Первый и второй замечательные пределы.

Структура рабочей тетради

1. Введение

¾ пояснительная записка;

¾ тематический план;

¾ рекомендации по работе с математическим текстом;

¾ рекомендации по конспектированию;

¾ рекомендации по решению задач.

1. Содержание учебной дисциплины

¾ основные требования к математической подготовке студентов;

¾ теоретический материал;

¾ примеры решения типовых задач;

¾ задания для самостоятельного выполнения;

¾ вопросы для самоконтроля;

¾ контрольные задания.

1. Перечень рекомендуемой литературы.

1. Введение

Пояснительная записка

Настоящая Рабочая тетрадь (РТ) разработана на основе Государственного образовательного стандарта СПО, базисного плана по специальности и примерной программы по математике, утвержденной ИПР СПО.

Учебная дисциплина «Математика» является компонентом инвариантной части учебного плана любой специальности и изучается на третьем курсе НТМТ (ФСПО) на базе среднего (полного) общего образования.

Национально-региональный компонент введен с учетом региональной специфики содержания образования в следующих аспектах:

¾ взаимодействие с базовым предприятием ОАО «Научно-производственная корпорация «Уралвагонзавод»;

¾ историческое развитие различных отраслей народного хозяйства Горнозаводского управленческого округа.

Изучение курса математики позволяет сформировать базовые математические понятия, используемые при изучении специальных дисциплин, общеучебные и специальные умения и навыки, а также общекультурные компетенции.

Разработка и внедрение в педагогическую практику более совершенной методики обучения, обеспечивающей повышение качества, активизацию познавательной деятельности студентов и развитие их умственных способностей, является важнейшей проблемой. В ее решении значительная роль отводится формированию умений и навыков самостоятельного мышления и практического применения знаний. Немаловажным является и формирование навыков самостоятельного умственного труда. Это тем более важно, что какие бы знания и в каком объеме не получали наши обучаемые, эти знания имеют необратимую тенденцию быстро устаревать, отставать от потребностей жизни и производства. Поэтому нужно научиться самостоятельно приобретать знания из различных источников информации самостоятельным путем, овладевать как можно большим разнообразием видов самостоятельной работы, в чём поможет работа с РТ.

. Основная цель данной Рабочей тетради – познакомить Вас с содержанием курса математики, основной задачей которого является математическое обеспечение специальной подготовкой, то есть вооружение студентов математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения специальных дисциплин, разработки курсовых и дипломных проектов, для профессиональной деятельности и необходимых для повседневной жизни, формирование описания о методе познания действительности, формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимания значимости математики для общественного прогресса.

Тематический план

Наименование разделов и тем

Раздел 1. Теория пределов.

Предел последовательности.

Предел функции.

Первый и второй замечательные пределы.

Непрерывность функции.

Односторонние пределы функции.

Точки разрыва и их клссификация.

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Производная функции одной переменной.

Геометрический смысл производной.

Механический смысл производной.

Правила дифференцирования.

Таблица производных.

Производная сложной функции.

Дифференциал.

Производные и дифференциалы высших порядков.

Исследование функции при помощи дифференциального исчисления.

Раздел 3. Интегральное исчисление функции одной переменной.

Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.

Таблица интегралов.

Приемы интегрирования.

Определенный интеграл.

Геометрические приложения определенного интеграла.

Раздел 4. Ряды.

Основные понятия.

Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов.

Раздел 5. Теория вероятностей и математической статистики.

Основные понятия комбинаторики.

Классическое определение вероятности.

Случайные величины.

Числовые характеристики случайной величины.

Рекомендации по работе с математическим текстом

Любой математический текст является сложным, так как содержит определенное количество научных терминов, изученных ранее или новых. В нем также присутствуют формулы, их выводы, доказательства утверждений и теорем, что является наиболее затруднительным в восприятии.

Начиная самостоятельно изучать материал какого-либо математического текста, необходимо прочитать весь текст, не задерживаясь на трудном материале.

При повторном чтении следует обдумывать смысл каждой фразы. Затем необходимо составить план конспекта. Вывод формул, определения, формулировки и доказательства теорем записывать в тетрадь.

Изучение закончить повторением материала, приводя примеры и объясняя их. Материал можно считать усвоенным, если при его повторении не возникает необходимость заглянуть в РТ или конспект.

Если при изучении теоретического материала обучаемый встречает затруднения, которые он не может устранить самостоятельно, повторно изучая основную и дополнительную литературу, необходимо обратитьсяк преподавателю для получения устной или письменной консультации.

Рекомендации по конспектированию

Конспект — сложная запись содержания исходного текста, включающая в себя заимствования (цитаты, формулы, определения) наиболее примечательных мест в соответствии с планом источника, а также сжатый анализ записанного материала и выводы по нему.

Общий порядок работы над конспектом:

¾ определение структуры конспектируемого материала, при этом очень помогает составление плана по ходу изучения текста;

¾ отбор и последующая запись наиболее существенного содержания текста в форме цитат, доказательств или близкого изложения без потерь смысла;

¾ анализ записей и на его основе дополнение наиболее сложных элементов текста;

¾ комментарии (располагать их можно на полях или в виде сносок);

¾ завершение формулирования и запись выводов по каждой из частей текста, а также общих выводов в заключении.

 

Рекомендации по решению задач

Хорошее усвоение теоретического материала невозможно без решения задач. Многочисленные формулы запомнить трудно, в процессе же решения задач они запоминаются легче. Поэтому в каждой теме содержатся задачи и упражнения, рекомендованные для самостоятельного решения. Темы и задания, отмеченные * - повышенной трудности, выполняются по желанию студента.

Приступая к решению задачи, необходимо внимательно прочесть условие и, уяснив смысл, записать кратко, используя математические символы, условие и искомые результаты. Затем записать необходимые формулы и приступить к решению.

Результатом работы является Рабочая тетрадь с выполненными заданиями для самостоятельной работы, контрольными заданиями, которая сдается на проверку в электронном или печатном варианте.

Раздел 1. Теория пределов

В результате изучения раздела студент должен

знать:

¾ определение предела функции в точке;

¾ свойства предела функции в точке;

¾ формулы замечательных пределов;

¾ определение непрерывности функции в точке,

¾ свойства непрерывных функций;

 

уметь:

¾ вычислять пределы функций в точке и на бесконечности.

 

Предел последовательности

Определение предела последовательности

Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число а_п, то говорят, что задана числовая последовательность

Т.е. числовая последовательность – это функция натурального аргумента: . Числа а1, а2,…,ап называются членами последовательности, а число ап – общим или п – м членом последовательности. Определение. Последовательность (an) называется ограниченной, если существуют числа M и m такие, что для любого n выполняется неравенство: m £ (an) £ M. В противном случае она называется неограниченной.

Определение. Число А называется пределом последовательности (а_n), если для каждого положительного числа e найдется такое натуральное число N, что для любого n > N справедливо неравенство: . В этом случае пишут при или

Определение. Последовательность (a_n), имеющая предел А, называется сходящейся к числу А, не имеющая предела последовательность называется расходящейся.

Геометрический смысл сходимости можно выявить, преобразовав выражение :

Таким образом, все члены последовательности (a_n), сходящейся к числу А, имеющие порядковые номера лежат в интервале (А– e; А + e), который называется e- окрестностью точки А.

Величина может стремиться к своему пределу различными способами:

1) оставаясь меньше своего предела, 2) оставаясь больше своего предела, 3) колеблясь около своего предела и 4) принимая значения, равные своему пределу.

Выбор числа ε произволен, но после того, как оно выбрано, никаким изменениям в дальнейшем оно не должно подвергаться.

Пример. Докажем, что последовательность с общим членом имеет предел, равный 1.

Решение.Выберем произвольно положительное число ε и покажем, что для него можно определить такое натуральное число N, что для всех номеров п > N будет выполняться неравенство, рассмотренное выше, в котором надо взять А = 1, т. е. неравенство

После приведения в скобках к общему знаменателю получим

или

Но если то и .

Из последнего неравенства следует, что , а .

Значит, если номер N больше, чем , то неравенство будет выполняться.

Теперь надо решить вопрос о числе N, о котором идет речь в определении. За число N можно принять наибольшее целое число, содержащееся в числе . Наибольшее целое число, содержащееся в числе х, обозначается знаком Е (х). На основании этого наибольшее целое число, содержащееся в числе надо обозначить так: Итак, можно принять (предполагается, что , иначе N не будет натуральным и его надо брать равным 1).

Таким образом, попроизвольно заданному положительному числу мы нашли такое натуральное число N, что для всех номеров n>N неравенство действительно выполняется, а этим и доказано, что 1 является пределом последовательности с общим членом .

Проиллюстрируем это числовым примером.

Пусть, например, . Тогда при получаем из следующее значение: или

Таким образом, для членов последовательности с номером большим, чем 99, выполняется неравенство:

Пусть п = 97; тогда, так как , то , а

если п = 98, то и , а

Из этих расчетов видно, что когда номер п члена последовательности меньше 99 неравенство не выполняется, т.е. Если взять номер, превышающий 99, например, п = 101, то получим и , а .

если п = 98, то и , а

Полученный результат можно записать так: . Иначе можно сказать, что последовательность сходится к 1.

Мы употребили запись , которую следует понимать так: переменная величина п становится все большей и большей и не существует предела для ее возрастания. Какое бы большое число мы ни задали, п в процессе своего возрастания его превзойдет. Для того чтобы коротко описать этот характер изменения п, принято говорить «эн стремится к бесконечности» и записывать это так: . Символ произносится «бесконечность» и применяется для сокращенной записи слова «бесконечность».

Символ ни в коем случае не может рассматриваться как число, а потому бессмысленной является запись , так как п может равняться числу и не может быть равно символу, введенному только для сокращенной записи и сокращенного произношения фразы, которой заранее был придан определенный, указанный выше, смысл.

Очевидно, что последовательность может быть записана таким образом:

видно, что она стремится к своему пределу 1, возрастая и оставаясь меньше 1.

 

Пример. Докажем, что последовательность 3, З², 3³,3⁴,..., 3 "... не имеет предела.

Решение. Мы докажем требуемое, если установим, что общий член этой последовательности превзойдет любое наперед заданное число.

Пусть А такое число. Возьмем .

Тогда и подавно , или 3 ^п > А. Тем самым показано, что 3 ^п может превзойти любое число А. Если бы существовал предел переменной , и был бы равен А, то для любого > 0 можно было бы подобрать такое N, что при номерах п > N выполнялись бы неравенства a , т. е. , а это противоречит доказанному, так как 3 ^п при превзойдет любое число А, а тем самым и число a + , меньше которого оно должно оставаться. Это противоречие и доказывает, что данная последовательность предела не имеет. Этот пример иллюстрирует утверждение: не всякая последовательность имеет предел.

Свойства пределов последовательностей

Если две последовательности и имеют пределы, равные соответственно А и В, то:

1) Последовательность имеет предел, равный :

Это свойство распространяется на случай любого фиксированного числа слагаемых,

2) Последовательность имеет предел, равный , т. е.

Это свойство распространяется также на случай любого фиксированного числа сомножителей.

Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

при любом постоянном k.

3) Последовательность имеет предел, равный , т. е.

.

при условии, что все у_п не равны нулю и .

 

Пример. Найдем предел последовательности: .

Решение. Очевидно, что числитель и знаменатель данной дроби имеют бесконечные пределы, т. е. представляют собой расходящиеся последовательности. Для разрешения проблемы произведем тождественное преобразование дроби, почленно разделив ее на наибольшую из степеней п (в данном случае, на ). Предел полученной дроби найдем, определив значение предела каждого слагаемого в отдельности и учитывая, что при условии, что с и k – постоянные, причем k больше 1. Помните, что предел постоянной величины есть сама величина, поскольку последовательность, все члены которой равны, имеет предел, равный ее общему члену. После этих подробных рассуждений укажем, как следует расположить записи:

Здесь применена теорема о пределе дроби.

Ответ:–2.

Пример. Найдем .

Решение.

Ответ:

Задание. Вычислите предел последовательности:

 

 

Решение:

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ:

Предел функции

Определение предела функции в точке

Сформулируем определение предела функции в точке.

Определение. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки а, кроме, может быть, самой точки а, Число В называется пределом функции f(x) в точке а (или при х, стремящемся к а), если для любой последовательности значений аргумента х_п ¹ а, п Î N, сходящейся к а, последовательность соответствующих значений функции f(x_п), п Î N, сходится к числу В.

В этом случае пишут: или при .

Если же для некоторой последовательности значений аргумента, сходящейся к а, соответствующая последовательность значений функции не является сходящейся, то функция в данной точке не имеет предела. То же заключение можно сделать, если для двух различных последовательностей значений аргумента последовательности соответствующих значений функции имеют различные пределы.

Очевидно, число В является пределом функции при тогда и только тогда, когда можно представить в виде:

= В + , где при .

Отметим, что точка а, в которой рассматривается предел функции , может принадлежать области определения функции , а может и не принадлежать. При нахождении предела функции в точке не рассматривается значение функции в этой точке.

 

Пример. Докажем справедливость следующих равенств:

1) , при = с; 2) при .

Решение.

1) Пусть = с для всех х из некоторого интервала, содержащего точку а. Тогда для любой последовательности (х_n) такой, что х_n ® а при n ® ¥, имеем = с и .

Следовательно .

2) Для любой последовательности (х_n) такой, что х_n ® а при n ® ¥, имеем

.

Следовательно, согласно определению предела .

 

Свойства пределов функций

Основные свойства пределов функций аналогичны теоремам о пределах числовых последовательностей:

 

1) Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов, если последние существуют: .

2) Предел произведения функций равен произведению их пределов, если последние существуют: .

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: , если существует.

3) Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел делителя отличен от нуля: , если .

При изучении пределов функций иногда полезно использовать следующую «теорему о пределе промежуточной функции».

Теорема. Если , и в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а, выполняются неравенства , то .

Пример. Вычислите пределы фукций: 1) ; 2) ; 3) .

Решение.

1)

2) Поскольку предел знаменателя равен 0, то воспользоваться теоремой о пределе частного невозможно. Поэтому первоначально сократим дробь, разложив числитель на множители:

3)

Ответ. 1) 11, 2) –1, 3) 2.

 

Задание. Вычислите пределы функций:

1).

Решение:

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ:-1

2).

Решение:

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Ответ:-6.

 

 

Определение предела функции на бесконечности

При изучении свойств функции приходится рассматривать предел функции в бесконечности, бесконечный предел функции в точке, а также бесконечный предел в бесконечности.

Рассмотрим более подробно предел функции в бесконечности, т.е. при и при .

Определение. Пусть функция f(x) определена на всей числовой прямой. Число В называется пределом f(x) при , если для любой последовательности (х_п) такой, что .

В этих случаях пишут, что . Аналогично, ,если для любой последовательности (х_п) такой, что .

Пример. Докажем, что

Решение.

Рассмотрим произвольную последовательность (х_п) такую, что

.

Так как последовательность , где n Î N, сходится к 1, то согласно определению . Легко видеть, что и .

 

Кроме рассмотренного случая конечного предела функции f(x) при х ® ∞ (или иначе х ® ± ¥) используется понятие бесконечного предела. Например, функция , определенная для всех х ¹ 0, принимает сколь угодно большие значения при х ® 0. В этом случае говорят, что функция в точке х = 0 имеет своим пределом бесконечность, и пишут .

Определение. Если для любой последовательности значений аргумента (х_п) такой, что х_п ¹ 0 и , имеет место , то говорят, что предел функции f(x) в точке а есть бесконечность, и пишут .

Пример. Найдите пределы функций:

1) ; 2)

Решение. При определении значений предела функции на бесконечности воспользуемся тем же приемом, что и в случае последовательности:

1)

2)

Ответ. 1) -3, 2) 0.

 

Задание. Вычислите предел функции на бесконечности:

 

Решение:

____________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Ответ:-1.

 

Непрерывность функции

Пример.

Функция f(x) = x² определена на всей числовой прямой и непрерывна в точке х = 1 поскольку f( 1 ) = 1 и

 

Непрерывность функции на множестве

Определение. Функция f(x), называется непрерывной на интервале (a; b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Если функция непрерывна в некоторой точке, то эта точка называется точкой непрерывности данной функции. В тех случаях, когда предел функции в данной точке не существует или его значение не совпадает со значением функции в данной точке, то функция называется разрывной в этой точке, а сама точка – точкой разрыва функции f(x).

Свойства непрерывных функций.

1) Сумма конечного числа функций, непрерывных в точке а, есть функция, непрерывная в этой точке.

2) Произведение конечного числа функций, непрерывных в точке а, есть функция, непрерывная в этой точке.

3) Отношение конечного числа функций, непрерывных в точке а, есть функция, непрерывная в этой точке, если значение функции, стоящей в знаменателе, отлично от нуля в точке а.

Пример.

1) Функция f(x) = x^п, где n Î N, непрерывна на всей числовой прямой. Доказать этот факт можно, используя свойство 2 и непрерывность функции f(x) = x.

2) Функция f(x) = сx^п (с – константа) непрерывна на всей числовой прямой, исходя из свойства 2 и примера 1.

Теорема 1. Многочлен есть функция, непрерывная на всей числовой прямой.

Теорема 2. Любая дробно-рациональная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Пример.

1) Функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки , в которой знаменатель дроби обращается в нуль.

2) Функция непрерывна всюду на R, т.к. знаменатель нигде не обращается в нуль.

 

 

Определение Функция f(x) называется непрерывной в точке х = а, если в этой точке ее приращение стремится к нулю, когда приращение аргумента стремится к нулю, или иначе: функция f (х) называется непрерывной в точке х = а, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е. если

 

Односторонние пределы функции^*

Левосторонний предел функции. Если отыскивается предел функции f(x) при условии, что х, стремясь к а, может принимать только такие значения, которые меньше а, то этот предел, если он существует, называется левосторонним пределом функции f (х) (или левым пределом функции).

Для того чтобы показать, что х стремится к а, оставаясь меньше а, употребляется запись: , а левосторонний предел функции обозначается символом: .

Правосторонний предел функции. Если отыскивается предел функции f(x) при условии, что х, стремясь к а, может принимать только такие значения, которые больше а, то этот предел, если он существует, называется правосторонним пределом функции f(x) (или правым пределом функции).

То, что х, стремясь к а, остается больше а, обозначается так: , а правосторонний предел функции обозначается символом: .

Очевидно, что предел функции при существует только тогда, когда существуют и равны между собой ее левосторонний и правосторонний пределы, т. е. когда .

Определение Функция f(x) называется непрерывной при х = а, если ее левосторонний и правосторонний пределы существуют, между собой равны и равны значению функции в этой точке, т. е. f(a). То есть:

.

 

 

Точки разрыва и их классификация^*

Если равенство в какой-либо его части не выполняется, то о точке говорят, что она является точкой разрыва.

Точка разрыва первого рода

Рис. 2

Определение. Если левосторонний предел функции и ее правосторонний предел существуют, но не равны, между собой, т. е. если то точка а называется точкой разрыва первого рода (см. рис. 2).

Точка разрыва второго рода

а) б)	Определение. Если в точке х = а не существует конечный левосторонний или правосторонний предел функции или оба одновременно, то эта точка называется точкой разрыва второго рода. На рис. 3, а отсутствует левосторонний предел функции; на рис. 3, б – нет правостороннего предела функции.
Рис. 3

 

Рис. 4

На рис. 4 представлен график функции, которая не имеет в точке х = а ни левостороннего, ни правостороннего предела. Во всех этих случаях говорят, что функция в точке х = а терпит разрыв второго рода (иначе: точка х = а — точка разрыва второго рода).

 

Устранимый разрыв

Определение. Если в точке х = а функция f(x) имеет левосторонний и правосторонний пределы и эти пределы между собой равны, но их значения не совпадают со значением функции в точке а, т. е. со значением f(a), то точка х = а называется точкой устранимого» разрыва.

Таким образом, в этом случае . Разрыв «устраняется» тем, что полагают , т. е. принимают, что .