Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменнойСодержание книги
Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
3.1. Вычислить предел 3.2. Вычислить предел . 3.3. Вычислить предел . 3.4. В точках и для функции установить непрерывность или определить характер точек разрыва. 3.5. Найти производную функции . 3.6. Найти производную функции 3.7. Найти производную функции , применяя метод логарифмического дифференцирования. 3.8. Найти производную функции, заданной неявно: . 3.9. Найти производную функции, заданной параметрически: . 3.10. С помощью методов дифференциального исчисления исследовать и построить график функции .
Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 3 и решение типовых задач
3.1. Раскрытие неопределенности вида . Рассмотрим отношение функций . Пусть – бесконечно большие функции (б.б.ф.) при , отношение в этом случае называется неопределенным выражением вида . Для нахождения предела неопределенного выражения нужно избавиться от неопределенности (или раскрыть неопределенность). Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо числитель и знаменатель разделить на самую высокую входящую в них степень, а затем перейти к пределу.
Пример 1 , так как при каждая из дробей стремится к нулю. Пример 2 . Пример 3 . Замечание. Из рассмотренных примеров видно, что предел частного двух многочленов при равен отношению коэффициентов при старших членах, если степени многочленов, стоящих в числителе и знаменателе, равны; равен нулю, если степень числителя меньше степени знаменателя; равен ¥, если степень числителя больше степени знаменателя. 3.2. Раскрытие неопределенности вида Рассмотрим отношение функций . Пусть – бесконечно малые функции (б.м.ф.) при , отношение в этом случае называется неопределенным выражением вида . Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо в числителе и знаменателе выделить критический множитель и сократить на него. Чтобы раскрыть неопределенность вида , в которой числитель или знаменатель содержит иррациональность, следует избавиться от иррациональности, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
Пример Вычислить предел . Решение При числитель и знаменатель дроби стремится к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида . Для раскрытия неопределенности числитель и знаменатель дроби умножим на сопряженное знаменателю выражение, т.е. на сумму , а квадратный трехчлен разложим на множители, найдя для этого его корни: , тогда, . Таким образом, получим: .
Вычисление пределов с использованием второго замечательного предела
Одна из форм записи второго замечательного предела . Второй замечательный предел раскрывает неопределенность вида .
Пример Вычислить предел .
Решение Предел основания , а показатель степени при , т.е. имеет место неопределенность вида . Выделим целую часть основания степени и применим второй замечательный предел: , учитывая, что .
Непрерывность функции
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она имеет предел в точке и этот предел равен – значению функции в точке : . Таким образом, для того чтобы функция была непрерывна в точке , необходимо и достаточно выполнение трех условий: 1) функция должна быть определена в точке ; 2) должны существовать пределы функции при как слева, так и справа, т.е. и ; 3) эти пределы должны быть равны между собой и равны значению функции в точке , т.е. . Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, то говорят, что функция имеет разрыв в точке и точку называют точкой разрыва функции . Точки разрыва следует искать среди точек, не входящих в область определения функции.
Классификация точек разрыва
Определение. Если в точке функция имеет пределы слева и справа и они равны между собой, а в точке или функция не определена, то точка называется точкой устранимого разрыва функции . В этом случае функцию можно доопределить в точке так, чтобы она стала непрерывной, т.е. положить .
Определение. Если в точке функция имеет конечные пределы слева и справа, причем , то точка называется точкой разрыва функции 1-го рода. При переходе через точку значение функции претерпевает скачок, измеряемый разностью .
Определение. Точка называется точкой разрыва 2-го рода, если в этой точке хотя бы один из пределов (справа или слева) не существует или равен .
Пример В точках и для функции установить характер точек разрыва. Решение Область определения функции . Данная функция непрерывна во всех точках, кроме точек и , которые не входят в область определения функции. Исследуем точку , находя ее односторонние пределы в этой точке: если , то , тогда предел слева , если , то , тогда предел справа .
Так как односторонние пределы конечны, но не равны между собой, то в точке функция имеет разрыв 1-го рода (скачок функции). Исследуем точку , находя ее односторонние пределы в этой точке: если , то , тогда , если , то , тогда . Так как односторонние пределы равны , то в точке функция имеет разрыв 2-го рода.
Правила дифференцирования
Определение. Производной функции в данной точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при , если он существует.
По определению . Таблица производных
Правила дифференцирования
1. Производная постоянной равна нулю: . 2. Теорема. Если каждая из функций и дифференцируема в данной точке х, то сумма, разность, произведение и частное (частное при условии ) так же дифференцируемы в этой точке, причем имеют место формулы: 1) , 2) , 3) . Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: .
Пример Используя таблицу производных и правила дифференцирования, найти производную функции . Решение
Производная сложной функции
Пусть дана сложная функция где или . Теорема. Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , тогда сложная функция дифференцируема в точке , причем или Замечание. Теорема может быть обобщена на случай любой конечной цепочки функций. Так, если , или и существуют производные , то . Пример Найти производную функции . Решение Здесь , , тогда .
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-21; просмотров: 822; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.146.178.220 (0.008 с.) |