П.2. Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Комплексные числа

(теория и практика)

 

Комплексные числа появились в математике более 400 лет тому назад. Впервые, по видимому, комплексные числа появились в книге Дж. Кардано «Великое искусство, или Об алгебраических правилах» (1545 г.), который считал их бесполезными, непригодными к употреблению. После того, как были найдены формулы для решения кубических уравнения, выяснилось, что для их решения необходимо извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Это привело к введению в математику таких корней и содержащих их выражений, т.е. к введению комплексных чисел. Р.Бомбелли (1572 г.) дал простейшие правила действий с комплексными числами. Первоначально комплексные числа называли мнимыми, невозможными и т.д. Комплексные числа долго казались просто формальными объектами, непригодными для использования в других областях математики, физики. Известно, например, что И. Ньютон не считал комплексные числа числами, а Г. Лейбниц писал: «Мнимые числа -это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытиём». Однако, в дальнейшем выяснилось, что без использования комплексных чисел невозможно развитие многих областей математики, что комплексные числа играют основную роль в различных разделах физики. Задача о вычислении корней степени n из комплексных чисел была решена в нескольких работах А.Муавра (1707, 1724 гг.) и Р.Котеса (1722 г.). Термин «комплексные числа» появился у Л.Карно (1803 г.). Геометрическое представление комплексных чисел и действий над ними впервые опубликовано в работе К.Весселя (1799 г.). В начале XIX, после работ Ж.Аргана (1806, 1814 гг.) геометрическое истолкование комплексных чисел (иногда называемое диаграммой Аргана) вошло в математический обиход и началось построение логически строгих обоснований комплексных чисел. Систематическое использование термина «комплексные числа» было начато Гауссом в 1831 г.. Гаусс также стал систематически употреблять запись вместо . Символ ввёл Эйлер в 1794 г. Построение комплексных чисел, как упорядоченных пар действительных чисел, впервые было предложено У. Гамильтоном в 1837 г.

 

 

п.1. Построение поля комплексных чисел

Рассмотрим множество R = {(a, b) | a, b Î R }. Определим на R бинарные операции сложения «+», умножения «×», унарную операцию минус «-» и определим элементы 0, 1.

Для "(a, b), (c, d) Î R :

(a, b)+(c, d) = (a + c, b + d);

(a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc);

-(a, b) = (- a,- b).

Обозначим: 0 = (0,0), 1 = (1,0).

Теорема 1. Алгебра(R , +, ×, -, 0, 1) является полем.

Доказательство. Проверим, что алгебра (R , +, -, 0) есть абелева группа.

1/ Для "(a, b), (c, d), (e, f) Î R

(a, b)+((c, d)+(e, f)) = ((a, b)+(c, d))+(e, f).

2/ Для "(a, b) Î R

(a, b)+0 = (a, b).

3/ Для "(a, b) Î R

(a, b)+(- (a, b)) = 0.

4/ Для "(a, b),(c, d) Î R

(a, b)+(c, d) = (c, d))+ (a, b).

Проверим, что операция «×» ассоциативна, т.е. для "(a, b),(c, d),(e, f) Î R

(a, b)((c, d)(e, f)) = ((a, b)(c, d))(e, f).

Действительно,

(a,b)((c,d)(e,f)) = (a,b)(ce-df,cf+de) = (ace-adf-bcf-bde,acf+ade+bce-bdf),

((a,b)(c,d))(e,f) = (ac-bd, ad+bc)(e,f) = (ace-bde-adf-bcf,acf-bdf+ade+bce).

Проверим левый закон дистрибутивности, т.е. для "(a,b), (c,d), (e,f) Î R

(a,b)((c,d)+(e,f)) = (a,b)(c,d)+ (a,b)(e,f).

Действительно,

(a,b)((c,d)+(e,f)) = (a,b)(c+e,d+f) = (ac+ae-bd-bf,ad+af+bc+be),

(a,b)(c,d)+ (a,b)(e,f) = (ac-bd,ad+bc) + (ae-bf,af+be) =

= (ac-bd+ ae-bf, ad+bc+ af+be).

Аналогично проверяется справедливость правого закона дистрибутивности.

Из выше доказанного следует, что алгебра (R , +, ×, -, 0) есть кольцо.

Проверим, что кольцо (R , +, ×, -, 0) коммутативно, т.е.

для "(a,b),(c,d) Î R

(a,b)(c,d) = (c,d)(a,b).

Действительно,

(a,b)(c,d) = (ac-bd,ad+bc), (c,d)(a,b) = (ca-db,cb+da).

