Нахождение вектора заданного декартовыми координатами его начальной и конечной точки

Чтобы найти координаты вектора AB, зная координаты его начальной точек А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки.

Так в случае плоской задачи с точками A(

x₁, y₁

) и B(

x₂, y₂

) вектор

AB =

{x₂ - x₁; y₂ - y₁}

Пример нахождение вектора заданного декартовыми координатами его начальной и конечной точки:

Найти координаты вектора AB если A(1; 4), B(3; 1).

Решение: AB = {3 - 1; 1 - 4} = {2; -3}.

 

Так в случае пространственной задачи с точками A(

x₁, y₁, z₁

) и B(

x₂, y₂, z₂

) вектор

AB =

{x₂ - x₁; y₂ - y₁; z₂ - z₁}

Пример нахождение вектора заданного декартовыми координатами его начальной и конечной точки:

Найти координаты вектора AB если A(1; 4; 5), B(3; 4; 2).

Решение: AB = {3 - 1; 4 - 4; 2-5} = {2; 0; -3}.

Так как координаты а в декартовой прямоугольной системе координат равны проекциям вектора на координатные оси, то
а1 = |a|cos(альфа), a2 = |a|cos(бета), a3 = |a|cos(гамма). Отсюда:
cos (альфа)=a1||a|, cos(бета) =a2||a|, cos(гамма)= a3/|a|.
При этом |a|=sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2). Значит
cos (альфа)=a1|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(бета) =a2|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2),
cos(гамма)= a3/sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2).

Следует отметить основное свойство направляющих косинусов. Сумма квадратов направляющих косинусов вектора равна единице.
Действительно, cos^2(альфа)+cos^2(бета)+cos^2(гамма)=
= a1^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a2^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a3^2/(a1^2+ a2^2+ a3^2) =
=(a1^2+ a2^2+ a3^2)|(a1^2+ a2^2+ a3^2) = 1.

Первый способ

Пример: дано: вектор а={1, 3, 5). Найти его направляющие косинусы.
Решение. В соответствии с найденным выпишем:
|а|= sqrt(ax^2+ ay^2+ az^2)=sqrt(1+9 +25)=sqrt(35)=5,91.
Таким образом, ответ можно записать в следующей форме:
{cos(альфа), cos(бета), cos(гамма)}={1/sqrt(35), 3/sqrt (35), 5/(35)}={0,16;0,5;0,84}.

Второй способ

При нахождении направляющих косинусов вектора а, можно использовать методику определения косинусов углов с помощью скалярного произведения. В данном случае в виду имеются углы между а и направляющими единичными векторами прямоугольных декартовых координат i, j и k. Их координаты {1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}, соответственно.
Следует напомнить, что скалярное произведение векторов определяется так.

Если угол между векторами ф, то скалярное произведение двух ветров (по определению) – это число, равное произведению модулей векторов на cosф. (a, b) = |a||b|cos ф. Тогда, если b=i, то (a, i) = |a||i|cos(альфа),
или a1 = |a|cos(альфа). Далее все действия выполняются аналогично способу 1, с учетом координат j и k.

 

20)

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов , обозначается символом (порядок записи сомножителей безразличен, то есть ).

Если угол между векторами , обозначить через , то их скалярное произведение можно выразить формулой

(1)

Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается символом . Из формулы (1) следует, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

.

Если векторы и заданы своими координатами:

, ,

то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле

.

Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

.

Угол между векторами

, ,

Свойства

· теорема косинусов легко выводится с использованием скалярного произведения:

· Угол между векторами:

· Оценка угла между векторами:

в формуле знак определяется только косинусом угла (нормы векторов всегда положительны). Поэтому скалярное произведение > 0, если угол между векторами острый, и < 0, если угол между векторами тупой.

· Проекция вектора на направление, определяемое единичным вектором :

,

· условие ортогональности (перпендикулярности) векторов и :

· Площадь параллелограмма, натянутого на два вектора и , равна

Неравенство Коши — Буняковского

Для любых элементов и линейного пространства со скалярным произведением выполняется неравенство [1]

Скалярное произведение в координатной форме

Воспользовавшись свойством скалярного произведения, получим

Скалярное произведение двух векторов в координатной форме равно сумме произведений одноимённых координат: .
Используя формулу для скалярного квадрата вектора, получим формулу для нахождения модуля вектора

.

Косинус угла между двумя векторами

Из определения скалярного произведения следует

.

В координатной форме эта формула примет вид

.