Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа

Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в тригонометрической форме:
, где – это модуль комплексного числа, а – аргумент комплексного числа.

Изобразим на комплексной плоскости число . Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что :

 

Модулем комплексного числа называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.

Модуль комплексного числа стандартно обозначают: или

По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: . Данная формула справедлива для любых значений «а» и «бэ».

Аргументом комплексного числа называется угол между положительной полуосью действительной оси и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке.

Формула Эйлера названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл, и связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями.

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа выполнено следующее равенство:

,

где — основание натурального логарифма,

— мнимая единица.

 

3)

3) Возведение комплексных чисел в степень

Пример

Возвести в квадрат комплексное число

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения :

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:
.

формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень справедлива формула:

4)

- матрицей называется система m x n чисел, расположенных в прямоугольной таблице, состоящей из m строк и n столбцов. Числа этой таблицы называются – элементами матрицы.

* Аij – элемент матрицы стоящим в ш строке и о столбце.

* 2 матрицы называются равными, если они одинаковых размеров и соответственно их элементы равны.

* матрица, состоящая из 1 строки – строчная матрица (матрица строка): (А11 А12 … А1n)

* матрица, имеющая лишь один столбец – столбцовая матрица:

(А11)

(А21)

(Аm1)

* нулевая матрица:

* Квадратной матрице, называется матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов m=n.

* Порядком квадратной матрицы, называется число ее порядков (строк или столбцов).

(А11) – кв. матрица 1-го порядка.

А11 А22 … А33 – главная диагональ.

А1n A2n-1 … An1 – второстепенная диагональ.

* Квадратная матрица называется симметричной, если: Аij=Aji

* Диагональной матрицей называется кв. Матрица, у которой все элементы не принадлежащие главной диагонали = 0.

* Матрица называется единичной, если она диагональная и по гл. диагонали все элементы =1.

* Символ Кранекера:

* треугольной матрицей, называется кв. матрица, у которой все элементы расположены по одну строку от гл. диагонали = 0.

Верхняя треугольная матрица:

* Произвольную матрицу в этом случае, называют квазетреугольной.

* Определителем 2-го и 3-го порядка, называется число, равное А11 A22 – A12 A21

│А11 А12│ он так же называется det.

│А21 А22│

5)

Умножение матрицы на число
При умножении матрицы A на число λ (слева или справа) каждый ее матричный элемент умножается на это число:

(2)

Сложение матриц
Операция сложения определена только для матриц одинаковых размеров. Результатом сложения матриц A = || a_{i j} || и B = || b_{i j} || является матрица C = || c_{i j} ||, элементы которой равны сумме соответствующих матричных элементов:

(3)

6)

* Минором какого-либо элемента определителя, называется определитель полученный из данного, вычеркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит данный элемент.

* Алгебраическим дополнением элемента Аij определ., называется его минор, взятый со знаком (-1)^i+j

Aij = (-1)^i+j * Mij

> Обратная матрица:

* Матрицей обратной кв. матрице А, называется кв. матрица В, удовлетворяющая равенство: АВ=ВА=Е

[A^-1 – обратная матрица]

* Матрицей присоединенной к матрице А, называется матрица С = (А11 А21 …Аn1)

(A12 A22 … An2)

… … …

(A1n A2n … Ann)

, где Aij – алгебраические дополнения матрицы А.

* Если А – кв. матрица порядка n, а С – присоединенная к ней матрица, то произведение А*С=С*А=Е*│А│

* Если определитель матрицы А = 0, то матрица называется вырожденной (особенной).

Теорема:

Для невырожденной матрицы А существует единственная обратная матрица А^-1, определяемая формулой:

А^-1 = 1/│A│ * C

Следствие:

- Для вырожденной матрицы обратной нет.

Найдем матицу A^-1, обратную к матрице А

 

A =		-
		-

 

Будем обозначать элементы матрицы A маленькими буквами аij. Первый индекс i обозначает номер строки, а второй j - номер столбца, где находится элемент матрицы аij.

