Понятие непрерывности функции.

Определение. Функция f(x), определенная в некоторой окрестности точки a, называется непрерывной в точке а, если (1)

Таким образом, функция f непрерывна в точке а, если выполнены следующие условия:

1. функция f определена в некоторой окрестности точки а, т.е. существует число такое, что U ;

2. существует ;

3. A = f(a).

Определение непрерывности функции f(x) в точке а, выраженное условием (1), можно сформулировать с помощью неравенств (на языке ), с помощью окрестностей и в терминах последовательностей соответственно в виде

Подчеркнем, что в определении непрерывности, в отличие от определения предела, рассматривается полная, а не проколотая окрестность точки а, и пределом функции является значение этой функции в точке а.

Назовем разность x – a приращением аргумента и обозначим x, а разность f(x) – f(a) – приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента x, и обозначим y. Таким образом,

x=x – a, y=f(x) – f(a) = f(a+ x) – f(a).

При этих обозначениях равенство (1) примет вид

Таким образом, непрерывность функции в точке означает, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

По аналогии с понятием предела слева (справа) вводится понятие непрерывности слева (справа). Если функция f определена на полуинтервале и , т.е. f(a – 0) = f(a), то эту функцию называют непрерывной слева в точке а.

Аналогично, если функция f определена на полуинтервале и f(a + 0) = f(a), то эту функцию называют непрерывной справа в точке а.

Например, функция f (x) = [ x ] непрерывна справа в точке x = 1 и не является непрерывной слева в этой точке, т.к. f( 1 – 0) = 0, f( 1 + 0) = f( 1 ) = 1.

Очевидно, функция непрерывна в данной точке тогда и только тогда, когда она непрерывна как справа, так и слева в этой точке.

Точки разрыва.

В п.2 будем предполагать, что функция определена в некоторой проколотой окрестности точки а.

Точку а назовем точкой разрыва функции f, если эта функция либо не определена в точке а, либо определена, но не является непрерывной в точке а.

Следовательно, а – точка разрыва функции f, если не выполняется по крайней мере одно из следующих условий:

1)

2) существует конечный

3) A = f(a).

Если а – точка разрыва функции ф, причем в этой точке существуют конечные пределы слева и справа, т.е., то точку а называют точкой разрыва первого рода.

46)

Односторонняя непрерывность. Классификация точек разрыва.

5.4.1. Определение односторонней непрерывности.

В определении непрерывности функции в точке х0 требуется существование и равенство . С применением односторонних пределов определяются понятия непрерывности функции в точке слева и справа:

Опр.5.1.7. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 слева, если .

Опр.5.1.8. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 справа, если .

47)

Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на интервале (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Замечание. Функция, непрерывная на отрезке [ a, b ] может быть разрывной в точках a и b (рис. 1)

Множество функций, непрерывных на отрезке [ a, b ] обозначается символом C [ a, b ].

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C > 0, что " x Î [ a, b ] выполняется неравенство | f (x)| ≤ C.

Теорема 2 (Вейерштрасс). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m, т.е. существуют точки α, β Î [ a, b ] такие, что m = f (α) ≤ f (x) ≤ f (β) = M для всех x Î [ a, b ] (рис.2).

Наибольшее значение M обозначается символом max _{x Î [ a, b ]} f (x), а наименьшее значение m — символом min _{x Î [ a, b ]} f (x).

Теорема 3 (о существовании нуля). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале (a, b) найдется по крайней мере одна точка ξ в которой f (ξ) = 0.

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что график функции, удовлетворяющей условиям теоремы, обязательно пересечет ось OX (рис.3).

Замечание. На этой теореме основан метод приближенного решения уравнения

 

f (x) = 0,

48)