Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Раздел 3. Интегральное исчисление функции одной переменнойСодержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
В результате изучения раздела студент должен: знать: ¾ определение первообразной; ¾ определение неопределенного интеграла и его свойства; формулы интегрирования; ¾ способы вычисления неопределенного интеграла; ¾ определение определенного интеграла, его геометрический смысл и свойства; ¾ способы вычисления определенного интеграла; ¾ понятие криволинейной трапеции, способы вычисления площадей криволинейных трапеций с помощью определенного интеграла; уметь: ¾ находить неопределенные интегралы, сводящиеся к табличным с помощью основных свойств и простейших преобразований; ¾ выделять первообразную, удовлетворяющую заданным начальным условиям; ¾ вычислять определенный интеграл с помощью основных свойств и формулы Ньютона-Лейбница; ¾ находить площади криволинейных трапеций.
Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Свойство первообразной. Если F1(x) и F2(x) – первообразные для функции f(x) в некотором промежутке Х, то найдется такое число С, что справедливо равенство: . Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается . Согласно определению, . Свойства неопределенного интеграла.
Таблица интегралов: ; (при п ¹ –1); ; (при а > 0, a ¹ 0); ; ; ; (при ); (при a ¹ 0); ; ; (при a ¹ 0); . Приемы интегрирования Метод непосредственного интегрирования Метод интегрирования, основанный на применении четвертого и пятого свойств неопределенного интеграла, называется методом разложения или методом непосредственного интегрирования. Пример. Найдем: 1) , 2) , 3) . Решение. 1)Представим интеграл в виде суммы интегралов и, произведя вынесение коэффициентов за знак интеграла, сведем их к табличным: 2) Возведя в квадрат подынтегральное выражение, повторим операцию, рассмотренную в предыдущем примере: 3) Произведя почленное деление подынтегрального выражения на х3, получим: Задание. Найти: 1) _____________________________________________________________________________ Ответ: х2 + С 2) _____________________________________________________________________________ Ответ: - 3sinx + С Метод замены переменной Один из основных методов интегрирования – метод замены переменной (или метод подстановки), описывается следующей формулой: . Однако, новую переменную можно не выписывать явно (в таких случаях говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала) на основании теоремы: Теорема. Пусть F(x) – некоторая первообразная для функции f(x). Тогда , где k и b – некоторые числа, причем k ¹ 0. Пример. Найдем 1) , 2) Решение. 1)
Произведя подстановку, получим: 2) Так как аргумент подынтегральной функции имеет вид , где , то, применяя вышеназванную теорему, получим: Задание. Найти Решение. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ответ: Интегрирование по частям* Формула называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла. При ее применении фиксируется разбиение подынтегрального выражения искомого интеграла на два множителя и и dv. При переходе к правой части первый их этих множителей дифференцируется, а второй интегрируется. Пример. Найдем . Решение. Применим метод интегрирования по частям. Положим, что . Тогда . Подставляя выражения в вышеуказанную формулу, получим: Задание*. Найти _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ответ: Вопросы для самоконтроля 1. Какая функция называется первообразной для заданной функции? 2. Если F(x) – первообразная для f(x), то каким равенством связаны они между собой? 3. Как записать всю совокупность первообразных? 4. Что называется неопределенным интегралом? 5. В чем заключается правило интегрирования выражения, содержащего постоянный множитель? 6. В чем заключается правило интегрирования алгебраической суммы функций? 7. Как проверить результат интегрирования? 8. Какие вы знаете способы интегрирования и в чем они заключаются?
Контрольное задание Найти интегралы: __________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4*. _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Определенный интеграл Пусть предел интегральной суммы при стремлении к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек х1, х2,… и точек x1, x2,… Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции у=f(x) на [a; b], обозначается , а сама функция у = f(x) называется интегрируемой на [a; b], т.е. . Свойства определенного интеграла: 1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: . 2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций: 3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. . 4. Если на отрезке [a; b] f(x) £ g(x), то и £ . 5. Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то найдется такое значение x Î [a; b], что .
Формула Ньютона-Лейбница. Пусть функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) первообразная функцией для функции f(x) на отрезке [a; b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a; b] равен приращению первообразной на этом отрезке, т.е. . Пример. Вычислим следующие интегралы: 1) ; 2) . Решение. Эти задачи на непосредственное применение формулы Ньютона – Лейбница: 1) ; 2) Задание. Вычислить Решение. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ответ: 3. Задание. Вычислить Решение. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ответ: e - 1.
Метод замены переменной в определенном интеграле. Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке , , и функция непрерывна в каждой точке вида , где . Тогда справедливо следующее равенство: Данная формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле. Как видите, использование введения новой переменной в определенном интеграле производится аналогично тому, как это производилось в неопределенном интеграле. Однако в этом случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной. Достаточно рассчитать и подставить новые пределы интегрирования. Пример. Вычислим . Решение. Положим . Тогда . Вычислим значения новых пределов интегрирования, подставив в формулу новой переменной исходные значения пределов: , . Воспользовавшись формулой замены переменной в определенном интеграле, получим: Задание. Вычислить Решение. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ответ: - 1. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле* Пусть функции имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда . Эта формула называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле. Пример. Вычислим . Решение. Пусть , Тогда и . Воспользовавшись формулой интегрирования по частям в определенном интеграле, получим: Вы заметили, что при расчете была введена переменная .
Задание *. Вычислить Решение. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ответ: 8ln4 – 4 - .
|
||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-11; просмотров: 556; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.137.175.83 (0.01 с.) |