 

A =		a11	a12	a13
a21	a22	a23
a31	a32	a33

 

Обратную матрицу A^-1, будем искать в следующем виде:

 

A ^-1 = 1 / det A *		A11	A21	A31
A12	A22	A32
A13	A23	A33

 

где Aij = (-1) ^i+j * M ij

 

Обратите внимание на множитель 1 / det A - стоящей перед матрицей. Очевидно, если определитель матрицы А равен нулю, то обратной матрицы не существует.

 

М ij это минор элемента а ij, т.е. определитель, полученный вычеркиванием из матрицы А строки с номером i и столбца с номером j. А ij - это алгебраическое дополнение элемента а ij, или, проще говоря, минор взятый с определенным знаком. Если сумма номера строки и номера столбца элемента аij четная, то алгебраическое дополнение это минор. Если сумма номера строки и номера столбца элемента аij нечетная, то алгебраическое дополнение это минор, взятый со знаком минус. Математически это выражается выражением (-1)^i+j. Не забудьте обратить внимание на индексы алгебраических дополнений в обратной матрице.

 

· Найдем определитель матрицы А.

 

det A =		-2				=
		-1

 

Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 2.

 

=		-2				=
		-1

 

Из элементов столбца 3 вычитаем соответствующие элементы столбца 1, умноженные на 2.

 

=		-2				=
		-3

 

Разлагаем определитель по элементам третьей строки.

 

= (- 1)^3+1 * 2*         +   -3

(- 1)^3+2 * 0*   -2     +   -3

(- 1)^3+3 * 0*   -2     =

 

= 2*         =   -3

 

= 2* (3 * (-3) - 5 * 2) =

 

= 2 * (-19)

= -38

 

Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно обратная матрица A^-1 существует.

 

· Найдем алгебраическое дополнение A11 элемента a11. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1.

 

A =		-
		-

 

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (M11) элемента a11.

 

M11 =			-1		= 2 * 3 - (-1) * 2 = 6 - (-2) = 8

 

Так как сумма номера строки и номера столбца,на пересечении которых находится элемент a11, есть число четное (1 + 1 = 2) и выражение (-1)^1+1 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a11 равно минору данного элемента.

 

A11 = (-1) ^1+1 * M 11 = (-1) ^1+1 * 8 = 8

 

· Найдем алгебраическое дополнение A12 элемента a12. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 2.

 

A =		-
		-

 

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (M12) элемента a12.

 

M12 =			-1		= 1 * 3 - (-1) * 3 = 3 - (-3) = 6

 

Так как сумма номера строки и номера столбца,на пересечении которых находится элемент a12, есть число нечетное (1 + 2 = 3) и выражение (-1)^1+2 = - 1, то алгебраическое дополнение элемента a12 равно минору данного элемента взятого со знаком минус.

 

A12 = (-1) ^1+2 * M 12 = (-1) ^1+2 * 6 = -6

 

· Найдем алгебраическое дополнение A13 элемента a13. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 3.

 

A =		-
		-

 

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (M13) элемента a13.

 

M13 =					= 1 * 2 - 2 * 3 = 2 - 6 = -4

 

Так как сумма номера строки и номера столбца,на пересечении которых находится элемент a13, есть число четное (1 + 3 = 4) и выражение (-1)^1+3 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a13 равно минору данного элемента.

 

A13 = (-1) ^1+3 * M 13 = (-1) ^1+3 * (-4) = -4

 

· Найдем алгебраическое дополнение A21 элемента a21. В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 1.

 

A =		-
		-

 

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (M21) элемента a21.

 

M21 =					= 3 * 3 - 1 * 2 = 9 - 2 = 7

 

Так как сумма номера строки и номера столбца,на пересечении которых находится элемент a21, есть число нечетное (2 + 1 = 3) и выражение (-1)^2+1 = - 1, то алгебраическое дополнение элемента a21 равно минору данного элемента взятого со знаком минус.

 

A21 = (-1) ^2+1 * M 21 = (-1) ^2+1 * 7 = -7

 

· Найдем алгебраическое дополнение A22 элемента a22. В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 2.

 

A =		-
		-

 

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (M22) элемента a22.