Проверим, что (R , +, ×, -, 0) кольцо с единицей 1, т.е. "(a,b) Î R

1 × (a,b) = (a,b).

Действительно,

1× (a,b) = (1,0)(a,b) = (1 ×a - 0 ×b, 1 ×b + 0 ×a) = (a,b).

Т.к. (1,0) ¹ (0,0), то 1 ¹ 0.

Докажем, что каждый ненулевой элемент кольца (R , +, ×, -, 0) обратим. Пусть (a,b) ¹ (0,0), что равносильно a + b ¹ 0. Рассмотрим пару (a /(a + b ),- b /(a + b )) и проверим, что эта пара является обратной к паре (a,b). Действительно,

(a,b) (a /(a + b ),- b /(a + b )) = ((a + b )/ (a + b ),(- ab+ba)/(a + b )) =

= (1,0) = 1.

Из выше доказанного следует, что алгебра (R , +, ×, -, 0, 1) - поле. n

Определение. Поле (R , +, ×, -, 0, 1) называется полем комплексных чисел, а его элементы комплексными числами. n

 

П.3. Операция сопряжения

Определение. Пусть комплексное число a записано в алгебраической форме a = a + bi. Числом сопряжённым с a называется число `a = a - bi. n

 

Свойства операции сопряжения

Для "a,bÎ C, где a = a + bi, b = c + di, a,b,c,d Î R.

1/.

Доказательство.

. n

2/ .

Доказательство. . n

3/ .

Доказательство.

.

.

4/ Если a ¹ 0, то .

Доказательство.

. n

5/ «aÎ R.

Доказательство.

= «a + bi = a - bi «a = a Ù b = - b «b =0 «a = a Î R. n

6/ = a + b .

Доказательство.

= (a + bi)(a - bi) = a - b i = a + b . n

С помощью операции сопряжения удобно производить деление комплексных чисел. Чтобы записать в алгебраической форме дробь с комплексными числителем и знаменателем нужно умножить числитель и знаменатель дроби на число сопряжённое со знаменателем и вычислить произведения в числителе и знаменателе.

Пример.

= = = 4+ i. n

 

Комплексного числа

 

Определение. Аргументом комплексного числа a называется число Arg a, равное величине угла между положительным направлением оси абсцисс и вектором a, Arg a определяется с точность до углов кратных 2p. Главным значением аргумента комплексного числа a называется то значение Arg a, которое принадлежит промежутку (-p,p], оно обозначается

arg a и -p< arg a £p. n

Пусть a записано в алгебраической форме a = a + bi ¹ 0. Тогда из геометрической интерпретации a следует, что:

Arg a = arg a + 2p k, k Î Z;

arg a = arctg (b/a), если a > 0;

arg a = arctg (b/a) + p, если a < 0, b ³ 0;

arg a = arctg (b/a) - p, если a < 0, b < 0.

Заметим, что arg a выражается только в радианах, arg 0 не определён.

Пример.

аrg 1 = 0, Arg 1 = 2p k, k Î Z,

аrg (-1) = p, Arg (-1) = p + 2p k, k Î Z,

аrg i = p/2, Arg i = p/2 + 2p k, k Î Z,

аrg (- i) = -p/2, Arg (- i) = -p/2 + 2p k, k Î Z,

аrg (1+ i) = p/4, Arg (1+ i) = p/4 + 2p k, k Î Z. n

Теорема 4. Каждое комплексное число a ¹ 0 может быть записано в виде

a = | a| (cos (arg a) + i sin (arg a)) =

= | a| (cos (Arg a) + i sin (Arg a)).

Доказательство. Изобразим a вектором комплексной плоскости,

см. Рис.6.

 

y

b a

 

 

Рис.6.

0 a x

 

Угол, образованный вектором a и положительным направлением оси абсцисс, равен arg a, следовательно, a = |a| cos (arg a), b = |a| sin (arg a). Поэтому a = a + bi = | a| cos (arg a) +| a| sin (arg a) = |a| (cos (arg a) +

+ i sin (arg a). n

Определение. Если комплексное число a записано в виде a = | a|(cos j + + i sin j), то говорят, что a записано в тригонометрической форме. n

Пример. Запишем числа 1,-1, i, - i в тригонометрической форме:

1 = cos 0 + i sin 0; -1 = cos p + i sin p; i = cos (p/2) + i sin (p/2); - i =

= cos (-p/2) + i sin (-p/2); 1+ i = Ö2(cos (p/4) + i sin (p/4)). n

 

Правила действий с комплексными числами,

записанными в тригонометрической форме

 

Пусть комплексные числа a,b записаны в тригонометрической форме

a = | a |(cos j + i sin j), b = | b |(cos y + i sin y).

