -` z; 17.3. z + 2` z - 3 z; 17.4. (1 / z) + (1 /` z);

17.5.(1 / z) - (1 /` z); 17.6. (1 / z ) + (1 /` );

17.7. (1 / z ) - (1 /` z ).

 

Решение примера 17.7. Имеем

n

 

18.Решить уравнения:

 

18.1. (1 - i)` z - 3 iz = 2 - i;

18.2. z`z - 2` z = 3 - i;

18.3. z`z + 3(z -` z) = 4 +3 i;

18.4. z`z + 3(z +` z) = 3 i;

18.5. | (z - 12) / (z - 8 i) | = 5/3;

18.6. | (z - 4) / (z - 8) | = 1.

 

Решение уравнения 18.1. Запишем z в алгебраической форме z = a + bi, где a, b Î R. Уравнение перепишем в виде (1- i)(a - bi) - 3 i (a + bi) = 2 - i. Запишем левую часть в алгебраической форме

(a - b + 3 b) + (- a - b - 3 a) i = 2 - i. Приравнивая действительные и мнимые части получим систему уравнений

Решая эту систему находим, что a = 0, b = 1, z = i. n

 

19. Следующие числа изобразить на комплексной плоскости:

 

1; -1; 0; 4; -4;

i; - i; 2 i; -2 i;

1 + i; 1 - i; -1 + i; -1 - i;

; ; ; ;

; ; ; .

 

20. Вычислить модули всех чисел из задачи 19.

 

21. Вычислить аргументы всех чисел из задачи 19.

 

22. Какие части плоскости заданы условиями:

 

22.1. Re z = 3; 22.2. Im z > 0; 22.3. Re z £ -2;

22.2. Im z = -2; 22.5. Im z £ 1; 22.6. Re z > -3;

22.7. Re z > 0 Ù Im z £ 0; 22.8. Re z £ -2 Ù Im z > -3;

22.9. 0 £ Re z < 2 Ù -1< Im z < 1?

 

23. Какие части плоскости заданы условиями:

 

23.1. | z | = 1; 23.2. | z | £ 2; 23.3. | z | > 3; 23.4. | z - 1 | = 1;

23.5. | z + i | < 1 Ù | z - i | > 2; 23.6. | z + 1 + i | > 2;

23.6. | z + i | £ 1 Ù | z - i | £ 2; 23.8. Re z > 0 Ù | z | £ 3;

23.9. | z - 1 - i | + | z | = 2; 23.10. | z - 2 | + | z + 2 | = 2;

23.11. | z - 2 | + | z + 2 | > 2?

 

24. Какие части плоскости заданы условиями:

 

24.1. -p / 4 < arg z < p / 4; 24.2. -p / 4 < arg (z - i) < p / 4;

24.2. | z | = arg z; 24.4. Re z + Im z < 1; 24.5. | z - 1 | ³ 2| z - i |;

24.3. Im ((z - z ) / (z - z )) = 0; 24.7. Re ((z - z )/(z - z )) = 0;

24.4. Re (1 / z) = 1; 24.8. Im (1 / z) = 1; 24.9. Re (z ) = 1;

24.5. Im (z ²) = 1; 24.11. | (z - z ) / (z - z ) | = a, (-p < a < p);

24.12. arg ((z - z ) / (z - z )) = a, (-p < a < p)?.

 

25. Дайте геометрическую интерпретацию следующих отображений:

 

25.1. z ® ` z; 25.2. z ® iz; 25.3. z ® i`z;

25.2. z ® - i`z; 25.5. z ® - z; 25.6. z ® 2 z.

Решение примера 25.1. В лекциях проверено, что это отображение является симметрией относительно оси действительных чисел. n

 

 

26. Доказать тождества:

 

26.1. | z + z | + | z - z | = 2(| z | + | z | );

 

26.2. Дайте геометрическую интерпретацию тождества 26.1.

 

26.3. | 1 - ` z z | - | z - z | = (1 + | z z |) - (| z | + | z |) .

 

Решение примера 26.1. Имеем

n

 

Решение примера 26.2. Использую геометрическую интерпретацию комплексных чисел векторами плоскости получаем: сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон. n

 

27. Пусть - комплексные числа, . Доказать, что

 

.

 

Обобщить это равенство на случай n комплексных чисел равного модуля.

 

 

28. Доказать, что для " a Î R, a > 0, " z Î C, z ¹ - a

 

| a + z | / | 1 + (` z / a) | = a.

 

Решение. Имеем

n

 

29. Доказать, что для " z , z Î C, | z | = 1 или | z | = 1, z ¹ z

 

| (z - z ) / (1 - ` z z ) | = 1.

 

Решение. Пусть | z | = 1, тогда

Случай | z | = 1 рассматривается аналогично. n

 

30. Для каких z , z Î C выполнены равенства:

 

30.1. | z + z | = | z | + | z |?;

30.2. | z + z | = | | z | - | z | |?.

 

Решение примера 30.1. Изображая числа векторами плоскости получаем, что равенство | z + z | = | z | + | z | выполнено для z , z лежащих на одной прямой, проходящей через начало координат по одну сторону от начала координат. n

 

31. Доказать неравенства:

 

31.1. Если | z | < 1 / 2, то | (1 - i) z - i z | < 3 / 4;

31.2. Если | z | < 1, то | z - z