 

M22 =		-2			= (-2) * 3 - 1 * 3 = (-6) - 3 = -9

 

Так как сумма номера строки и номера столбца,на пересечении которых находится элемент a22, есть число четное (2 + 2 = 4) и выражение (-1)^2+2 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a22 равно минору данного элемента.

 

A22 = (-1) ^2+2 * M 22 = (-1) ^2+2 * (-9) = -9

 

· Найдем алгебраическое дополнение A23 элемента a23. В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 3.

 

A =		-
		-

 

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (M23) элемента a23.

 

M23 =		-2			= (-2) * 2 - 3 * 3 = (-4) - 9 = -13

 

Так как сумма номера строки и номера столбца,на пересечении которых находится элемент a23, есть число нечетное (2 + 3 = 5) и выражение (-1)^2+3 = - 1, то алгебраическое дополнение элемента a23 равно минору данного элемента взятого со знаком минус.

 

A23 = (-1) ^2+3 * M 23 = (-1) ^2+3 * (-13) = 13

 

· Найдем алгебраическое дополнение A31 элемента a31. В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 1.

 

A =		-
		-

 

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (M31) элемента a31.

 

M31 =					= 3 * (-1) - 1 * 2 = (-3) - 2 = -5
	-1

 

Так как сумма номера строки и номера столбца,на пересечении которых находится элемент a31, есть число четное (3 + 1 = 4) и выражение (-1)^3+1 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a31 равно минору данного элемента.

 

A31 = (-1) ^3+1 * M 31 = (-1) ^3+1 * (-5) = -5

 

· Найдем алгебраическое дополнение A32 элемента a32. В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 2.

 

A =		-
		-

 

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (M32) элемента a32.

 

M32 =		-2			= (-2) * (-1) - 1 * 1 = 2 - 1 = 1
	-1

 

Так как сумма номера строки и номера столбца,на пересечении которых находится элемент a32, есть число нечетное (3 + 2 = 5) и выражение (-1)^3+2 = - 1, то алгебраическое дополнение элемента a32 равно минору данного элемента взятого со знаком минус.

 

A32 = (-1) ^3+2 * M 32 = (-1) ^3+2 * 1 = -1

 

· Найдем алгебраическое дополнение A33 элемента a33. В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 3.

 

A =		-
		-

 

Определитель состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором (M33) элемента a33.

 

M33 =		-2			= (-2) * 2 - 3 * 1 = (-4) - 3 = -7

 

Так как сумма номера строки и номера столбца,на пересечении которых находится элемент a33, есть число четное (3 + 3 = 6) и выражение (-1)^3+3 = 1, то алгебраическое дополнение элемента a33 равно минору данного элемента.

 

A33 = (-1) ^3+3 * M 33 = (-1) ^3+3 * (-7) = -7

 

Осталось, только записать обратную матрицу.

 

A ^-1 = 1 / (-38) *			-	-
-	-	-
-		-

 

A ^-1 =		-
	-

 

Ранг матрицы.

Рангом матрицы A r(A) называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Таким образом, ранг матрицы – натуральное число. Ранг нулевой матрицы принимается равным нулю – у нее нет отличных от нуля миноров. Очевидно, что ранг матрицы не превосходит числа ее строк и числа столбцов.

Пример. Найти ранг матрицы

Здесь наивысший порядок миноров равен 3 – единственным минором 3-го порядка является определитель матрицы. Но, т. к. 1-я и 3-я строки определителя пропорциональны. Минор второго порядка, полученный выделением 1-й и 2-й строки, 1-го и 3-го столбца

Таким образом, r(A) = 2.

Теорема (о ранге матрицы ступенчатого вида).

Ранг матрицы ступенчатого вида равен числу ее ненулевых строк.

Пример. Ранг матрицы

равен 3, т. к. у нее 3 ненулевых строки. Отличный от нуля минор максимального порядка в этой матрице можно выбрать, выделив все ее ненулевые строки, а столбцы выделять так, чтобы получился определитель треугольного вида. В рассматриваемом примере это будет определитель

(выбраны 1-й, 2-й, 4-й столбцы).

Элементарными преобразованиями матрицы называются:

- перестановка двух строк (столбцов) матрицы;

- умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

- прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца).