Непрерывность функции в точке

Определение. Функция f(x), xÎ (a; b) называется непрерывной в точке x_оÎ (a; b), если предел функции f(x) в точке х_о существует и равен значению функции в этой точке:

.

Согласно данному определению, непрерывность функции f(x) в точке х_о означает выполнимость следующих условий:

1) функция f(x) должна быть определена в точке х_о;

2) у функции f(x) должен существовать предел в точке х_о;

3) предел функции f(x) в точке х_о должен совпадать со значением функции в этой точке.

 

 

Пример.

Функция f(x) = x² определена на всей числовой прямой и непрерывна в точке х = 1 поскольку f( 1 ) = 1 и

 

Непрерывность функции на множестве

Определение. Функция f(x), называется непрерывной на интервале (a; b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Если функция непрерывна в некоторой точке, то эта точка называется точкой непрерывности данной функции. В тех случаях, когда предел функции в данной точке не существует или его значение не совпадает со значением функции в данной точке, то функция называется разрывной в этой точке, а сама точка – точкой разрыва функции f(x).

Свойства непрерывных функций.

1) Сумма конечного числа функций, непрерывных в точке а, есть функция, непрерывная в этой точке.

2) Произведение конечного числа функций, непрерывных в точке а, есть функция, непрерывная в этой точке.

3) Отношение конечного числа функций, непрерывных в точке а, есть функция, непрерывная в этой точке, если значение функции, стоящей в знаменателе, отлично от нуля в точке а.

Пример.

1) Функция f(x) = x^п, где n Î N, непрерывна на всей числовой прямой. Доказать этот факт можно, используя свойство 2 и непрерывность функции f(x) = x.

2) Функция f(x) = сx^п (с – константа) непрерывна на всей числовой прямой, исходя из свойства 2 и примера 1.

Теорема 1. Многочлен есть функция, непрерывная на всей числовой прямой.

Теорема 2. Любая дробно-рациональная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Пример.

1) Функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки , в которой знаменатель дроби обращается в нуль.

2)

Функция непрерывна всюду на R, т.к. знаменатель нигде не обращается в нуль.

 

 

Определение Функция f(x) называется непрерывной в точке х = а, если в этой точке ее приращение стремится к нулю, когда приращение аргумента стремится к нулю, или иначе: функция f (х) называется непрерывной в точке х = а, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е. если

 

Односторонние пределы функции^*

Левосторонний предел функции. Если отыскивается предел функции f(x) при условии, что х, стремясь к а, может принимать только такие значения, которые меньше а, то этот предел, если он существует, называется левосторонним пределом функции f (х) (или левым пределом функции).

Для того чтобы показать, что х стремится к а, оставаясь меньше а, употребляется запись: , а левосторонний предел функции обозначается символом: .

Правосторонний предел функции. Если отыскивается предел функции f(x) при условии, что х, стремясь к а, может принимать только такие значения, которые больше а, то этот предел, если он существует, называется правосторонним пределом функции f(x) (или правым пределом функции).

То, что х, стремясь к а, остается больше а, обозначается так: , а правосторонний предел функции обозначается символом: .

Очевидно, что предел функции при существует только тогда, когда существуют и равны между собой ее левосторонний и правосторонний пределы, т. е. когда .

Определение Функция f(x) называется непрерывной при х = а, если ее левосторонний и правосторонний пределы существуют, между собой равны и равны значению функции в этой точке, т. е. f(a). То есть:

.

 

 

Точки разрыва и их классификация^*

Если равенство в какой-либо его части не выполняется, то о точке говорят, что она является точкой разрыва.

Точка разрыва первого рода

Рис. 2

Определение. Если левосторонний предел функции и ее правосторонний предел существуют, но не равны, между собой, т. е. если то точка а называется точкой разрыва первого рода (см. рис. 2).

Точка разрыва второго рода

а) б)	Определение. Если в точке х = а не существует конечный левосторонний или правосторонний предел функции или оба одновременно, то эта точка называется точкой разрыва второго рода. На рис. 3, а отсутствует левосторонний предел функции; на рис. 3, б – нет правостороннего предела функции.
Рис. 3

 

Рис. 4

На рис. 4 представлен график функции, которая не имеет в точке х = а ни левостороннего, ни правостороннего предела. Во всех этих случаях говорят, что функция в точке х = а терпит разрыв второго рода (иначе: точка х = а — точка разрыва второго рода).

 

Устранимый разрыв

Определение. Если в точке х = а функция f(x) имеет левосторонний и правосторонний пределы и эти пределы между собой равны, но их значения не совпадают со значением функции в точке а, т. е. со значением f(a), то точка х = а называется точкой устранимого» разрыва.

Таким образом, в этом случае . Разрыв «устраняется» тем, что полагают , т. е. принимают, что .

Пример. Пользуясь определением непрерывности функции через предел , докажем, что функция непрерывна в произвольной точке.

Решение. Выразим приращение функции при произвольном приращении аргумента в некоторой точке х:

Подставим полученные выражения в формулу приращения функции, и после упрощения получим:

.

Найдем предел приращения функции при приращении аргумента, стремящемся к 0:

В итоге получаем, что при любом значении х предел приращения функции равен нулю, что доказывает ее непрерывность при любом значении х.

Пример. Исследуем на непрерывность при х = 1 следующую функцию:

.

Решение. Так как знаменатель дроби равен нулю при , то функция разрывна при . Установим характер этой точки разрыва. Найдем сначала левосторонний предел функции:

Если , то можно представить , и считать, что , оставаясь положительной, стремится к нулю. Заменяя х на , получим:

так как при величина бесконечно большая, также бесконечно велика, – бесконечно большая величина, обратная ей величина бесконечно мала: , а потому

Теперь определим правосторонний предел функции. Если х →1 + 0, можно положить х = 1 + α (α > 0) и считать, что α, оставаясь положительной, стремится к нулю.

Тогда, заменяя х на 1 + α, получим:

,

.)

так как при величина бесконечно большая, также бесконечно велика, – величина бесконечно малая, т.е. ее предел будет равен 0.

Итак, у функции существуют и левосторонний предел, равный 2, и правосторонний предел, равный 3, но между собой они не равны. Из этого мы заключаем, что точка является для заданной функции точкой разрыва первого рода.

 

Пример. Построим графики и определим, какого рода разрыв имеет функция в данной точке (если точка не указана, определим точки разрыва самостоятельно):

1) , 2) 3) .

Решение.

1) в точке функция имеет разрыв второго рода, поскольку не имеет в этой точке ни одного конечного предела (см. рис. 5, а).

2) в точке функция имеет разрыв второго рода, поскольку не имеет в этой точке ни одного конечного предела (см. рис. 5, в).

3) функция имеет точки разрыва и . В обеих точках функция имеет разрыв второго рода (см. рис. 5, б).

а)	б)	в)
Рис. 5

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение предела последовательности.
2. Дайте определение предела функции.
3. Сформулируйте теоремы о пределе функции.
4. Дайте определения бесконечно малых и бесконечно больших функций.
5. Назовите основные неопределенности при вычислении пределов функции.
6. Объясните основные методы раскрытия неопределенностей.
7. Дайте определение непрерывной функции.
8. Дайте определение точек разрыва функции 1 и 2 рода^*.

Контрольные задания

Вычислить пределы функции:

1. 

 

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

1. 

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

 

1. 

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

1. 

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

1. 

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________