1/ ab = | a || b| (cos (j + y) + i sin (j + y)),

т.е. при умножении комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Доказательство.

ab =| a |(cos j + i sin j) | b |(cos y + i sin y) =

= | a || b| ((cos j cos y - sin j sin y) + i (cos j sin y + sin j cos y) =

= | a || b | (cos (j + y) + i sin (j + y)). n

2/ Если b ¹ 0, то

a / b = (| a | / | b |) ((cos (j - y) + i sin (j - y)),

т.е. при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Доказательство. Обозначим g = (| a | / | b |) ((cos (j - y) + i sin (j - y)). Т.к.

g b = (| a | / | b |) ((cos (j - y) + i sin (j - y)) (| b | (cos y + i sin y)) =

= a|(cos j + i sin j) = a, то нужное утверждение доказано. n

3/ Если b ¹ 0, то

b = | b | (cos (- y) + i sin (- y)).

4/ Формула Муавра. Для " n Î N,

a = | a | (cos n j + i sin n j).

Доказательство. Формула Муавра является следствием правила 1. n

5/ Обобщённая формула Муавра. Для " n Î Z,

a = | a | (cos n j + i sin n j).

Доказательство. Обобщённая формула Муавра является следствием формулы Муавра и свойства 3/. n

П.10. Мультисекция

Теорема 1. (о мультисекции многочлена) Пусть

- многочлен с числовыми коэффициентами, q Î N , m Î N, 0£ q < m. Тогда

, (1)

где .

Доказательство. Для m = 1 равенство (1) очевидно выполнено. Докажем (1) для m > 1. Имеем

. (2)

Если - целое, то и

.

Если - не целое, то и по формуле суммы членов геометрической прогрессии

.

Поэтому в (2) суммирование нужно вести только по тем r для которых N . Отсюда следует (1). n

Заметим, что равенство (1) справедливо не только для многочленов, но и для рядов.

 

Следствие 1. Пусть n, m Î N, q Î N , 0£ q < m. Тогда

. (3)

 

Доказательство. Рассмотрим многочлен

.

Применяя мультисекцию к многочлену получим, что

,

где . Полагая x = 1 в последнем равенстве получим, что

. (4)

Имеем

 

Приравнивая действительные части обеих частей равенства (4) получаем равенство (3). n

 

П.11. Упорядоченные поля

 

Определение. Упорядоченным полем называется алгебраическая система

(P, +, ×, -, 0, 1, £) такая, что:

1/ алгебра (P, +, ×, -,0, 1) - поле;

2/ £ - линейный порядок на P;

3/ для " a, b, c Î P

a £ b ® a + c £ b + c;

4/ для " a, b Î P

a £ b Ù c > 0 ® ac £ bc. n

Другими словами, упорядоченное поле - это поле на множестве элементов которого определён линейный порядок £ согласованный, условиями 3/,4/, с операциями сложения и умножения. Нетрудно проверить, что для упорядоченного поля выполнены обычные свойства неравенств, известные для действительных чисел.

Примерами упорядоченных полей являются поле рациональных и поле действительных чисел.

Теорема 9. Если (P, +, ×, -,0, 1, £) - упорядоченное поле, то для " a Î P из условия a ¹ 0, следует, что a > 0.

Доказательство. Т.к. £ - линейный порядок, то a > 0 или a < 0. Если a > 0, то, по условию 4/, a > 0. Если a < 0, то - a > 0 и по условию 4/, a =

= (- a) (- a) > 0. n

Теорема 10. Если (P, +, ×, -,0, 1, £) - упорядоченное поле, то для " a, b Î P из условия a ¹ 0 Ù b ¹ 0 следует, что a ² + b ² ¹ 0.

Доказательство. Из теоремы 9 следует, что a > 0 и b > 0. Из условия 3 следует, что a + b > 0. n

Теорема 11. Поле комплексных чисел (C, +, ×, -, 0, 1) нельзя упорядочить.

Доказательство. Предположим противное - поле комплексных чисел (C, +, ×, -, 0, 1) упорядоченно. Т.к. 1 ¹ 0, i ¹ 0, то, по теореме 10, 1 + i ¹ 0 - противоречие. n

Задачник.

