Абсолютная и условная сходимость.

Признак Лейбница для знакочередующихся рядов.

Числовой ряд

называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки. Этот ряд является частным случаем знакопеременного ряда.

Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов. Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и общий член u_n стремится к нулю при , то ряд сходится.

Этот признак служит достаточным признаком сходимости знакочередующихся рядов.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

Составленный из абсолютных величин его членов, т.е. всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Если знакопеременный ряд сходится, а составленный из абсолютных величин его членов ряд расходится, то данный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся. Заметим, что из расходимости ряда в общем случае не следует расходимость ряда.

Для установления абсолютной сходимости знакопеременного (и знакочередующегося) ряда используются те же признаки, что и для сходимости ряда с положительными членами.

Для решения вопроса об абсолютной или условной сходимости знакочередующегося ряда необходимо рассмотреть ряд, составленный из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда.

Если при исследовании этого ряда с помощью одного из признаков сходимости (признака Даламбера, признака сравнения рядов) ряд окажется сходящимся, то данный знакочередующийся ряд сходится абсолютно; если же ряд окажется расходящимся, то знакочередующийся ряд сходится условно.

Пример. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:

Решение.

Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают: и . Следовательно, согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Выясним, сходится ли этот ряд абсолютно или условно.

Ряд составленный из абсолютных величин членов данного ряда, является гармоническим рядом, который, как известно, расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.

Пример. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:

Решение.

Используя признак Лейбница, получим

; , т.е. ряд сходится.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

Это геометрический ряд вида который сходится. Поэтому данный ряд сходится абсолютно.

Задание. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:

Решение.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: данный ряд сходится условно.

Задание. Исследовать сходимость знакопеременного ряда:

Решение.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: данный знакопеременный ряд сходится абсолютно.

Вопросы для самоконтроля

1. Что называется числовым рядом?
2. Что называют частичными суммами ряда?
3. Какой ряд называется геометрическим? гармоническим?
4. В чем заключается необходимый признак сходимости ряда?
5. Какие вы знаете достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами?
6. Какой ряд называется знакопеременным?
7. В чем заключается признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов?

 

Контрольное задание

 

1. Найдите первые четыре члена ряда по заданному общему члену:

u _n =

^{____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________}

2. Найдите формулу общего члена ряда:

1 + + + …

_____________________________________________________________________________

3. Используя признак Даламбера, исследуйте сходимость ряда

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Исследуйте на абсолютную и условную сходимость ряд:

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________