 

1. Найти действительную и мнимые части комплексных чисел:

,

Решение.

n

2. Найти a, b Î R, если:

 

2.1. ; 2.2. ;

2.3. ; 2.4. .

 

Решение примера 2.2. Запишем левую часть равенства в алгебраической форме

Приравнивая действительную и мнимую части чисел в левой и правой частях равенства получим систему линейных уравнений

Прибавим к первому уравнению второе, умноженное на (-3), прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на (-4), получим

n

 

3. Вычислить:

 

3.1. ; 3.6. ;

3.2. (; 3.7. (;

3.3. ; 3.8. ;

3.4. ; 3.9. ;

3.5. ; 3.10. .

 

Решение примера 3.6. Имеем

n

 

4. Вычислить:

 

4.1. ; 4.5. ;

4.2. ; 4.6. ;

4.3. ; 4.7. ;

4.4. ; 4.8. .

 

Решение примера 4.2. Имеем

n

 

5. Вычислить:

 

5.1. ; 5.2. ;

5.3. 5.4. ;

5.5. ; 5.6. .

 

Решение примера 5.4. Имеем

n

 

6. Вычислить:

 

6.1. , где n Î N; 6.2. , где n Î N;

 

6.3.

 

 

Решение примера 6.1. Разделим, по теореме о делении с остатком, число n на 4, получим, что Имеем

Ответ: , где r - остаток при делении n на 4. n

 

 

7. Вычислить:

 

7.1. ; 7.2. ; 7.3. ; 7.4.

7.5. ; 7.6. ; 7.7. ; 7.8. .

 

Решение примера 7.2. Имеем

n

 

8. При каких z , z Î C:

 

8.1. Re (z z ) = Re (z ) Re (z )?

8.2. Im (z z ) = Re (z ) Re (z ) + Im (z ) Im (z )?

8.3. Re (z z ) = Im (z ) Re (z ) - Im (z ) Re (z )?

 

Решение примера 8.1. Запишем z = a + b i, z = a + b i, где a , b , a , b Î R. Имеем Re(z z ) = a a - b b . Поэтому условие примера равносильно равенству a a - b b = a a «b b = 0 «b = 0Ú b = 0 «z Î R Ú z Î R. n

 

9. Найти значение f (x):

 

9.1. при x = 1 - 2 i;

 

при x = 1 + 2 i.

 

Решение примера 9.1. Имеем

 

n

 

10. Доказать, что:

 

10.1. ;

10.1. .

 

Решение примера 10.1. Имеем

n

Найти корни квадратного уравнения , где a, b, c Î C.

 

Решение. Перепишем уравнение в виде

Выделим полный квадрат в левой части и перенесём свободный член в правую часть

Перепишем последнее уравнение в виде

Обозначим через u какой-нибудь квадратный корень из . Тогда

Последнее равенство запишем в виде

n

 

12. Какие необходимые и достаточные условия для того, чтобы квадратное уравнение , где a, b, c Î C, имело: 1) действительные корни; 2) чисто мнимые корни; 3) комплекснозначные корни?

 

Решение первого примера. Пусть x , x - корни квадратного уравнения, тогда по формулам Виета

 

Поэтому b / a, c / a Î R. Квадратное уравнение запишем в виде

 

.

 

Последнее уравнение имеет действительные корни если

 

 

Ответ:

 

n

 

13. Решить над C квадратные уравнения:

 

13.1. x + 5 x + 9 = 0; 13.6. x - (2 - i) x - 2 i = 0;

13.2. 2 x - 7 x + 5 = 0; 13.7. x + (2 - i) x + (-1 - 7 i) = 0;

13.3. 3 x - 4 x + 5 = 0; 13.8. x + (3 + 2 i) x + (5 + 5 i) = 0;

13.4. x + ix + 1 - 3 i = 0; 13.9. (2- i) x + (5+ i) x + (2+2 i) = 0;

13.5. x - (2 + i) x + 2 i = 0;

 

Решение примера 13.1. Имеем

 

Решение примера 13.6. Имеем

Обозначим

,

где Возводя в квадрат последнее равенство получим, что

Приравнивая действительные и мнимые части чисел расположенных в левой и правой частях равенства получим систему уравнений

Имеем

Решая последнее уравнение находим, что

Отсюда следует, что

n

 

14. Найти z Î C,удовлетворяющие уравнению:

 

14.1. (i - z)(1 + 2 i) + (1 - iz)(3 - 4 i) = 0;

14.2. (- i + z)(1 - 2 i) + (1 + iz)(3 + 4 i) = 0.

 

Решение примера 14.1. Имеем

 

(-1-2 i - i (3-4 i)) z + (i (1+2 i) + (3-4 i)) = 0,

(-5-5 i) z + (1-3 i) = 0,

 

n

 

15. Вычислить:

 

15.1. ;

 

15.2. ;

15.3. ;

15.4. ;

15.5. ;

15.6. ;

15.7. ;

15.8. .

 

Решение примера 15.1. Имеем

n

 

 

16. Для n Î N, вычислить:

 

16.1. ; 16.2. ;

16.3. ; 16.4. .

Решение примера 16.1. Имеем

. n

 

17. Пусть z = a + bi, где a, b Î R. Выразить через a, b:

 

17.1. z + ` z; 17.2. z -` z; 17.3. z + 2` z - 3 z; 17.4. (1 / z) + (1 /` z);

17.5.(1 / z) - (1 /` z); 17.6. (1 / z ) + (1 /` );

17.7. (1 / z ) - (1 /` z ).

 

Решение примера 17.7. Имеем

n

 

18.Решить уравнения:

 

18.1. (1 - i)` z - 3 iz = 2 - i;

18.2. z`z - 2` z = 3 - i;

18.3. z`z + 3(z -` z) = 4 +3 i;

18.4. z`z + 3(z +` z) = 3 i;

18.5. | (z - 12) / (z - 8 i) | = 5/3;

18.6. | (z - 4) / (z - 8) | = 1.

 

Решение уравнения 18.1. Запишем z в алгебраической форме z = a + bi, где a, b Î R. Уравнение перепишем в виде (1- i)(a - bi) - 3 i (a + bi) = 2 - i. Запишем левую часть в алгебраической форме

(a - b + 3 b) + (- a - b - 3 a) i = 2 - i. Приравнивая действительные и мнимые части получим систему уравнений

Решая эту систему находим, что a = 0, b = 1, z = i. n

 

19. Следующие числа изобразить на комплексной плоскости:

 

1; -1; 0; 4; -4;

i; - i; 2 i; -2 i;

1 + i; 1 - i; -1 + i; -1 - i;

; ; ; ;

; ; ; .

 

20. Вычислить модули всех чисел из задачи 19.

 

21. Вычислить аргументы всех чисел из задачи 19.

 

22. Какие части плоскости заданы условиями:

 

22.1. Re z = 3; 22.2. Im z > 0; 22.3. Re z £ -2;

22.2. Im z = -2; 22.5. Im z £ 1; 22.6. Re z > -3;

22.7. Re z > 0 Ù Im z £ 0; 22.8. Re z £ -2 Ù Im z > -3;

22.9. 0 £ Re z < 2 Ù -1< Im z < 1?

 

23. Какие части плоскости заданы условиями:

 

23.1. | z | = 1; 23.2. | z | £ 2; 23.3. | z | > 3; 23.4. | z - 1 | = 1;

23.5. | z + i | < 1 Ù | z - i | > 2; 23.6. | z + 1 + i | > 2;

23.6. | z + i | £ 1 Ù | z - i | £ 2; 23.8. Re z > 0 Ù | z | £ 3;

23.9. | z - 1 - i | + | z | = 2; 23.10. | z - 2 | + | z + 2 | = 2;

23.11. | z - 2 | + | z + 2 | > 2?

 

24. Какие части плоскости заданы условиями:

 

24.1. -p / 4 < arg z < p / 4; 24.2. -p / 4 < arg (z - i) < p / 4;

24.2. | z | = arg z; 24.4. Re z + Im z < 1; 24.5. | z - 1 | ³ 2| z - i |;

24.3. Im ((z - z ) / (z - z )) = 0; 24.7. Re ((z - z )/(z - z )) = 0;

24.4. Re (1 / z) = 1; 24.8. Im (1 / z) = 1; 24.9. Re (z ) = 1;

24.5. Im (z ²) = 1; 24.11. | (z - z ) / (z - z ) | = a, (-p < a < p);

24.12. arg ((z - z ) / (z - z )) = a, (-p < a < p)?.

 

25. Дайте геометрическую интерпретацию следующих отображений:

 

25.1. z ® ` z; 25.2. z ® iz; 25.3. z ® i`z;

25.2. z ® - i`z; 25.5. z ® - z; 25.6. z ® 2 z.

Решение примера 25.1. В лекциях проверено, что это отображение является симметрией относительно оси действительных чисел. n

 

 

26. Доказать тождества:

 

26.1. | z + z | + | z - z | = 2(| z |